胥 義 鐘彥騫 呂 婭 王麗萍 周國(guó)燕 劉寶林

(上海理工大學(xué)生物系統(tǒng)熱科學(xué)研究所，上海 200093)

引言

血管移植是血管與心臟修補(bǔ)的良好方法，但由于新鮮供體不足，應(yīng)用受到很大限制。為提高有限供體的利用率，血管組織的低溫保存成為人們近年來研究的重要課題。在對(duì)血管進(jìn)行低溫保存時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的熱應(yīng)力，如果熱應(yīng)力過大，可能會(huì)使材料首先產(chǎn)生微觀裂紋，微觀裂紋在更大的拉應(yīng)力等各種負(fù)載的作用下會(huì)擴(kuò)展成可見的宏觀裂紋，這在臨床上是非常危險(xiǎn)的［1］。所以，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)血管凍結(jié)過程中的熱應(yīng)力分布，對(duì)于成功低溫保存血管材料是很關(guān)鍵的。

文獻(xiàn)［1］最早針對(duì)血管凍結(jié)過程熱應(yīng)力分布進(jìn)行求解，但由于當(dāng)時(shí)血管的低溫物理參數(shù)匱乏，計(jì)算中都是近似地取用冰或水的一些物理參數(shù)。然而，不同的生物材料由于其組分的差異，這必然會(huì)引起其低溫狀態(tài)下物理參數(shù)的顯著不同，所以這樣的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際相差較大。雖然，文獻(xiàn)［2－3］采用了部分實(shí)測(cè)物理參數(shù)對(duì)血管進(jìn)行了熱應(yīng)力分析，但他們?cè)谶x擇計(jì)算參數(shù)時(shí)，沒有綜合考慮降溫速率和保護(hù)劑濃度對(duì)熱膨脹系數(shù)的影響，以及保護(hù)劑濃度對(duì)彈性模量的影響。而從文獻(xiàn)［4］的研究結(jié)果表明，對(duì)血管不同的預(yù)處理方式以及在凍結(jié)過程中不同的凍結(jié)方式，都會(huì)影響血管在凍結(jié)過程中未凍水分額，從而大大影響熱膨脹系數(shù)以及拉伸力學(xué)性質(zhì)(如彈性模量、極限應(yīng)力強(qiáng)度)等。因此，有必要全面了解降溫速率、低溫保護(hù)劑濃度對(duì)血管凍結(jié)過程中應(yīng)力分布的影響。

此外，在已有的研究中，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過快速降溫或多次凍結(jié)一復(fù)溫循環(huán)后，血管就出現(xiàn)了肉眼可見的宏觀裂紋［5］，但還未有相關(guān)的熱應(yīng)力分析文獻(xiàn)報(bào)道。因此，本研究還在血管實(shí)體模型中引入微裂紋，期望通過不同寬度的微裂紋來模擬多次凍結(jié)一復(fù)溫循環(huán)之后的裂紋擴(kuò)展情況，從而進(jìn)一步討論微裂紋的存在對(duì)血管凍結(jié)過程中應(yīng)力分布的影響。

1 主動(dòng)脈血管實(shí)體物理模型的建立及計(jì)算參數(shù)選取

1.1 實(shí)體物理模型建立

為了便于理論分析，假定血管材料在凍結(jié)過程中表現(xiàn)為各向同性。如果將血管看作無限長(zhǎng)圓筒，則主動(dòng)脈血管凍結(jié)過程就可以簡(jiǎn)化為沿血管徑向變化的問題。其模型示意圖如圖1所示。

圖1 血管邊界條件示意(R1—血管內(nèi)徑;R2—血管外徑;Tb—外界冷媒溫度;hb—冷媒在血管內(nèi)外壁表面的對(duì)流換熱系數(shù))Fig.1 Schematic diagram of boundary conditions of considered artery(R1—artery inner diameter;R2—artery outer diameter;Tb—refrigerant temperature;hb—convection heat transfer coefficient)

有關(guān)血管凍結(jié)過程的傳熱控制方程和熱應(yīng)力控制方程的描述見文獻(xiàn)［1］，這里不再贅述。本研究采用ANSYS計(jì)算軟件，選擇直接藕合方法，其單元類型為“SOLID5”，它的自由度包括溫度、位移，其計(jì)算結(jié)果可以同時(shí)獲得溫度場(chǎng)分布、各坐標(biāo)軸方向的分應(yīng)力、切應(yīng)力以及主應(yīng)力等參數(shù)。

以兔胸主動(dòng)脈血管為計(jì)算實(shí)體模型，其內(nèi)徑為3 mm，壁厚1 mm，對(duì)無微裂紋存在的血管實(shí)體模型進(jìn)行影射劃分網(wǎng)格后如圖2(a)所示。針對(duì)血管有微裂紋的情況，由于V型切口在工程結(jié)構(gòu)或材料中夾雜開裂時(shí)經(jīng)常遇到，因而研究V型切口有一定現(xiàn)實(shí)意義［6］。再加上文獻(xiàn)［5，7－8］的研究結(jié)果表明:血管凍存過程中出現(xiàn)的裂紋開口方向都是與血管軸線垂直的。因此，選擇V型切口的彈性裂紋模型，并且垂直于血管軸線方向。如圖2(b)是血管有穿透型微裂紋及其有限元網(wǎng)格劃分的情況，其表面投影如圖2(c)所示，其中W表示裂紋寬度，通過改變裂紋寬度，來模擬裂紋擴(kuò)展情況。

1.2 參數(shù)選取及定解條件的確定

文獻(xiàn)［1］通過對(duì)血管熱應(yīng)力本構(gòu)方程組的分析，確定影響應(yīng)力分布的幾個(gè)主要變量為:彈性模量E、泊松比 ν、線性膨脹系數(shù)α以及溫度分布 T(r，t)等。而其中溫度分布T(r，t)，又與材料的熱導(dǎo)率、表觀比熱容、密度等參數(shù)有關(guān)。而這些物理參數(shù)的研究目前已經(jīng)比較細(xì)致和完善了，其來源見表1所示。

圖2 血管實(shí)體模型及其有限元網(wǎng)格的劃分。(a)無裂紋實(shí)體模型;(b)有微裂紋實(shí)體模型;(c)垂直于血管軸向的微裂紋(寬度為W)示意圖Fig.2 Solid model and finite element mesh of artery.(a)without any crack;(b)solid model with a microcrack;(c)schematic diagram of a micro-crack with width W perpendicular to artery axis

表1 計(jì)算參數(shù)選取Tab.1 Literature source of chosen parameters

表2 不同邊界條件所對(duì)應(yīng)的平均降溫速率Tab.2 Cooling rates corresponding to different boundary conditions

定解條件包括初始條件和邊界條件。由于在實(shí)際的凍結(jié)過程中，內(nèi)、外邊界通常為對(duì)流邊界條件，那么，通過改變對(duì)流換熱系數(shù)，就可以獲得內(nèi)、外邊界上與之相對(duì)應(yīng)的平均降溫速率。冷媒溫度一般為低溫氮?dú)?，這里?。?00℃。通過大量模擬計(jì)算，針對(duì)本文研究的血管物理性質(zhì)，血管外表面對(duì)流換熱系數(shù)與平均降溫速率存在如表2所示的對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于血管材料的凍結(jié)點(diǎn)溫度都在0℃以下［12］，因此，其初始溫度為 0℃即可。

2 結(jié)果與討論

在材料力學(xué)的研究中，有多種屈服破壞準(zhǔn)則，而最大主應(yīng)力準(zhǔn)則是其中一種最常用的準(zhǔn)則［13］。在工程應(yīng)用中，承載構(gòu)件的破壞通常與構(gòu)件上發(fā)生破壞一點(diǎn)的最大主應(yīng)力有關(guān)。所以，分析結(jié)果時(shí)只是針對(duì)最大主應(yīng)力來討論。為便于討論，選取圖3所示的血管橫截面，圖中“A”、“B”、“C”分別表示血管壁外表面、中心以及內(nèi)表面處的有限元節(jié)點(diǎn)。因此，這些節(jié)點(diǎn)處的主應(yīng)力就分別代表了血管壁外表面、中心以及內(nèi)表面處的主應(yīng)力。

圖3 血管橫截面節(jié)點(diǎn)示意圖(A—血管壁外表面節(jié)點(diǎn);B—血管壁中心節(jié)點(diǎn);C—血管壁內(nèi)表面節(jié)點(diǎn))Fig.3 Schematic illustration of finite element nodes in artery cross section(A—outer surface node;B—intermediate node;C—inner surface node)

2.1 降溫速率對(duì)熱應(yīng)力分布的影響

通過大量計(jì)算，發(fā)現(xiàn)血管在凍結(jié)過程的溫度分布中，管壁中心位置與血管壁外表面之間的溫差最大。這主要是因?yàn)樵趦鼋Y(jié)過程中不斷釋放出的相變潛熱通過內(nèi)外表面時(shí)，由于面積不同而引起內(nèi)表面熱流密度大于外表面，最終體現(xiàn)為外表面比內(nèi)表面降溫快。不同降溫速率下管壁中心位置與外壁之間的差值隨溫度變化如圖4所示。很明顯，降溫速率越大，這個(gè)溫差越大，而且，最大差值一般都出現(xiàn)在－4～－5℃之間。這主要是因?yàn)檠茉?～－10℃之間的熱導(dǎo)率有一個(gè)從0.388到1.05的突變過程［11］，在開始凍結(jié)時(shí)的熱導(dǎo)率較小，隨著溫度的持續(xù)降低，必然在這一溫區(qū)的某一個(gè)溫度點(diǎn)溫差達(dá)到最大，而后隨血管中可凍水已經(jīng)大部分凍結(jié)，熱導(dǎo)率明顯增大，傳熱能力增強(qiáng)，所以兩者之間的溫差又逐漸減小。

圖4 降溫過程中血管外壁與血管壁厚中心處之間的溫差Fig.4 Temperature differences between the outer and intermediate nodes in artery during freezing

圖5表示無低溫保護(hù)劑時(shí)，降溫速率為3、5、10、50℃/min時(shí)，血管壁中 A、B、C各節(jié)點(diǎn)處最大主應(yīng)力隨溫度的變化規(guī)律。這幾種情況下的主應(yīng)力分布有幾個(gè)共同點(diǎn):1)血管壁內(nèi)、外表面的主應(yīng)力表現(xiàn)為壓應(yīng)力，中心處表現(xiàn)為拉應(yīng)力，這與文獻(xiàn)［2］是一致的;2)無論是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，它們都是隨著溫度的降低逐漸增大，達(dá)到某一峰值后快速降低，最后趨于0值;3)三者中，血管壁外表面所受的應(yīng)力值最大，內(nèi)表面次之，中心處的應(yīng)力值略小于內(nèi)表面的應(yīng)力絕對(duì)值。至于第一點(diǎn)，主要是因?yàn)檠茉趦鼋Y(jié)過程中處于膨脹狀態(tài)，而血管壁內(nèi)外表面首先被凍結(jié)，一旦內(nèi)部?jī)鼋Y(jié)膨脹必然會(huì)受到表面已凍層的約束，所以，內(nèi)、外表面體現(xiàn)為壓應(yīng)力。對(duì)于第二點(diǎn)的解釋是:這主要是因?yàn)殡S著溫度降低，熱膨脹系數(shù)也是先增大后快速減小［10］，而且，這個(gè)轉(zhuǎn)變點(diǎn)溫度也是應(yīng)力發(fā)生轉(zhuǎn)變所對(duì)應(yīng)的溫度，這也說明血管凍結(jié)過程的最大應(yīng)力是發(fā)生在相變區(qū)間。而引起第三點(diǎn)的主要原因是血管凍結(jié)過程中，因?yàn)檠芴厥獾膱A管形狀使得每一層同心圓面的面積不同，從而引起每一層面的熱流密度不同，最終導(dǎo)致不同層面的溫度不同，一般是外表面溫度<內(nèi)表面溫度<中心層面溫度。所以，計(jì)算過程中同一時(shí)刻不同層面的物理參數(shù)會(huì)隨溫度不同而有差異，必然引起應(yīng)力分布不同。從而還可以得出一個(gè)結(jié)論就是:血管凍結(jié)過程中，外表面所受應(yīng)力最大，因而顯得最為脆弱，可以認(rèn)為血管發(fā)生裂紋斷裂時(shí)是從外表面開始的。不過，這有待進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)觀察來驗(yàn)證。

圖5 降溫速率對(duì)血管內(nèi)最大主應(yīng)力的影響。(a)3℃ /min;(b)5℃ /min;(c)10℃ /min;(d)50℃/minFig.5 Effects of cooling rates on maximum thermal stress distributions in artery.(a)3℃/min;(b)5℃ /min;(c)10℃ /min;(d)50℃ /min

圖6給出了不同降溫速率下血管壁外表面節(jié)點(diǎn)最大主應(yīng)力對(duì)比曲線。降溫速率增大時(shí)，血管凍結(jié)過程產(chǎn)生的熱應(yīng)力明顯增大，特別是當(dāng)降溫速率達(dá)到50℃/min時(shí)(最大主應(yīng)力約為2.4 MPa)，其最大應(yīng)力比3℃/min(最大主應(yīng)力約為0.023 MPa)增大了兩個(gè)數(shù)量級(jí)。從圖4可知，造成這種情況是因?yàn)榻禍厮俾试龃蠛髮?dǎo)致血管內(nèi)部各節(jié)點(diǎn)之間的溫差增大，由此而引起各自所對(duì)應(yīng)的物理參數(shù)不同，最終綜合影響應(yīng)力分布的結(jié)果。

圖6 降溫速率時(shí)外壁面最大主應(yīng)力的影響Fig.6 Effects of cooling rates on maximum thermal stress distributions of outer node

2.2 低溫保護(hù)劑對(duì)熱應(yīng)力分布的影響

圖7考察了添加低溫保護(hù)劑后對(duì)血管凍結(jié)過程血管壁中A、B、C各節(jié)點(diǎn)處熱應(yīng)力分布的影響。從曲線圖中可以看出，其曲線特點(diǎn)除了2.1節(jié)所述三個(gè)共同點(diǎn)和原因以外，另外還有以下特點(diǎn):當(dāng)DMSO濃度增大到10%時(shí)，最大應(yīng)力值不再出現(xiàn)在熱膨脹系數(shù)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)(－32～－35℃溫區(qū))，而是出現(xiàn)在－4℃左右。從圖4可知，血管壁中最大溫差一般出現(xiàn)在－4℃左右，這說明這種情況下溫差是引起最大應(yīng)力的最主要原因。究其根本原因，還是由于DMSO濃度達(dá)到10%以后，其熱膨脹系數(shù)［10］和彈性模量［9］明顯減小。特別是彈性模量可以說是應(yīng)力分布的放大器，它本身就減小了2～3個(gè)數(shù)量級(jí)。而根據(jù)應(yīng)力本構(gòu)方程組中的各參數(shù)來看，熱膨脹系數(shù)和彈性模量的影響顯著下降，而溫差就上升為主要影響因素。

圖7 低溫保護(hù)劑濃度對(duì)血管壁內(nèi)、外表面以及中心層面最大主應(yīng)力的影響(降溫速率為 5℃/min)。(a)無DMSO;(b)5%DMSO;(c)10%DMSO;(d)15%DMSOFig.7 Effects of cryo-protective agent concentrations on maximum thermalstressdistributionsin arterywith cooling rate of 5℃/min.(a)Without DMSO;(b)5%DMSO;(c)10%DMSO;(d)15%DMSO

圖8對(duì)比了經(jīng)過不同DMSO濃度處理后，血管在凍結(jié)過程中外表面的最大主應(yīng)力隨溫度變化的情況。很顯然，經(jīng)過 DMSO處理后，血管凍結(jié)過程產(chǎn)生的熱應(yīng)力顯著減小。這是因?yàn)镈MSO的添加使得血管凍結(jié)過程未凍水分額明顯增大［13］，從而大大改變了血管凍結(jié)過程的力學(xué)性質(zhì)，這也說明低溫保護(hù)劑的添加而避免了熱應(yīng)力對(duì)血管的機(jī)械損傷。這也說明，當(dāng)添加低溫保護(hù)劑后，為了減弱溫差對(duì)熱應(yīng)力的影響，采用較慢的降溫速率是必要的。

圖8 低溫保護(hù)劑濃度對(duì)血管外壁面處最大主應(yīng)力的影響(降溫速率為5℃/min)Fig.8 Effects of cryo-protective agent concentrations on maximum thermal stress distributions in outer node a with cooling rate of 5℃/min

2.3 血管中存在的微裂紋對(duì)熱應(yīng)力分布的影響

在以往的研究中，經(jīng)過快速降溫或多次凍結(jié)-復(fù)溫循環(huán)后，血管就出現(xiàn)了肉眼可見的宏觀裂紋［5］。從強(qiáng)度力學(xué)的角度來看，如果血管在凍結(jié)過程中一旦有微裂紋出現(xiàn)，就會(huì)存在缺口敏感性問題。而材料力學(xué)的研究表明，任何材料中一旦存在一長(zhǎng)為W缺口或裂紋，在受力情況下的力線分布如圖9所示［14］?？梢郧宄乜闯觯x裂尖稍遠(yuǎn)的地方為一均勻拉伸區(qū)，裂紋兩側(cè)面劃陰影的地方由于不承受拉應(yīng)力，沒有應(yīng)變，也沒有彈性應(yīng)變能，所以就沒有力線。此時(shí)，這一區(qū)域在無裂紋條件下承擔(dān)的應(yīng)力、應(yīng)變和能量都集中在裂尖附近了。如果外載荷繼續(xù)增大，裂尖處的應(yīng)力集中一旦超過某一臨界應(yīng)力值，微裂紋必然擴(kuò)展成為宏觀裂紋。

圖9 裂紋附近力線的分布Fig.9 Force line distributions closed to micro-crack

圖10給出了血管以5℃/min降溫時(shí)，血管微裂紋尖點(diǎn)附近應(yīng)力場(chǎng)分布。顯然，在凍結(jié)過程中，裂尖附近形成了應(yīng)力集中現(xiàn)象，而且越靠近裂尖點(diǎn)，其應(yīng)力值越大。

圖10 血管裂尖附近應(yīng)力場(chǎng)分布(局部放大)(以5℃/min降溫到(45℃，W=0.5 mm)Fig.10 Stress distributions near to the artery crack tip when cooled to(45℃with cooling rate 5℃/min(W=0.5 mm)

根據(jù)2.1和2.2部分的應(yīng)力分析可知，在凍結(jié)過程中，血管外壁產(chǎn)生的應(yīng)力最大。因此，在血管外壁的裂尖節(jié)點(diǎn)處也是整個(gè)血管最大應(yīng)力集中處。圖11所示為血管以5℃/min降溫過程中，不同寬度微裂紋裂尖外壁節(jié)點(diǎn)的最大主應(yīng)力分布，其中W=0表示血管中無微裂紋。從圖中曲線也可以看出，一旦血管中存在了微裂紋，其裂尖點(diǎn)必然出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象;而且，裂紋寬度越小，其應(yīng)力值越大。該如何解釋后者呢?

圖11 微裂紋寬度時(shí)對(duì)血管裂尖點(diǎn)最大主應(yīng)力的影響(降溫速率為5℃/min)Fig.11 Effects of crack width on maximum stress distributions in artery crack tip with cooling rate of 5℃/min

在對(duì)血管凍結(jié)過程建立計(jì)算模型時(shí)假設(shè)為彈性模型，那么，根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)觀點(diǎn)來看，必然存在一個(gè)叫做應(yīng)力強(qiáng)度因子的參數(shù) K［15］。對(duì)于普通構(gòu)件，一般形狀的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子屬于 KI型(即張開型)。應(yīng)力強(qiáng)度因子KI與作用在裂紋頂端處的名義應(yīng)力σ及裂紋尺寸W之間存在以下的普遍關(guān)系:

式中，Y為表征含裂紋構(gòu)件幾何形狀的一個(gè)無因次系數(shù)，針對(duì)某一研究對(duì)象而言是常數(shù)。當(dāng)外應(yīng)力σ增大到一定程度時(shí)，裂紋達(dá)到失穩(wěn)狀態(tài)，此時(shí)，即使外力不再增加，裂紋也會(huì)迅速擴(kuò)展，直到斷裂。這種情況下KI達(dá)到極值KIC，這就是斷裂力學(xué)研究中所稱的材料斷裂韌性，KIC表示的是材料的一種力學(xué)性能。

因此，對(duì)于血管材料而言，也同樣存在一個(gè) KIC值［16］。那么，在相同外界載荷下，當(dāng)裂紋寬度(即 W值)越小時(shí)，其裂尖處的應(yīng)力也就越大。所以，可以得出以下結(jié)論:血管中存在的微裂紋對(duì)于其凍結(jié)過程中出現(xiàn)的斷裂現(xiàn)象(尤其是在斷裂成核擴(kuò)展初期)有著非常大的影響，特別是超微小裂紋處很可能就成為宏觀裂紋出現(xiàn)的源頭。

降溫速率對(duì)裂尖點(diǎn)處最大主應(yīng)力分布的影響如圖12所示(微裂紋寬W=0.05 mm)。當(dāng)降溫速率達(dá)到50℃/min時(shí)，凍結(jié)過程中最大應(yīng)力值達(dá)到了約12 MPa，是5℃/min降溫時(shí)的約30倍。而且該值已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于血管的極限拉應(yīng)力強(qiáng)度(6 MPa左右，見文獻(xiàn)［9］)，這時(shí)必然引起裂紋的擴(kuò)展，直至出現(xiàn)宏觀裂紋現(xiàn)象。

圖12 降溫速率對(duì)裂尖點(diǎn)最大主應(yīng)力的影響(W=0.05 mm)Fig.12 Effects of cooling rates on maximum stress distributions in artery crack tip with crack width 0.05 mm

3 結(jié)論

1)血管壁內(nèi)、外表面的主應(yīng)力表現(xiàn)為壓應(yīng)力，中心處表現(xiàn)為拉應(yīng)力;無論是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，它們都是隨著溫度的降低逐漸增大，達(dá)到某一峰值后快速降低，最后趨于0。這主要受血管凍結(jié)過程熱膨脹系數(shù)和彈性模量隨溫度變化特點(diǎn)的影響。

2)血管壁外表面所受的應(yīng)力值最大，內(nèi)表面次之，中心處的應(yīng)力值最小，因此可以認(rèn)為血管凍結(jié)過程中，外表面最為脆弱，血管發(fā)生裂紋斷裂時(shí)應(yīng)當(dāng)是從外表面開始的。

3)添加較高濃度DMSO后，由于血管的熱膨脹系數(shù)和彈性模量顯著減小，血管凍結(jié)過程產(chǎn)生的熱應(yīng)力也顯著減小。此時(shí)，溫差是引起最大應(yīng)力的最主要原因，采用較慢的降溫速率就可以減弱熱應(yīng)力的影響。

4)一旦血管中存在了微裂紋，那么其凍結(jié)過程必然出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象。而且，裂紋寬度越小，其應(yīng)力值越大，這是受血管材料斷裂韌性因子制約的。這個(gè)研究結(jié)果也表明，血管中存在超微小裂紋對(duì)于血管低溫保存來講是非常危險(xiǎn)的，而且降溫速率越大，這種潛在的危險(xiǎn)越大。因此，在對(duì)血管進(jìn)行低溫保存前，應(yīng)盡量避免樣品內(nèi)缺陷的存在。

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