鄒毅,侯亮

摘 要 為了減輕行星齒輪減速器的重量，提高承載效率，取行星齒輪減速器的太陽輪和齒圈的齒數(shù)、模數(shù)和齒寬為設(shè)計(jì)變量，以減速器體積最小化為優(yōu)化目標(biāo)，利用Matlab優(yōu)化工具箱對(duì)行星齒輪減速器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明，采用可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可以縮短設(shè)計(jì)周期并減小體積。

關(guān)鍵詞 行星齒輪；減速器；體積；優(yōu)化設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)TH132 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A 文章編號(hào) 1674-6708（2011）43-0081-02

行星齒輪減速器具有傳動(dòng)比大、傳動(dòng)效率高、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，廣泛用于小轎車、載重汽車、工程車輛等機(jī)械設(shè)備的傳動(dòng)系統(tǒng)中。行星齒輪減速器的可靠性設(shè)計(jì)和輕量化設(shè)計(jì)，對(duì)車輛的動(dòng)力性、燃油經(jīng)濟(jì)性有很大影響。與常規(guī)設(shè)計(jì)方法相比，可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)在提高設(shè)計(jì)效率的同時(shí)可以找出更優(yōu)的可行方案。

1 目標(biāo)函數(shù)的建立

行星齒輪減速器由太陽輪、行星輪、行星支架和內(nèi)齒輪等組成。太陽輪、行星輪組及內(nèi)齒圈的體積影響并決定整個(gè)行星減速器的尺寸和體積，為此將內(nèi)齒圈的體積考慮在內(nèi)，其模型為

式中，F(xiàn)（X）為太陽輪、行星輪和內(nèi)齒圈體積之和，n為行星輪個(gè)數(shù)，按行星輪系類型選定為3；m和b分別為模數(shù)和齒輪齒寬；Va、Da、Za分別為太陽輪的體積、分度圓直徑和齒數(shù)；Vb、Db、Zb分別為內(nèi)齒圈的體積、分度圓直徑和齒數(shù)；Vc、Dc、Zc分別為行星輪的體積、分度圓直徑和齒數(shù)。S為內(nèi)齒圈分度圓到外圓的距離， S=hf+δ，其中hf為其齒根高，hf=1.25m，δ為內(nèi)齒圈壁厚，取δ=m。Dw為第內(nèi)齒圈外圓直徑，Dw=Db+2S。根據(jù)行星輪系同心條件，目標(biāo)函數(shù)可化為：

（2）

2 設(shè)計(jì)變量的確定

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)式，取太陽輪齒數(shù)Za、齒圈齒數(shù)Zb、模數(shù)m、齒寬b這四個(gè)獨(dú)立參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，即：（3）

由此，目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步化為

（4）

3 約束條件的建立

3.1 傳動(dòng)比條件

→（5）

式中：i0、i分別為優(yōu)化前、后減速器傳動(dòng)比。

3.2 同心條件

→ （6）

式中，是與對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量。

3.3 安裝條件

→（7）

式中，為正整數(shù)。

3.4 鄰接條件

→（8）

式中dac為行星輪齒頂圓直徑；為太陽輪和行星輪嚙合副的中心距。

3.5 根切限制

→（9）

式中，Zmin為避免根切的最小齒數(shù)，Zmin=17。

3.6 重合度要求

約束為：（10）

（11）

式中，、、分別為太陽輪、行星輪和齒圈的齒頂圓壓力角，為太陽輪和行星輪嚙合角，為行星輪和齒圈嚙合角。

3.7 齒寬要求

→ （12）

→ （13）

3.8 最小模數(shù)要求

→（14）

3.9 接觸強(qiáng)度條件

按接觸強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求有：

→（15）

式中ZH，ZE，Zε分別為節(jié)點(diǎn)區(qū)域系數(shù)，材料彈性影響系數(shù)，重合度系數(shù)；Ft為作用在太陽輪上的切向力；u為行星輪與太陽輪齒數(shù)比；d為太陽輪分度圓直徑；T為太陽輪傳遞的扭矩；σHP為許用接觸應(yīng)力。

3.10 彎曲強(qiáng)度條件

按彎曲強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求有：

→（16）

式中，為YFa齒形系數(shù)；YSa為應(yīng)力校正系數(shù)；Yε為重合度系數(shù)；σFP為許用彎曲應(yīng)力。

4 優(yōu)化算法和求解分析

Matlab的優(yōu)化工具箱提供有各種優(yōu)化算法和最優(yōu)值搜索策略。對(duì)于單目標(biāo)多變量非線性約束優(yōu)化問題，選定Matlab中的fmincon優(yōu)化模塊進(jìn)行優(yōu)化，在提高設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確度和可靠性的同時(shí)，設(shè)計(jì)效率比以往也有提高。Fmincon的調(diào)用格式為：

[x，fval，exitflag，output]=fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，Beq，lb，ub，nonlcon]

原設(shè)計(jì)太陽輪齒數(shù)Za=23，行星輪齒數(shù)Zc=24，內(nèi)齒圈齒數(shù)Zb=70，太陽輪和行星輪材料為18CrMnTi，滲碳淬火處理，硬度為58~62HRC；內(nèi)齒圈材料為40Cr調(diào)制處理，硬度為250HB ~280HB；行星輪個(gè)數(shù)3個(gè)；各齒輪精度等級(jí)為7級(jí)。要求優(yōu)化后傳動(dòng)比誤差|Δi'|<0.06。

根據(jù)Matlab中M文件的語法規(guī)則編制優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)文件（.m）、非線性約束函數(shù)文件（.m），在Matlab命令窗口中調(diào)用優(yōu)化程序，運(yùn)行后可以得到優(yōu)化結(jié)果。優(yōu)化前后行星齒輪減速器參數(shù)（圓整后）見表1。

參數(shù) Za Zb Zc m b/mm V/cm3

原設(shè)計(jì) 23 24 70 6 80 6614.9

優(yōu)化后 22 20 62 6 80 5117.1

表1優(yōu)化前后參數(shù)比較

由表1可以得到優(yōu)化后傳動(dòng)比誤差為： ，滿足要求，并且各齒輪的齒數(shù)普遍減少，使優(yōu)化后

行星齒輪減速器的體積由6.6149×10-3降至5.1171×10-3，比采用常規(guī)設(shè)計(jì)的體積明顯減小。

5 結(jié)論

建立了包括內(nèi)齒圈體積在內(nèi)的行星齒輪減速器體積最小的目標(biāo)函數(shù)，使優(yōu)化數(shù)學(xué)模型更全面且符合實(shí)際。在保證運(yùn)動(dòng)精度和機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要求的情況下，通過基于Matlab優(yōu)化工具箱的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，使行星齒輪減速器的體積減小了22.6%。

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