李 江，魏丹萍，張忠杰，張少杰，李國慶

(1.東北電力大學電氣工程學院，吉林吉林132012;2.上海市電力公司檢修公司，上海200072;3.通遼供電公司，內(nèi)蒙古通遼028000)

小擾動穩(wěn)定域是指一組穩(wěn)態(tài)運行點的集合，這些穩(wěn)態(tài)運行點本身是小擾動穩(wěn)定的［1］。文獻［2］指出，小擾動穩(wěn)定域的邊界可能包含Hopf分岔(Hopf Bifurcation，HB)、鞍結(jié)點分岔(Saddle-Node Bifur Cation，SNB)和奇異誘導分岔 (Singularity Induced Bifurcation，SIB)三種界面。目前對小擾動穩(wěn)定域邊界的研究，有些文獻主要關注鞍結(jié)分岔［3，4］，有些文獻主要關注Hopf分岔［5-7］。這些分岔一般采用平衡點特征根進行分析。然而，近年來已有文獻指出，即使系統(tǒng)的特征值實部全部為負，小擾動下非線性特性造成的分岔也會導致系統(tǒng)特性和狀態(tài)發(fā)生突變，產(chǎn)生增幅振蕩，造成小擾動不穩(wěn)定［8］。而傳統(tǒng)的特征根方法無法分析這些非線性環(huán)節(jié)，因此這就需要采用新方法進行分析。

電力系統(tǒng)在實際運行過程中遇到的非線性環(huán)節(jié)眾多，例如功率約束、電壓約束、各種開關的動作和控制器的飽和環(huán)節(jié)等都可能產(chǎn)生非線性問題，其中控制器的飽和環(huán)節(jié)就是一類關鍵的非線性環(huán)節(jié)。受到物理結(jié)構(gòu)的限制，實際系統(tǒng)的控制輸入總是要求在一個安全范圍之內(nèi)，這在模型中體現(xiàn)為飽和環(huán)節(jié)。在電力系統(tǒng)穩(wěn)定研究中，一些學者發(fā)現(xiàn)發(fā)電機勵磁系統(tǒng)飽和環(huán)節(jié)的存在與混沌現(xiàn)象及電壓崩潰有關［9，10］。然而，當計及飽和環(huán)節(jié)后特征根方法將無法分析這種非線性環(huán)節(jié)。文獻［11］指出，計及飽和環(huán)節(jié)的線性化系統(tǒng)存在吸引域，同時給出了基于矩陣不等式計算吸引域的新方法。本文基于文獻［11］的飽和系統(tǒng)吸引域計算方法，針對線性最優(yōu)勵磁控制(LOEC)下的多機系統(tǒng)，提出了基于吸引域體積為指標確定小擾動穩(wěn)定域邊界的新方法。

1 傳統(tǒng)控制下小擾動穩(wěn)定域邊界的確定

動態(tài)電力系統(tǒng)可寫為

式中，x為動態(tài)狀態(tài)變量，如發(fā)電機的功角、角速度等;y為代數(shù)狀態(tài)變量，如網(wǎng)絡潮流計算的節(jié)點電壓幅值、相角等;p為控制參數(shù)變量，如節(jié)點負荷、控制器增益、時間常數(shù)等;f為描述發(fā)電機轉(zhuǎn)子運動方程、電磁暫態(tài)過程、勵磁調(diào)節(jié)器動態(tài)過程等的非線性方程組;g為網(wǎng)絡的潮流代數(shù)方程組。

其中，Jsys為動態(tài)系統(tǒng)的雅可比矩陣。隨著參數(shù)p的變化，當系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時，動態(tài)系統(tǒng)的雅可比矩陣有一對實部為零的共軛純虛特征根;當系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔時，動態(tài)系統(tǒng)的雅可比矩陣有實特征根穿過虛軸;當系統(tǒng)發(fā)生奇異誘導分岔時，▽yg奇異。系統(tǒng)的小擾動穩(wěn)定域Ω可定義為［9］

因此，小擾動穩(wěn)定域的邊界?Ω由上述三類分岔點的閉包組成，即:

為保守獲得小擾動穩(wěn)定域，可用如下算法實現(xiàn)［5］:

算法1

(1)選擇構(gòu)造穩(wěn)定域的參數(shù)空間，假定系統(tǒng)中的其它參數(shù)不變;

(2)確定參數(shù)空間中一個小擾動穩(wěn)定的運行平衡點，作為搜索穩(wěn)定域邊界的初始點;

(3)在參數(shù)空間中，從初始點起沿某一射線方向，以一定的步長準靜態(tài)的改變參數(shù)變量，得到一系列新的系統(tǒng)平衡點，并對每一個平衡點計算動態(tài)系統(tǒng)的雅可比矩陣特征值;

(4)當系統(tǒng)出現(xiàn)一對共軛純虛特征值且其余特征值均有負實部時，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，記錄此時的參數(shù)，該點即為小擾動穩(wěn)定域的邊界點;

(5)改變步驟(3)中搜索邊界點所用的射線方向，重復(3)和(4)，得到新的邊界點。

這種在參數(shù)空間(p1，p2)中，逐點搜索小擾動穩(wěn)定域邊界點的方法雖然計算量較大，但具有較好的準確性和靈活性。

2 LOEC下小擾動穩(wěn)定域邊界的確定

通過動態(tài)方程的線性化，采用LOEC控制的系統(tǒng)可表示為［12］

式中，A∈Rn×n為系統(tǒng)矩陣;B∈Rn×r為輸入矩陣;△x∈Rn×l為系統(tǒng)狀態(tài)變量;u∈Rr×n為系統(tǒng)控制變量。若系統(tǒng)(4)能控，利用文獻［12］提出的方法設計狀態(tài)反饋增益F，則控制變量u=F△x，系統(tǒng)(4)的閉環(huán)系統(tǒng)可表示為

對系統(tǒng)(5)，若系統(tǒng)(4)能控，方程(5)可解，反饋增益存在。但是，受到實際系統(tǒng)的限制，反饋增益矩陣的各元素不能太大。需設定最大、最小反饋增益值，本文取F的元素fij≤200。當反饋增益大于最大反饋增益值時，反饋增益元素fij=200;當反饋增益小于最小反饋增益值時，反饋增益元素fij=-200。通過改變控制參數(shù)，計算系統(tǒng)各個運行點的最優(yōu)勵磁控制增益。由于受最大最小反饋增益值的約束，系統(tǒng)(5)可能存在Hopf分岔，即小擾動穩(wěn)定域的邊界。根據(jù)這一思想，可計算線性LOEC控制下的小擾動穩(wěn)定域邊界，形成如下新算法:

算法2

(1)～(2)與算法1相同;

(3)在參數(shù)空間中，從初始點起沿某一射線方向，以一定的步長準靜態(tài)的改變參數(shù)變量，得到新的系統(tǒng)平衡點，并求解線性化方程對應的代數(shù)Riccati方程，進一步獲得反饋增益矩陣。若fij大于最大反饋增益值，fij=200;否則繼續(xù);

(4)～(5)與算法1的步驟(4)～(5)相同。

該算法與算法1都是通過Hopf分岔確定小擾動穩(wěn)定域的邊界，具有與算法1相同的優(yōu)點。

3 飽和系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定域邊界的確定

實際運行的系統(tǒng)中控制變量u不可能無限大，其必然在一個安全范圍內(nèi)。若采用狀態(tài)反饋控制，F(xiàn)i為反饋增益矩陣F∈Rm×n的第i個行向量，可定義飽和函數(shù)

其中，fsati(Fi△x)(i=1，…，m)為

其中，u0i為勵磁頂值，其關系也可用圖1直觀表示。

若計及飽和環(huán)節(jié)，控制律u=fsat(F△x)，則閉環(huán)線性系統(tǒng)為

為獲得系統(tǒng)(7)的橢球吸引域可用如下定理:

定理1［13］對系統(tǒng)(4)，若控制輸入u有界，u0i=ri，i=1，…，m，滿足飽和函數(shù)(6)的最大橢球吸引域 ε(Q-1，1)可通過求解以Q∈Rn×n，S=diag(s1，…，sm)，為變量的下列凸優(yōu)化問題得到:

圖1 飽和環(huán)節(jié)的非線性特性

式中，Ar=A+BTrF，Bpr=BRr，Tr=diag(ρ1，…，ρm)，Rr=diag(δ1，…，δm)，ρi=1/2(1+1/ri)，δi=1/2(1 - 1/ri)，i=1，…，m。

式(8)的優(yōu)化問題可以借助于文獻［14］介紹的MAXDET軟件實現(xiàn)求取的橢球吸引域最大化。由于在式(3)表示的小擾動穩(wěn)定域內(nèi)部不會發(fā)生Hopf分岔、鞍結(jié)分岔和奇異誘導分岔，因此使用矩陣不等式方法計算飽和系統(tǒng)的橢球吸引域時，式(8)可能有解也可能無解。若有解則說明該運行點計及飽和環(huán)節(jié)后是小擾動穩(wěn)定的;若無解則說明系統(tǒng)計及飽和環(huán)節(jié)后是小擾動不穩(wěn)定的。根據(jù)這一思想，形成如下算法:

算法3

(1)～(2)與算法1中(1)～(2)相同;

(3)在參數(shù)空間中，從初始點起沿某一射線方向，以一定的步長準靜態(tài)的改變參數(shù)變量，得到新的系統(tǒng)平衡點，根據(jù)式(8)計算飽和系統(tǒng)的橢球吸引域。當橢球吸引域不存在或過小，系統(tǒng)小擾動不穩(wěn)定，該點即為小擾動穩(wěn)定域的邊界點;

(4)與算法1中(5)相同。

在使用過程中，當不考慮擾動大小時，算法3中的橢球吸引域體積指標可以取較小的值;當考慮擾動大小時，算法3中的橢球吸引域體積指標可取較大值。因此，與算法1和2相比，算法3具有更大的靈活性，并且能夠提供更多元的信息。

4 算例分析

算例采用WSCC-3機9節(jié)點系統(tǒng)，其模型見附錄［15］。勵磁系統(tǒng)采用標準的IEEEDC1A模型，負荷采用恒阻抗模型，選取發(fā)電機G2、G3的有功功率P2、P3作為注入空間的參數(shù)變量，利用算法1獲得圖2所示的小擾動穩(wěn)定域邊界點。同理，利用算法2獲得圖3所示的小擾動穩(wěn)定域邊界點。對比圖2和圖3可知，最優(yōu)勵磁控制下的小擾動穩(wěn)定域ΩLOEC要明顯大于傳統(tǒng)勵磁控制(DC1A模型)下的小擾動穩(wěn)定域ΩDC1A。

算法3的步驟(3)中，以橢球體的體積作為判斷橢球吸引域大小的指標，取臨界點體積指標為Vcr=0.005，勵磁頂值u0i=5，射線共100條(即射線將單位圓平分為100等份)，獲得的小擾動穩(wěn)定域Ω*如圖4所示。從圖4中可見，算法3采用凸優(yōu)化方法獲得的小擾動穩(wěn)定域與算法2獲得的小擾動穩(wěn)定域差別不大，從而驗證了算法3的有效性。

圖4 采用新算法確定的小擾動穩(wěn)定域Ω*

5 結(jié) 論

發(fā)電機勵磁系統(tǒng)的飽和環(huán)節(jié)是實際系統(tǒng)的現(xiàn)實約束，本文在計及飽和環(huán)節(jié)后對小擾動穩(wěn)定域進行了深入研究，提出了以橢球吸引域體積為指標確定小擾動穩(wěn)定域邊界的新算法，算例研究表明采用凸優(yōu)化方法求取小擾動穩(wěn)定域是可行的，并且勵磁系統(tǒng)采用最優(yōu)勵磁控制的小擾動穩(wěn)定域要明顯大于傳統(tǒng)勵磁控制(IEEE DC1A模型)方式下的小擾動穩(wěn)定域，從而也驗證了最優(yōu)勵磁控制的優(yōu)越性。

附 錄

電力系統(tǒng)中，多機系統(tǒng)的數(shù)學模型可表示為:

代數(shù)方程為

其中，i=1，2，…，n，n為發(fā)電機的臺數(shù)，各參數(shù)的意義見文獻［15］。

式(9)～(14)，對圖5所示的WSCC系統(tǒng)在運行點附近進行線性化，模型可寫為

其中，

圖5 WSCC系統(tǒng)圖

式中，k△E'qi，k△δi，k△ωi，i=1，2，3，分別為 △E'qi，△δi，△ωi的控制器狀態(tài)增益，增益值可利用文獻［15］提出的設計方法設計，R取單位矩陣，Q=［50 10 5 50 10 5 50 10 5］。式(15)滿足式(4)、(8)的形式，可用于算法2、3 中。

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