王大朋， 王鳳翔

(沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

0 引言

在高速電機(jī)系統(tǒng)中，普通的機(jī)械軸承存在著摩擦和磨損，而且需要潤(rùn)滑系統(tǒng)，由此會(huì)帶來使用壽命下降及潤(rùn)滑油污染等一系列問題。磁軸承是利用電磁力使轉(zhuǎn)子懸浮在定子中轉(zhuǎn)動(dòng)，具有無機(jī)械摩擦和磨損、無需潤(rùn)滑、能耗低、噪聲小、壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，特別適合于在高速電機(jī)等領(lǐng)域應(yīng)用［1－2］。

磁軸承一般分為主動(dòng)磁軸承、被動(dòng)磁軸承和混合磁軸承三類［3－5］。因?yàn)橹鲃?dòng)磁軸承更容易控制，且應(yīng)用技術(shù)比較成熟，所以目前獲得實(shí)際應(yīng)用的主要是主動(dòng)式磁軸承。由于磁軸承系統(tǒng)的復(fù)雜性，目前對(duì)磁軸承的懸浮力分析一般以電路和磁路分析為基礎(chǔ)，忽略磁飽和及漏磁等影響，在工作點(diǎn)附近運(yùn)行范圍內(nèi)進(jìn)行線性化處理，很少采用基于磁路耦合或場(chǎng)路分析結(jié)合的方法對(duì)懸浮力進(jìn)行分析［6－11］。

為了能夠更準(zhǔn)確地計(jì)算磁軸承的懸浮力，本文首先基于磁路分析推導(dǎo)了主動(dòng)式徑向磁軸承的懸浮力線性化模型。然后利用有限元法分析了磁軸承在不同偏置電流和轉(zhuǎn)子位移下的懸浮力特性曲線，確定了最佳偏置電流，對(duì)其線性化懸浮力模型的位移剛度系數(shù)和電流剛度系數(shù)進(jìn)行修正，并建立了超出線性化范圍懸浮力的非線性模型。最后對(duì)所建立的磁軸承懸浮力模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 基于電路和磁路分析的徑向磁軸承懸浮力線性化模型

主動(dòng)式徑向磁軸承類似于一臺(tái)電機(jī)，定子通常采用8個(gè)齒槽，又分為兩種磁路結(jié)構(gòu)，如圖1所示。圖1(b)所示磁路結(jié)構(gòu)可以消除垂直和水平方向懸浮力控制繞組電流磁場(chǎng)的相互影響，有利于懸浮力的解耦控制，是本文所研究的磁軸承結(jié)構(gòu)。

圖1 徑向磁軸承結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of radial magnetic bearing

為了研究的方便，本文對(duì)單自由度轉(zhuǎn)子的受力分析。單自由度(X方向)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 單自由度磁軸承示意圖Fig.2 Schematic diagram of magnetic bearing with single degree of freedom

由圖2可看出，當(dāng)定子左右控制繞組分別通入電流I1和I2后，轉(zhuǎn)子承受的X方向上的合力為

當(dāng)不計(jì)鐵心磁阻并假設(shè)定子與轉(zhuǎn)子表面之間的氣隙均勻?yàn)棣?、磁極面積為S、真空磁導(dǎo)率為μ0、每個(gè)磁極線圈匝數(shù)為N/2和通電電流為I時(shí)，考慮到磁極與垂直方向的夾角α后，轉(zhuǎn)子在X方向左右受力分別為

當(dāng)轉(zhuǎn)子沿X軸的位移為x時(shí)，令K=μ0SN2，則

通常懸浮力采用差值控制方式，即左右懸浮力控制繞組一個(gè)通以偏置電流ib與控制電流ix之和，而另一個(gè)則通以偏置電流ib與控制電流ix之差的電流，因此轉(zhuǎn)子在X方向上的受力可表示為

考慮到正常懸浮的轉(zhuǎn)子處于平衡位置附近，此時(shí) xcosα?δ0，則式(6)可以化簡(jiǎn)為

因此轉(zhuǎn)子在X方向上的穩(wěn)態(tài)受力可表示為

其中kxi和kxx分別為電流剛度和轉(zhuǎn)子偏移剛度，計(jì)算公式為

2 基于磁場(chǎng)分析的徑向磁軸承懸浮力特性

上一節(jié)推導(dǎo)的是懸浮力的一種近似的線性表達(dá)式，本節(jié)將采用有限元磁場(chǎng)分析方法，計(jì)算不同定子繞組控制電流和不同轉(zhuǎn)子偏移下的懸浮力特性，以便獲取更為準(zhǔn)確的懸浮力模型。所分析的徑向磁軸承系統(tǒng)參數(shù)為:定子內(nèi)徑64.5 mm;定子外徑75 mm;定子齒寬14 mm;轉(zhuǎn)子外徑64 mm;單邊氣隙長(zhǎng)度0.25 mm;軸向長(zhǎng)度20 mm;線圈匝數(shù)130匝。

為了分析方便，采用單獨(dú)改變轉(zhuǎn)子偏移和控制電流的情況進(jìn)行分析。在單獨(dú)改變轉(zhuǎn)子偏移位置的分析中，控制電流ix被設(shè)置成0，對(duì)于每個(gè)給定轉(zhuǎn)子偏移x，改變偏置電流ib(偏置電流變化范圍為1.0～4.5 A)，分別進(jìn)行磁場(chǎng)分析計(jì)算轉(zhuǎn)子所承受的懸浮力。采用類似的方法，可以計(jì)算單獨(dú)改變控制電流時(shí)的懸浮力。圖3為在不同的偏置電流下，懸浮力與轉(zhuǎn)子偏移的關(guān)系曲線，而圖4則為不同轉(zhuǎn)子偏移下懸浮力與偏置電流的關(guān)系曲線。

在圖3中可以看到當(dāng)偏置電流ib≥3 A時(shí)，懸浮力－轉(zhuǎn)子偏移曲線變得接近了，隨著偏置電流的進(jìn)一步加大，在不同位置的懸浮力反而開始降低了，這是由于磁路中的磁飽和引起的。在圖3中也可以看到在偏置電流ib≤3 A的情況下，當(dāng)轉(zhuǎn)子位置x≥0.1 mm時(shí)，懸浮力－轉(zhuǎn)子偏移曲線的非線性情況變得明顯了。在圖4中，可以看到當(dāng)轉(zhuǎn)子偏移位置ix≥0.125 mm時(shí)或偏置電流ib≥2.5 A時(shí)，期望的力與偏置電流的平方關(guān)系不存在了，這是也是由于磁飽和效果造成的。

圖3 不同偏置電流下懸浮力與轉(zhuǎn)子偏移的關(guān)系(控制電流ix=0)Fig.3 Levitation forces versus rotor displacements for different bias currents(control current ix=0)

圖4 不同轉(zhuǎn)子偏移下懸浮力與偏置電流的關(guān)系(控制電流ix=0)Fig.4 Levitation force versus bias current for different rotor displacements(control current ix=0)

圖5是在固定轉(zhuǎn)子偏移(x=0)時(shí)不同偏置電流下懸浮力與控制電流的關(guān)系曲線。在磁軸承的實(shí)際應(yīng)用中為了避免懸浮力的跳變，控制電流一般不超過偏置電流，故圖中對(duì)于不同的偏置電流懸浮力曲線具有不同的長(zhǎng)度。由圖5可以看出，當(dāng)偏置電流和控制電流大于2.5 A時(shí)，懸浮力與控制電流呈非線性關(guān)系。

圖5 不同偏置電流下懸浮力與控制電流ix的關(guān)系(轉(zhuǎn)子偏移x=0)Fig.5 Levitation force versus control current for different bias current(rotor displacement x=0)

綜合以上兩種情況的分析結(jié)果，可以選擇磁軸承偏置電流為2.5 A，線性化模型的適用范圍為|x|≤0.1 mm，|ix|≤2.5 A。

3 磁軸承懸浮力線性化模型系數(shù)的修正

由于解析法所得到的線性化模型的兩個(gè)系數(shù)是轉(zhuǎn)子在平衡點(diǎn)附近的分析結(jié)果，同時(shí)在解析法的分析中忽略了轉(zhuǎn)子和定子的磁阻影響。為了提高懸浮力線性化模型的精確度，可以利用磁場(chǎng)分析結(jié)果，對(duì)于線性化模型表達(dá)式(8)中的電流剛度和轉(zhuǎn)子偏移剛度系數(shù)進(jìn)行修正。

偏置電流 ib=2.5 A，轉(zhuǎn)子偏移 x不大于0.1 mm，控制電流不大于偏置電流時(shí)，由有限元軟件計(jì)算所得的懸浮力數(shù)據(jù)如表1所示，特性曲面如圖6所示。

表1 利用有限元計(jì)算所得的懸浮力數(shù)據(jù)Table 1 The data of levitation force by FEA element

圖6 懸浮力與轉(zhuǎn)子偏移和控制電流的關(guān)系Fig.6 Relationship between levitation force，rotor displacement and control current

在圖6中可以看到懸浮力與轉(zhuǎn)子位置和控制電流的關(guān)系除了在(－2.5 A，－0.1 mm)和(2.5 A，0.1 mm)點(diǎn)附近接近一個(gè)平面，可以用線性化模型來表達(dá)懸浮力與轉(zhuǎn)子偏移和控制電流的關(guān)系為

因?yàn)榇泡S承控制器的調(diào)節(jié)作用，磁軸承一般不工作在(－2.5 A，－0.1 mm)和(2.5 A，0.1 mm)點(diǎn)附近，所以采用表2中灰色部分的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法對(duì)式(11)中的轉(zhuǎn)子偏移和控制電流剛度系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)所用公式為

而由電路和磁路分析得到的線性化模型(8)和式(9)計(jì)算結(jié)果為

可以看出利用有限元磁場(chǎng)分析得到的結(jié)果與利用磁路分析所得到的結(jié)果有所不同，顯然采用磁場(chǎng)分析所得到結(jié)果具有較好的精確度。

4 磁軸承線性化區(qū)外的懸浮力模型分析

在磁軸承正常工作時(shí)，一般工作在線性化模型的適用范圍之內(nèi)，但是在磁軸承起浮或者受到較大擾動(dòng)力沖擊時(shí)，有可能超出正常的線性化模型的范圍，所以有必要對(duì)線性化模型適用范圍外的懸浮力進(jìn)行分析。

利用有限元法對(duì)線性化模型適用范圍外的懸浮力進(jìn)行了分析，計(jì)算范圍為:

由于這兩部分超出線性化模型的范圍是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，本文詳述了對(duì)第一部分的分析，用類似的方法即可求出另一部分的非線性模型。對(duì)第一部分利用有限元軟件計(jì)算得到不同控制電流和偏移位置的懸浮力數(shù)據(jù)如表2所示，特性曲面如圖7所示。

由圖7可以看出懸浮力與控制電流和轉(zhuǎn)子位置是非線性關(guān)系。利用多項(xiàng)式擬合軟件1stopt，輸入相對(duì)應(yīng)的懸浮力、控制電流和轉(zhuǎn)子偏移數(shù)據(jù)，通過快速公式擬合搜索命令，求出磁軸承懸浮力的近似非線性表達(dá)式可以表述為

表2 當(dāng)－0.20 mm≤x≤－0.10 mm時(shí)，利用有限元計(jì)算所得的非線性部分懸浮力數(shù)據(jù)Table 2 The data of levitation force in nonlinear region by FEA element when －0.20 mm≤x≤ －0.10 mm

圖7 當(dāng)－0.20 mm≤x≤－0.10 mm時(shí)，懸浮力與偏移位置和控制電流的關(guān)系Fig.7 Relationship between levitation force，rotor displacement and control current when－0.20 mm≤x≤ －0.10 mm

對(duì)于第一部分，式(12)中系數(shù)可以確定如下:

用同樣的方法可以求得第二部分的非線性表達(dá)式與式(12)相同，式中系數(shù)可以確定如下:

為了驗(yàn)證所得到的懸浮力計(jì)算公式的正確性，對(duì)于式(12)計(jì)算的懸浮力與由有限元計(jì)算所得的懸浮力進(jìn)行了比較，如圖8所示?？梢钥闯?，由擬合多項(xiàng)式計(jì)算的懸浮力與由有限元計(jì)算的懸浮力相差很小，這表明在磁軸承超出線性工作范圍時(shí)，利用擬合多項(xiàng)式來計(jì)算磁軸承的懸浮力是可行的。

圖8 非線性區(qū)由擬合公式(12)與有限元計(jì)算懸浮力的比較Fig.8 Comparison of calculated levitation forces using expression(12)with using FEA

5 磁軸承懸浮力模型的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證由磁場(chǎng)分析所得懸浮力計(jì)算模型的準(zhǔn)確性，本文利用實(shí)驗(yàn)室的一臺(tái)用于高速永磁電機(jī)的磁軸承系統(tǒng)，對(duì)于由計(jì)算模型所得的懸浮力進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

因?qū)嶒?yàn)條件所限，只對(duì)磁軸承線性化模型適用范圍內(nèi)的懸浮力進(jìn)行了測(cè)試。首先通過調(diào)節(jié)PID參數(shù)使磁軸承處于穩(wěn)定的靜態(tài)懸浮，將徑向軸承的X方向自由度調(diào)整到水平，確保在X方向的自由度不受轉(zhuǎn)子重力的影響。然后調(diào)整傳感器偏置找到電磁中心(在X方向的兩線圈中的電流大小相等都是2.5 A)，測(cè)量轉(zhuǎn)子在中心位置時(shí)控制電流與懸浮力的關(guān)系。在轉(zhuǎn)子的一端施加X方向的外力，磁軸承控制系統(tǒng)將調(diào)節(jié)控制電流使轉(zhuǎn)子處于電磁中心位置，此時(shí)由控制電流產(chǎn)生的電磁力等于所加載的外力。記錄所施加外力轉(zhuǎn)子處于電磁中心實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮所需要的控制電流。測(cè)試結(jié)果與計(jì)算所得懸浮力的對(duì)比如圖9所示。

然后測(cè)量控制電流為零時(shí)轉(zhuǎn)子偏移與電磁力的關(guān)系。改變位移參考電壓，令轉(zhuǎn)子偏離中心位置，調(diào)節(jié)PID參數(shù)，使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮。在轉(zhuǎn)子的一端施加X方向的外力，此時(shí)磁軸承控制系統(tǒng)會(huì)調(diào)節(jié)控制電流保證轉(zhuǎn)子位于給定位置，直到控制電流為零，因此由偏置電流產(chǎn)生的電磁力等于所加載的外力。記錄轉(zhuǎn)子偏移位置和相應(yīng)的電磁力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算所得的懸浮力對(duì)比如圖10所示。

由圖9和圖10可以看出，與磁路法懸浮力計(jì)算模型相比，有限元法推導(dǎo)懸浮力公式計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更為接近。

圖9 不同控制電流下懸浮力實(shí)驗(yàn)值與計(jì)算值的比較Fig.9 Comparison of tested levitation forces with calculated values for different control currents

圖10 不同轉(zhuǎn)子偏移位置懸浮力實(shí)驗(yàn)值與計(jì)算值比較Fig.10 Comparison of tested levitation forces with calculated values for different rotor displacements

6 結(jié)語

本文利用場(chǎng)路結(jié)合方法分析了徑向磁軸承的懸浮力特性，推導(dǎo)了磁軸承懸浮力的線性化數(shù)學(xué)模型，確定了線性化模型的適用區(qū)域。對(duì)于線性化模型不能精確計(jì)算的區(qū)域，推導(dǎo)了磁軸承懸浮力的非線性數(shù)學(xué)模型。最后利用實(shí)驗(yàn)部分驗(yàn)證了所推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型的有效性。研究表明，利用有限元法推導(dǎo)的懸浮力模型比磁路法模型更加準(zhǔn)確有效。研究結(jié)果能夠?yàn)榇泡S承控制器的設(shè)計(jì)及驗(yàn)證提供參考。

［1］王鳳翔.高速電機(jī)的設(shè)計(jì)特點(diǎn)及相關(guān)技術(shù)研究［J］.沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，28(3):258 －263.WANG Fengxiang.Study on design feature and related technology of high speed electrical machines［J］.Journal of Shenyang University of Technology，2006，28(3):258 －263.

［2］SCHWEITZER G，TRAXLER A，BLEUDER H.Active Magnetic Bearings:Basis，Properties，and Applications of Active Magnetic Bearing［M］.Zurich:Vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zurich，1994:4－8.

［3］曾勵(lì).永磁偏置的電磁軸承研究［R］.南京:南京航空航天大學(xué)，1999.

［4］OHJI T，MUKHOPADHYAY S C，LWAHARA M，et al.Permanent magnet bearings for horizontal-and vertical-shaft machines:A comparative study［J］.Journal of Applied Physics，1999，85(8):4648－4650.

［5］FUKATA S，YUTANI K.Characteristics of electromagnetic systems of magnetic bearings biased with permanent magnets［C］//5th International Symposium on Magnetic Bearings，August 5 －7，1998，Cambridge，USA.1998:234－243.

［6］諸德宏，洪益州，朱熀秋.基于α逆系統(tǒng)理論磁軸承數(shù)學(xué)模型及控制系統(tǒng)［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2009，13(4):496 －500.ZHU Dehong，HONG Yizhou，ZHU Huangqiu.Mathematical model and control of magnetic bearings based on α-th order inverse system theory［J］.Electric Machines and Control，2009，13(4):496－500.

［7］田錄林，李言，田琦，等.大外徑多環(huán)嵌套永磁軸承軸向磁力模型［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2009，13(3):349 －354.TIAN Lulin，LI Yan，TIAN Qi，et al.Planning and feasible region analysis of staticoperation points of conical magnetic bearings Axial magnetic force model for large outer diameter multi-annularnesting permanent magnetic bearings［J］.Electric Machines and Control，2009，13(3):349 －354.

［8］田錄林，李言，王山石，等.雙筒永磁向心軸承磁力工程化解析算法研究［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2007，27(6):57 －61.TIAN Lulin，LI Yan，WANG Shanshi，et al.Research on magnetism engineering analytical calculation method for bi-barrel-shaped radial permanent magnetic bearings［J］.Proceedings of the CSEE，2007，27(6):57 －61.

［9］Christopher P F.Modeling and identification of active magnetic bearings and a toothless self-bearing servomotor［D］.Alberta:U-niversity of Alberta，2009.

［10］朱熀秋，鄧智泉，袁壽其，等.永磁偏置徑向－軸向磁懸浮軸承工作原理和參數(shù)設(shè)計(jì)［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2002，22(9):54－58.ZHU Huangqiu，DENG Zhiquan，YUAN Shouqi，et al.The working principle and parameter design for permanent magnet biased radial-axial direction magnetic bearing［J］.Proceedings of the CSEE，2002，22(9):54－58.

［11］梅磊，鄧智泉，趙旭升，等.基于磁通量計(jì)算的混合型軸向—徑向磁懸浮軸承參數(shù)設(shè)計(jì)［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2009，29(24):115－120.MEI Lei，DENG Zhiquan，ZHAO Xusheng，et al.Parameter design of hybrid axial-radial magnetic bearing based on magnetic flux calculation［J］.Proceedings of the CSEE，2009，29(24):115－120.