張 健，李國(guó)慶，冀瑞芳

(1.吉林省電力有限公司調(diào)度通信中心，吉林長(zhǎng)春130021;2.東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林吉林132012)

相量測(cè)量單元PMU(Phasor Measurement Units)是基于全球定位系統(tǒng)GPS(Global Position System)的一種相量測(cè)量裝置，它由微處理器、GPS接收器、信號(hào)變送模塊及通訊模塊組成，對(duì)電壓電流進(jìn)行同步測(cè)量［1，2］。PMU能夠提供統(tǒng)一時(shí)空坐標(biāo)下的高精度電壓和電流相量量測(cè)，可顯著改善電力系統(tǒng)量測(cè)可觀測(cè)性和狀態(tài)估計(jì)精度，提高系統(tǒng)監(jiān)控的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性。

現(xiàn)代電力系統(tǒng)規(guī)模很大，節(jié)點(diǎn)數(shù)眾多，對(duì)大電網(wǎng)中所有節(jié)點(diǎn)都安裝PMU是不現(xiàn)實(shí)的。如何用數(shù)量最少的PMU進(jìn)行合理的安裝配置以實(shí)現(xiàn)對(duì)全網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)的完全可觀測(cè)及量測(cè)冗余度最大化將具有很大的現(xiàn)實(shí)意義。本文以PMU安裝數(shù)最少和量測(cè)冗余度最高為目標(biāo)，建立了PMU的優(yōu)化配置數(shù)學(xué)模型，并提出一種改進(jìn)的免疫算法進(jìn)行求解，得到PMU多目標(biāo)優(yōu)化配置方案的Pareto最優(yōu)解集，最后用模糊集理論對(duì)最優(yōu)解集中的解進(jìn)行評(píng)價(jià)。

1 PMU最優(yōu)配置

在電力系統(tǒng)中，電壓相量可測(cè)或可求出的節(jié)點(diǎn)稱為可觀測(cè)節(jié)點(diǎn)，否則為不可觀測(cè)節(jié)點(diǎn)。若系統(tǒng)的所有節(jié)點(diǎn)均為可觀測(cè)節(jié)點(diǎn)，則系統(tǒng)為完全可觀測(cè)系統(tǒng);反之，系統(tǒng)為不完全可觀測(cè)系統(tǒng)。

1.1 系統(tǒng)可觀測(cè)性分析判定條件與方法

從網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)方程可解性的角度，可給出如下節(jié)點(diǎn)可觀測(cè)性的判定條件［3］:

1)配置PMU的節(jié)點(diǎn)及其相鄰節(jié)點(diǎn)為可觀測(cè)節(jié)點(diǎn)。

2)對(duì)于可觀測(cè)的零注入節(jié)點(diǎn)，若其相鄰節(jié)點(diǎn)中只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)可觀測(cè)性未知，其余都可觀測(cè)，則可觀測(cè)性未知節(jié)點(diǎn)為可觀測(cè)節(jié)點(diǎn)。

3)對(duì)于可觀測(cè)性未知的零注入節(jié)點(diǎn)，若其相鄰節(jié)點(diǎn)皆為可觀測(cè)結(jié)點(diǎn)，則該節(jié)點(diǎn)為可觀測(cè)節(jié)點(diǎn);若其相鄰節(jié)點(diǎn)中包含可觀測(cè)性未知的節(jié)點(diǎn)，其可觀測(cè)性需要用節(jié)點(diǎn)方程理論來(lái)判斷。

1.2 PMU多目標(biāo)優(yōu)化配置模型

若當(dāng)所配置的全部PMU中任意一個(gè)出現(xiàn)故障時(shí)，均能保持可觀測(cè)的節(jié)點(diǎn)，稱之為冗余量測(cè)節(jié)點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)N節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)，若采用某種PMU配置方案可存在R個(gè)冗余量測(cè)節(jié)點(diǎn)，則該方案的N-1量測(cè)冗余度定義為:D=R/N，PMU多目標(biāo)優(yōu)化配置模型為

式中，m為PMU安裝數(shù)量;Ui表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)不可觀測(cè);N為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)。

2 多目標(biāo)優(yōu)化的免疫算法

多目標(biāo)優(yōu)化的免疫算法基于免疫應(yīng)答原理，其主要思想是將求解問(wèn)題的多目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)入侵免疫系統(tǒng)的抗原，多目標(biāo)函數(shù)的可行解對(duì)應(yīng)免疫系統(tǒng)產(chǎn)生的抗體，用抗原和抗體親和度來(lái)描述可行解和最優(yōu)解的逼近程度。

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)Fopt可表示為:

式中，fi(x)為第i個(gè)目標(biāo)函數(shù);Nobj為目標(biāo)函數(shù)數(shù)量。

在進(jìn)化算法中，個(gè)體都需要分配表示其優(yōu)劣程度的適應(yīng)度。在單目標(biāo)問(wèn)題中通過(guò)唯一的目標(biāo)函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，但在面對(duì)式(5)同時(shí)存在多個(gè)目標(biāo)的情況時(shí)，評(píng)價(jià)個(gè)體的優(yōu)劣變得相對(duì)復(fù)雜，適應(yīng)度的分配問(wèn)題成了難點(diǎn)。

2.2 Pareto 最優(yōu)

Pareto可行解概念是建立在集合論基礎(chǔ)上對(duì)多目標(biāo)解的一種向量評(píng)估形式，在多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中，常用到如下幾個(gè)定義［4］:

定義1當(dāng)且僅當(dāng)滿足 ?i∈ {1，2，…，m}(fi(x1)≤fi(x2))，且 ?j∈ {1，2，…，m}(fj(x1)＜fj(x2))時(shí)，可定義x1支配x2(表示成x1＜x2)。

定義2當(dāng)x∈S且不存在x'∈S使得x'＜x，則可稱x為集合S的非支配解，而包含所有這樣非支配解x的集合P則稱為S的非支配集。

定義3集合PF={vv=［f1(x)，f2(x)，…，fm(x)］T，x∈P}稱為集合S的Pareto前沿。

2.3 改進(jìn)免疫算法

免疫算法將求解問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件作為入侵生物體的抗原，最優(yōu)問(wèn)題的可行解當(dāng)作免疫系統(tǒng)產(chǎn)生的抗體。通過(guò)抗體和抗原的親和度來(lái)描述可行解與最優(yōu)解的逼近程度，通過(guò)一系列的進(jìn)化操作及親和度的計(jì)算，在保持抗體多樣性的情況下，找到抗體種群中與抗原親和度最大的抗體作為最優(yōu)解［5］。

2.3.1 種群初始化

初始父種群Yi由隨機(jī)產(chǎn)生的m個(gè)各不相同的長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制編碼(1代表該位置配置PMU，0代表不配置)個(gè)體組成，初始子種群Xi為空。

2.3.2 非一致性變異

傳統(tǒng)免疫算法的變異算子的作用和變異代數(shù)沒(méi)有直接關(guān)系，當(dāng)算法進(jìn)化到一定代數(shù)以后，由于缺乏局部搜索，很難通過(guò)該變異算子獲得最優(yōu)解。本文采用非一致性變異算子，該算子將變異結(jié)果與進(jìn)化代數(shù)聯(lián)系起來(lái)，使得在進(jìn)化初期，變異算子的范圍相對(duì)較大，而隨著進(jìn)化的推進(jìn)，變異的范圍越來(lái)越小，起到一種對(duì)演化系統(tǒng)的微調(diào)作用。具體操作如下:

設(shè)xk={v1，…，vs-1，vs，…，vl}是一個(gè)父抗體，抗體基因串長(zhǎng)度為l，分量vk被選為進(jìn)行變異，x'k={v1，…，vs-1，v's，…，vl}為變異后的抗體

式中，maxs、mins為抗體基因vs取值的最大值和最小值;t為當(dāng)前的進(jìn)化代數(shù)，函數(shù)△(t，y)的值域?yàn)椋?，y］，并使得當(dāng)t增大時(shí)，△(t，y)接近于0的概率增加，即t的值越大，△(t，y)去接近于0的值的可能性越大，從而使算法在演化初始期能夠搜索到較大范圍，而后期主要是進(jìn)行局部搜索。

函數(shù)△(t，y)的表達(dá)式為

式中r是［0，1］上的一個(gè)隨機(jī)數(shù);T表示最大代數(shù);λ是決定非一致性程度的參數(shù)，起調(diào)整局部搜索區(qū)域的作用，一般取為2～5。

2.3.3 參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整

當(dāng)算法接近或陷入局部最優(yōu)時(shí)，群體的多樣性小，此時(shí)希望變異率大一些，使得個(gè)體在更廣闊的空間擴(kuò)展和突變，增加群體的多樣性，以保證在局部搜索范圍變大時(shí)局部搜索的有效性。在算法遠(yuǎn)離收斂狀態(tài)時(shí)，群體的多樣性大，此時(shí)希望變異率小一些，以保證群體的進(jìn)化，使得在多個(gè)不同個(gè)體的領(lǐng)域內(nèi)搜索。如果適當(dāng)調(diào)節(jié)算法參數(shù)，既可保證群體的進(jìn)化，又可提高算法的全局尋優(yōu)性能。為此，引入?yún)?shù)的自適應(yīng)調(diào)整策略，使得子種群在各自的進(jìn)化過(guò)程中，變異率pm按親和度自動(dòng)調(diào)整。

式中，f為待變異抗體的親和度值;fmax為種群中抗體親和度最大值;faverage為每代種群抗體親和度的平均值;k1、k2在(0，1)內(nèi)取值。

2.4 算法流程

PMU多目標(biāo)優(yōu)化配置的計(jì)算過(guò)程如下:

(1)為保持種群個(gè)體多樣性，檢驗(yàn)子種群Xg與父種群Yg中是否有重復(fù)的個(gè)體，若有則對(duì)該重復(fù)個(gè)體進(jìn)行局部變異，直至兩種群中的個(gè)體各不相同，并由式(6)計(jì)算所有新生個(gè)體的各目標(biāo)函數(shù)值。將新的子種群Xg與父種群Yg混合成一個(gè)更大規(guī)模的臨時(shí)種群Sg。

(2)按Pareto排序策略［6］，找出當(dāng)前種群Sg的Pareto最優(yōu)解集合，作為Yg(1)，將Yg(1)中所有個(gè)體從當(dāng)前種群中移出，然后在剩余個(gè)體群中再找出新的Pareto最優(yōu)解集合，作為Yg(2)，依此類(lèi)推，直到所有個(gè)體都完成分級(jí)排序。然后，計(jì)算出各級(jí)中各個(gè)體的擁擠距離。

(3)將Yg(1)，Yg(2)，…按先后順序形成一個(gè)新種群中，填充直到種群規(guī)模將超過(guò)m時(shí)，改為對(duì)Yg(i)中的個(gè)體按擁擠距離由大到小逐個(gè)補(bǔ)充，直到種群規(guī)模正好等于m時(shí)停止，形成新的父種群Yg+1。

(4)從Yg+1中按排序等級(jí)值越小越優(yōu)先、同一等級(jí)則擁擠距離越大越優(yōu)先的原則，采用隨機(jī)錦標(biāo)賽的形式產(chǎn)生優(yōu)選種群，優(yōu)選種群規(guī)模一般設(shè)置為父種群規(guī)模的一半左右。對(duì)以上優(yōu)選種群采用2.3.1節(jié)中的非一致性變異機(jī)制，得到新的子種群Xg+1。

(5)若g=gmax，輸出父種群即為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的Pareto最優(yōu)解集;否則令g=g+1，進(jìn)入下一次循環(huán)。

2.5 最優(yōu)解評(píng)價(jià)

多目標(biāo)優(yōu)化得到的是一個(gè)Pareto最優(yōu)解集，實(shí)際應(yīng)用中決策者需要從中選擇一個(gè)最優(yōu)折衷解作為最終實(shí)施的方案，根據(jù)模糊集理論來(lái)確定最優(yōu)折衷解［7］。每個(gè)Pareto解中各目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的滿意度可用模糊隸屬度函數(shù)來(lái)表示，定義如下

求得Pareto解集中各解的標(biāo)準(zhǔn)化滿意度為

對(duì)Pareto最優(yōu)解集進(jìn)行評(píng)價(jià)，選擇l值最大的為最優(yōu)折衷解。

3 算例分析

本文采用IEEE-39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)［8］進(jìn)行PMU多目標(biāo)優(yōu)化配置，取最大迭代次數(shù)為100，初始種群規(guī)模為100，k1、k2取0.5，λ取2.5，采用本文方法求解，得到能綜合實(shí)現(xiàn)PMU安裝數(shù)盡量少和冗余量測(cè)節(jié)點(diǎn)數(shù)盡量多兩目標(biāo)的一系列Pareto最優(yōu)解，表1中列出了部分PMU多目標(biāo)優(yōu)化配置方案。

表1 PMU多目標(biāo)優(yōu)化配置方案

從表1中可看出，在全網(wǎng)完全可觀測(cè)的前提下，要提高量測(cè)冗余度，則必須增加PMU，要實(shí)現(xiàn)全網(wǎng)完全可觀測(cè)至少需要安裝8個(gè)PMU，此時(shí)冗余量測(cè)節(jié)點(diǎn)數(shù)為6;若要完全實(shí)現(xiàn)全網(wǎng)N-1量測(cè)可靠性，即冗余量測(cè)節(jié)點(diǎn)達(dá)到100%，則至少需要安裝17個(gè)PMU。各方案可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化滿意度來(lái)評(píng)估，當(dāng)資金允許情況下，應(yīng)選擇滿意度盡可能高的PMU配置方案，比較表1中各Pareto最優(yōu)解的標(biāo)準(zhǔn)化滿意度值，最優(yōu)折衷方案可選擇(7，8，10，12，16，18，20，22，23，25，26，29，30)。可見(jiàn)，本文的多目標(biāo)優(yōu)化方法可較大程度地改善PMU優(yōu)化配置方案選擇的合理性和靈活性，便于決策者根據(jù)實(shí)際情況需要選擇最合適的配置方案。

4 結(jié) 論

本文將帕雷托分類(lèi)排序與免疫算法相結(jié)合，對(duì)PMU進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化配置，目標(biāo)函數(shù)選取為PMU的安裝數(shù)目最小，且系統(tǒng)的N-1量測(cè)可靠性盡量高，采用模糊集理論提取出最優(yōu)折中解，并通過(guò)非一致性變異操作來(lái)提高免疫算法的性能，改進(jìn)后的免疫算法體現(xiàn)出優(yōu)越的性能，可簡(jiǎn)單快速地實(shí)現(xiàn)全局多目標(biāo)尋優(yōu)，找到大量的Pareto最優(yōu)解，得到準(zhǔn)確而完整的Pareto前沿。得到的PMU多目標(biāo)優(yōu)化配置方案合理可行，對(duì)于相關(guān)決策者根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行科學(xué)選擇具有現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。

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