胡國(guó)昌，吳美平

(國(guó)防科技大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410073)

由于平流層的戰(zhàn)略地位以及現(xiàn)代科技的進(jìn)步，平流層飛艇成為近年來(lái)各國(guó)研究熱點(diǎn)［1］．飛艇在高空?qǐng)?zhí)行特定任務(wù)(如偵察、監(jiān)視、通訊等)需要其能夠自主控制以及自主運(yùn)行．由于飛艇具有與飛機(jī)不同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此，在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，需充分掌握飛艇的運(yùn)動(dòng)特征．

文獻(xiàn)［2-5］采用牛頓法建立了平流層飛艇非線性動(dòng)力學(xué)模型，而文獻(xiàn)［6-8］采用拉格朗日法也得到了同樣的結(jié)果．以此為基礎(chǔ)，文獻(xiàn)［9-10］進(jìn)行了穩(wěn)定性和能控性分析，但只研究了在確定參數(shù)條件下的局部能控性，沒(méi)有考慮到飛艇運(yùn)行中參數(shù)易變化的特點(diǎn)．文獻(xiàn)［11-12］研究了飛艇的運(yùn)動(dòng)模態(tài)和飛行特點(diǎn)，但其對(duì)象為低空飛艇，高空飛艇的情形如何有待進(jìn)一步分析．總體來(lái)講，目前的文獻(xiàn)沒(méi)有針對(duì)平流層飛艇運(yùn)動(dòng)特性從理論上進(jìn)行較為詳細(xì)地分析，而且只研究了局部能控性，運(yùn)動(dòng)模態(tài)的分析也較為簡(jiǎn)單．基于以上背景，引入大系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)能控性方法［13］，綜合分析飛艇穩(wěn)定性、能控性和運(yùn)動(dòng)特性，并進(jìn)行相應(yīng)的仿真研究，以期對(duì)飛艇控制策略的設(shè)計(jì)提供一定的指導(dǎo)．

1 飛艇動(dòng)力學(xué)模型

1．1 飛艇模型結(jié)構(gòu)

本文研究的平流層飛艇假設(shè)為軟式飛艇，呈橢球體外形，尾翼采用“+”結(jié)構(gòu)布局，并且裝有升降舵和方向舵控制舵面，尾部配備推進(jìn)裝置，底部為吊艙，其兩側(cè)分別安裝涵道風(fēng)扇，用于實(shí)現(xiàn)矢量推進(jìn)．飛艇整體布局如圖1所示．

1．2 非線性動(dòng)力學(xué)模型及其線性化

由于運(yùn)行環(huán)境和副氣囊充放氣的影響，飛艇重心位置是變化的，為便于描述其運(yùn)動(dòng)，艇體坐標(biāo)系原點(diǎn)選為體積中心．

為得到有意義的飛艇運(yùn)動(dòng)方程和分析其運(yùn)動(dòng)特性，采用下列基本假設(shè):

1)在平流層中飛行的飛艇近似為剛體，忽略其彈性效應(yīng);

2)飛艇的體積中心與浮心重合;

3)飛艇具有對(duì)稱平面 ，且重心在對(duì)稱面內(nèi)，慣量積．采用拉格朗日法得到飛艇六自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型［6-8］:

將式(1)寫為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程形式:

式中:f(·)為矩陣形式的非線性函數(shù)，控制輸入U(xiǎn)=［P FTVTFTVDμyδeδr］T，P 為尾部推進(jìn)器推力，F(xiàn)TVT、FTVD分別為左右風(fēng)扇推力之和與之差，μy為風(fēng)扇繞飛艇橫軸的轉(zhuǎn)角，δe、δr分別表示升降舵偏角、方向舵偏角，d為外界干擾，包括風(fēng)的作用．各參數(shù)的意義以及作用力的表達(dá)式詳見(jiàn)文獻(xiàn)［3］．

類似于飛機(jī)等飛行器，飛艇的運(yùn)動(dòng)可以分為基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)和擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)．基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)指各運(yùn)動(dòng)參數(shù)完全按照預(yù)定規(guī)律變化的運(yùn)動(dòng)，通常為配平的定常飛行．?dāng)_動(dòng)運(yùn)動(dòng)是飛行中受到外界干擾而偏離基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)．采用小擾動(dòng)線性化方法對(duì)飛艇動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行線性化，即假設(shè)擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)相對(duì)于基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)為小偏量，從而略去高階小項(xiàng)使得運(yùn)動(dòng)方程為線性的．該方法分2步實(shí)現(xiàn):1)設(shè)定基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)，求取相應(yīng)的控制量．本文假定基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)設(shè)為無(wú)傾斜、無(wú)側(cè)滑且迎角為零的等速水平直線飛行，2)對(duì)原運(yùn)動(dòng)方程在基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)情況下進(jìn)行一階泰勒展開(kāi)，即得到飛艇運(yùn)動(dòng)線性近似方程:

在本文假設(shè)條件下，飛艇線性近似運(yùn)動(dòng)方程可以解耦為縱向和橫側(cè)向2個(gè)方程:

2 動(dòng)力學(xué)模型穩(wěn)定性分析

2．1 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性及其判定

穩(wěn)定性討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)受初始擾動(dòng)后的動(dòng)態(tài)特性，即研究初值的微小擾動(dòng)是否會(huì)引起系統(tǒng)狀態(tài)軌線無(wú)限偏離的問(wèn)題，是在沒(méi)有控制作用時(shí)系統(tǒng)自身固有的性質(zhì)．由穩(wěn)定性的定義可知［14］，求出系統(tǒng)(數(shù)學(xué)模型為微分方程組)的通解后，其穩(wěn)定性是比較容易判定的．但是形如式(1)的非線性系統(tǒng)很難求出解析表達(dá)式，因此難以判定其穩(wěn)定性．一種解決辦法是采用李亞普諾夫第二方法;另一種方法則是線性近似法．李亞普諾夫第二方法需要找到李亞普諾夫函數(shù)，這在非線性系統(tǒng)中是非常困難的．因此本文采用線性近似法，其思路為將非線性系統(tǒng)線性化，進(jìn)而根據(jù)下面引入的2個(gè)定理判斷原系統(tǒng)的穩(wěn)定性．

定理1 如果線性近似系統(tǒng)的特征方程沒(méi)有零實(shí)部的根，則非線性系統(tǒng)零解穩(wěn)定性與此線性近似系統(tǒng)的穩(wěn)定性相一致［14］．

定理2 如果線性近似系統(tǒng)的特征方程有零實(shí)部的根，則非線性系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性不能由此線性近似系統(tǒng)的穩(wěn)定性確定，此種情形稱為臨界情況，穩(wěn)定性與非線性項(xiàng)有關(guān)［14］．

2．2 飛艇運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性

通過(guò)上一小節(jié)的推導(dǎo)，飛艇運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性可由線性近似系統(tǒng)(式(2))進(jìn)行判斷，而線性近似系統(tǒng)的穩(wěn)定性可直接通過(guò)矩陣A的特征值進(jìn)行判定．

由小擾動(dòng)線性化過(guò)程可知，基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)不同則線性近似方程也不同．飛艇的基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)為等速水平直線飛行，前向速度(以下簡(jiǎn)稱平衡飛行速度ue)影響特征值．圖2和表1為平衡飛行速度1～45 m/s時(shí)縱向運(yùn)動(dòng)特征值的變化情況．可知飛艇縱向運(yùn)動(dòng)的4個(gè)特征值:一個(gè)非常接近虛軸的負(fù)實(shí)根λL1，一個(gè)絕對(duì)值稍大的負(fù)實(shí)根λL2，以及一對(duì)正實(shí)部共軛根λL3、λL4．由于存在實(shí)部為正的特征值，飛艇縱向運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定．同時(shí)，隨著平衡飛行速度增大，λL1變化很小，λL2向負(fù)方向變化較小，而 λL3、λL4向正方向變化較大，因此縱向運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)一步變差．

圖2 縱向特征值Fig．2 longitudinal eigenvalue

圖3和表2為平衡飛行速度1～45 m/s時(shí)，橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)特征值變化情況．飛艇橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)特征值由2 對(duì)共軛特征根λS1、λS2和 λS3、λS4組成．由于存在實(shí)部為正的特征值，飛艇橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定．隨著平衡飛行速度增大，λS1、λS2由正實(shí)部逐漸變?yōu)樨?fù)實(shí)部，并且負(fù)實(shí)部開(kāi)始遠(yuǎn)離虛軸而后又向虛軸靠近，而λS3、λS4總體上向正方向變化較大，因此縱向運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)一步變差．

圖3 橫側(cè)向特征值Fig．3 Latitudinal eigenvalue

表1 Ue變化時(shí)的縱向特征值Fig．1 longitudinal eigenvalue of varying Ue

表2 Ue變化時(shí)的橫側(cè)向特征值Fig．2 latitudinal eigenvalue of varying Ue

綜上所述，飛艇的縱向和橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)均不穩(wěn)定，即飛艇運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的．

2．3 運(yùn)動(dòng)模態(tài)

飛艇運(yùn)動(dòng)可看成是各個(gè)特征值相應(yīng)運(yùn)動(dòng)模態(tài)的一個(gè)線性組合，特征向量和初始條件的影響體現(xiàn)于不同運(yùn)動(dòng)模態(tài)的“權(quán)重”上［15］．由前一節(jié)的討論知:縱向運(yùn)動(dòng)分為3個(gè)運(yùn)動(dòng)模態(tài);而橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)含有2個(gè)運(yùn)動(dòng)模態(tài)．同一個(gè)運(yùn)動(dòng)模態(tài)在相同初始條件時(shí)，由各特征向量相對(duì)大小可知相應(yīng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)表現(xiàn)的強(qiáng)弱．為了解各個(gè)運(yùn)動(dòng)模態(tài)，將特征向量進(jìn)行如下處理［8］:

1)進(jìn)行無(wú)量綱化處理，即將線速度對(duì)應(yīng)的特征向量除以平衡飛行速度Ue，角速度對(duì)應(yīng)的特征向量除以Ue/(VB)1/3(其中VB為飛艇體積)，而角度對(duì)應(yīng)的特征向量不變．

2)選定幅值最大特征向量，除以其幅值，使其為單位量，其他的特征向量也除以這一幅值．

3)將2)所得的特征向量畫在圖中．

算例:取平衡飛行速度為18 m/s，則縱向特征值為:0．028 4-0．826 1i、0．028 4+0．826 1i、-0．004 6 和 -0．001 0;橫側(cè)向特征值為:0．041 7+0．774 0i、0．041 7-0．774 0i、-0．009 1+0．525 0i和-0．009 1-0．525 0i．圖 4 和圖 5 為經(jīng)過(guò)以上處理得到的縱向和橫側(cè)向特征向量圖(共軛特征值只畫出實(shí)部為正的相應(yīng)的特征向量)．

從圖4可知:縱向運(yùn)動(dòng)分為擺動(dòng)、緩慢阻尼和快速阻尼3個(gè)運(yùn)動(dòng)模態(tài)，分別對(duì)應(yīng)(a)～(c)3個(gè)子圖，擺動(dòng)模態(tài)主要由俯仰角速度體現(xiàn)，是一不穩(wěn)定模態(tài);快速阻尼模態(tài)則由前向速度體現(xiàn);緩慢阻尼模態(tài)主要體現(xiàn)在俯仰角變化上．從圖5易知:橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)包含偏航振蕩和滾動(dòng)衰減2個(gè)模態(tài)，分別由(a)～(b)個(gè)圖體現(xiàn)，其中偏航振蕩模態(tài)是發(fā)散的，在偏航角速度中體現(xiàn)得最明顯;而滾動(dòng)衰減模態(tài)是穩(wěn)定的，主要在滾動(dòng)角速度中體現(xiàn)．同時(shí)橫側(cè)向的2種模態(tài)有一定的耦合關(guān)系．

圖4 縱向特征向量Fig．4 Longitudinal eigenvector

圖5 橫側(cè)向特征向量Fig．5 Latitudinal eigenvector

3 動(dòng)力學(xué)模型結(jié)構(gòu)能控性

飛艇動(dòng)力學(xué)模型是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，而非線性系統(tǒng)的全局能控性往往難以衡量，因此常研究其在某一工作點(diǎn)附近的能控性(即局部能控性)．局部能控性的判定只能在參數(shù)完全確定情況下進(jìn)行，而平流層飛艇運(yùn)行中自身參數(shù)易變化，因此需實(shí)時(shí)對(duì)其進(jìn)行判斷，這是費(fèi)時(shí)而不必要的工作．所以，本文參考大系統(tǒng)理論的結(jié)構(gòu)分析方法，研究其結(jié)構(gòu)特征及結(jié)構(gòu)能控性，從而克服局部能控性判斷的不足．首先引入一些相關(guān)定義和定理．

針對(duì)式(2)描述的系統(tǒng)，設(shè)矩陣A、B中有些元素固定為零元素(由系統(tǒng)實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的)，另一些元素不確定，可以任意取值．

結(jié)構(gòu)能控性:若(A，B)有一個(gè)在通常意義上能控的結(jié)構(gòu)等價(jià)對(duì)，則稱(A，B)結(jié)構(gòu)能控．

r型矩陣:若一個(gè)n×m矩陣A，對(duì)于滿足不等式m-r≤k≤m的某個(gè)數(shù)k，含有(n+m-k-r+1)×k零子矩陣，則稱矩陣A是r型的，記作form(r)．

定理3 對(duì)于系統(tǒng)(A，B)，擴(kuò)展的能控性矩陣C有form(n2)，n為A的維數(shù)，則系統(tǒng)不能控．否則系統(tǒng)能控［13］．

考慮平流層飛艇動(dòng)力學(xué)模型線性近似以后的縱向和橫側(cè)向的結(jié)構(gòu)能控性，其擴(kuò)展能控性矩陣均不為form(n2)，由定理三知飛艇運(yùn)動(dòng)是結(jié)構(gòu)能控的．

4 仿真分析

根據(jù)以上對(duì)飛艇的動(dòng)力學(xué)模型的分析，研究其在擾動(dòng)和控制作用下的運(yùn)動(dòng)性能．

4．1 擾動(dòng)響應(yīng)

由于垂直方向和側(cè)向初始速度擾動(dòng)較為常見(jiàn)，因此本文討論飛艇非線性和線性近似模型對(duì)這2種初值擾動(dòng)的響應(yīng)．仿真條件:初始高度 h0=21 300 m，初始速度u0=18 m/s，其余運(yùn)動(dòng)參數(shù)初始值為零．

圖6(a)和(b)分別為非線性和線性近似模型存在Δw的擾動(dòng)情況下，各運(yùn)動(dòng)參數(shù)響應(yīng)曲線．由于橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)參數(shù)的響應(yīng)為零，因此圖中沒(méi)有示出．由圖可見(jiàn)，運(yùn)動(dòng)參數(shù) u、w、q、θ都出現(xiàn)振蕩，并且逐漸發(fā)散，體現(xiàn)了縱向運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定的特點(diǎn)．?dāng)_動(dòng)越大，響應(yīng)也越大．按照2．3節(jié)對(duì)各運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的無(wú)量綱處理方法，則圖6同樣能得到俯仰角速度最能體現(xiàn)擺動(dòng)模態(tài)的結(jié)論．相同擾動(dòng)量作用下，同一運(yùn)動(dòng)參數(shù)在線性近似模型比在非線性模型中的響應(yīng)更大，這是由于線性化誤差引起的．

圖6 等速直線平飛對(duì)初始擾動(dòng)Δw的響應(yīng)Fig．6 Response of the airship to initial disturbance of Δw

圖7(a)和(b)分別為非線性和線性近似模型在存在Δv的擾動(dòng)時(shí)各狀態(tài)變量響應(yīng)曲線．由圖可見(jiàn)，運(yùn)動(dòng)參數(shù)均出現(xiàn)明顯振蕩，并且很快發(fā)散，體現(xiàn)了橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定特性．在非線性模型中，雖然只有橫向擾動(dòng)，但是由于橫側(cè)向和縱向運(yùn)動(dòng)的耦合，使得縱向運(yùn)動(dòng)參數(shù)也不為0，而且均振蕩和發(fā)散．比較圖7(a)和圖7(b)，在相同擾動(dòng)量作用下，線性近似模型中運(yùn)動(dòng)參數(shù)比非線性模型中的響應(yīng)更大，這是由于存在線性化誤差的原因．圖(a)中的φ、ψ發(fā)散很快，主要是由于縱向和橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)耦合，交叉影響的緣故．對(duì)圖中各運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的無(wú)量綱處理，可知橫側(cè)向的振蕩發(fā)散模態(tài)在偏航角速度中體現(xiàn)得最為明顯．

圖7 等速直線平飛對(duì)初始擾動(dòng)Δv的響應(yīng)Fig．7 Response of the airship to initial disturbance of Δv

綜上所述可知，飛艇運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的．?dāng)[動(dòng)模態(tài)在縱向運(yùn)動(dòng)各參數(shù)中均有明顯的體現(xiàn)，而2種阻尼模態(tài)體現(xiàn)得不明顯，這是由于它們的時(shí)間常數(shù)大，被擺動(dòng)模態(tài)掩蓋了．偏航振蕩模態(tài)在橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)參數(shù)中得到了明顯的體現(xiàn)，由于該模態(tài)造成各運(yùn)動(dòng)參數(shù)很快發(fā)散，因此滾動(dòng)振蕩模態(tài)體現(xiàn)得不太明顯．

4．2 控制作用響應(yīng)

下面分別就升降舵、方向舵和主推力對(duì)系統(tǒng)的作用進(jìn)行分析，其仿真條件同4．1節(jié)．

圖8(a)和(b)分別為非線性和線性近似模型存在升降舵偏轉(zhuǎn)的情況下，各運(yùn)動(dòng)參數(shù)響應(yīng)曲線．由于橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)參數(shù)未受影響，因此圖8(a)中沒(méi)有示出．從圖中可知，等速直線平飛時(shí)，升降舵正向偏轉(zhuǎn)，u、w、q、θ很快出現(xiàn)振蕩，飛艇抬頭向上飛行．并且易知，升降舵偏轉(zhuǎn)越大，振蕩幅度越大．同一運(yùn)動(dòng)參數(shù)在相同控制量作用下，線性化模型與非線性模型的響應(yīng)幅值大小相差不大，說(shuō)明線性化誤差對(duì)控制的影響較?。?/p>

圖8 等速直線平飛對(duì)控制作用δe的響應(yīng)Fig．8 Response of the airship to initial disturbance of δe

圖9為存在方向舵偏轉(zhuǎn)的情況下，飛艇非線性和線性近似模型各運(yùn)動(dòng)參數(shù)響應(yīng)曲線．由圖易知，等速直線平飛時(shí)，方向舵偏轉(zhuǎn)，飛艇橫側(cè)向和縱向運(yùn)動(dòng)參數(shù)均振蕩，但橫側(cè)向參數(shù)振蕩更劇烈些，同時(shí)幅度更大．方向舵正向偏轉(zhuǎn)，飛艇低頭減速飛行．方向舵偏轉(zhuǎn)越大，振蕩幅度越大．在相同控制量作用下，線性化模型比非線性模型的響應(yīng)幅值小，這是因?yàn)榉蔷€性模型中縱向和橫側(cè)向耦合影響所致．

圖9 等速直線平飛對(duì)控制作用δr的響應(yīng)Fig．9 Response of the airship to δr

對(duì)水平勻速直線飛行的飛艇施加主推力，其運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化如圖10所示．由于主推力的方向始終在縱向平面內(nèi)，因此施加主推力不會(huì)影響橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)，而前向速度振蕩地增大．主推力作用方向不經(jīng)過(guò)飛艇重心，造成俯仰角的振蕩，從而產(chǎn)生垂直方向的速度．主推力對(duì)線性近似模型的控制作用與對(duì)非線性模型的控制作用大致相當(dāng)，線性化較為合理．

圖10 等速直線平飛對(duì)控制作用P的響應(yīng)Fig．10 Response of the airship to initial disturbance of P

綜上所述，控制機(jī)構(gòu)能對(duì)飛艇運(yùn)動(dòng)很快產(chǎn)生影響，但是由于飛艇運(yùn)動(dòng)自身不穩(wěn)定，需要一定的控制算法才能保證其控制性能指標(biāo)．飛艇縱向和橫側(cè)向可以進(jìn)行解耦控制，升降舵和主推力進(jìn)行縱向運(yùn)動(dòng)控制，而方向舵控制橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)．

5 結(jié)束語(yǔ)

掌握平流層飛艇運(yùn)動(dòng)特性是對(duì)其進(jìn)行控制的基礎(chǔ)和前提．本文以某平流層飛艇動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，分析了穩(wěn)定性，討論了運(yùn)動(dòng)模態(tài)，同時(shí)研究了結(jié)構(gòu)能控性．在此基礎(chǔ)上，對(duì)初值擾動(dòng)和控制作用下飛艇的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了仿真分析，得出如下主要結(jié)論:飛艇運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定，縱向的擺動(dòng)模態(tài)以及橫側(cè)向偏航振蕩模態(tài)占支配作用;飛艇動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)能控，升降舵、主推力影響縱向運(yùn)動(dòng)參數(shù)，方向舵控制橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)參數(shù);對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行線性化進(jìn)而解耦為縱向和橫側(cè)向2個(gè)子系統(tǒng)是合適的;線性化誤差對(duì)初值擾動(dòng)的響應(yīng)影響較大，而對(duì)控制作用的影響很?。?/p>

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