梁文毅 陸天雄 張 翔

（杭州易泰達(dá)科技有限公司 杭州 310008）

1 引言

電機(jī)斜槽技術(shù)由于可有效改善電機(jī)響應(yīng)性能在各類電機(jī)中廣泛應(yīng)用。對于電機(jī)斜槽的分析研究，目前普遍采用的是三維有限元法，其最大缺點(diǎn)是計(jì)算量極其龐大，對計(jì)算機(jī)性能要求過高。為解決該問題，相關(guān)文獻(xiàn)提出了在二維有限元中采用分段斜槽進(jìn)行異步電機(jī)斜槽分析的方法[1]，但是對于影響計(jì)算精度的分段方式和分段數(shù)沒有進(jìn)行相關(guān)理論分析。

本文闡述了在電磁場有限元仿真軟件EasiMotor中，采用分段斜槽技術(shù)，成功解決了各類電機(jī)的斜槽分析功能。在此基礎(chǔ)上，對電機(jī)斜槽的分段方式、分段數(shù)進(jìn)行深入分析，詳細(xì)討論了分段數(shù)對計(jì)算精度的影響，并給出了相關(guān)結(jié)論。

2 分段斜槽技術(shù)原理

對于普通直槽電機(jī)內(nèi)二維時(shí)變電磁場的定解問題，其數(shù)學(xué)描述可表示為[2]

電機(jī)內(nèi)電路方程為

電機(jī)的轉(zhuǎn)矩平衡方程為

式中Az——矢量磁位；

Jz——傳導(dǎo)電流密度；

Rs——繞組電阻；

Lσ——繞組漏抗；

ψs——繞組磁鏈；

Jm——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

B——摩擦系數(shù)；

TL——負(fù)載轉(zhuǎn)矩；

Tem——電磁轉(zhuǎn)矩，采用Maxwell張量法求解。

對于斜槽電機(jī)，在EasiMotor中采用分段斜槽原理[1,3]進(jìn)行分析。假設(shè)將斜槽電機(jī)軸向均勻分為n段，則對于其中任意第i段，式（1）可改寫為

對于電壓方程，可以改寫為

采用有限元網(wǎng)格剖分，將式（4）離散化求解[2,4]，并結(jié)合式（3）～式（6）可以求解斜槽電機(jī)的各類時(shí)變問題。

3 分段對計(jì)算精度的影響

分段方式和分段數(shù)多少對斜槽電機(jī)電磁場性能分析產(chǎn)生關(guān)鍵影響。分段數(shù)越多，越接近實(shí)際斜槽情況，但是計(jì)算量也將大幅度增加。

在有限元求解中，反電動(dòng)勢與電磁轉(zhuǎn)矩的準(zhǔn)確求解是計(jì)算精度的保證，因此以下的分析中， 針對電磁轉(zhuǎn)矩和反電動(dòng)勢的計(jì)算精度，進(jìn)行分段方式和分段數(shù)的選擇分析。

3.1 忽略齒槽效應(yīng)時(shí)的分段模型

為分析分段對計(jì)算精度的影響，作如下假設(shè)：①電機(jī)斜槽角度為電角度β；②不考慮電機(jī)開槽對磁場的影響；③繞組電流以集中電流進(jìn)行考慮。

假設(shè)某一時(shí)刻電機(jī)的磁場分布如圖1所示，縱坐標(biāo)表示電機(jī)基波磁場的空間分布，電流I為單位電流，導(dǎo)條（或者繞組）軸向投影長度L為單位長度，導(dǎo)條運(yùn)行速度v為單位轉(zhuǎn)速，則此時(shí)導(dǎo)體在該磁場下的轉(zhuǎn)矩、反電動(dòng)勢可統(tǒng)一表示為

圖1 電機(jī)斜槽分段模型Fig.1 Multi-slices model of skew motor

采用分段斜槽時(shí)，設(shè)電機(jī)軸向分段數(shù)為n，則此時(shí)導(dǎo)體在該磁場下的轉(zhuǎn)矩、反電動(dòng)勢可統(tǒng)一表示為

而對于任意μ次諧波，該式可表示為

3.2 分段方式對收斂速度的影響

在文獻(xiàn)[3]中提到了當(dāng)軸向分段數(shù)為n段時(shí)，其每一段的斜槽角度取為

用圖表示該分段方式，如圖2a所示（方式1）。這里對另外一種軸向分段方式進(jìn)行分析，如圖2b所示（方式2），取每一段的斜槽角度為

圖2 軸向分段方法比較Fig.2 Demonstration of two slice methods

當(dāng)采用圖2a分段方式時(shí)，式（8）可以整理為

而當(dāng)采用圖2b分段方式時(shí)，式（8）可以整理為

以誤差ε考核兩種不同分段方式下，計(jì)算精度隨著的分段數(shù)的變化，其中，ε定義為

則根據(jù)式（7）、式（12）和式（13）可以得

由上述兩式可發(fā)現(xiàn)，軸向分段的計(jì)算精度與位置α的選取無關(guān)。

分別取斜槽角度（電角度）為30°、60°、90°作為典型情況，比較ε1a和ε1b可以得到圖3，圖中橫坐標(biāo)為軸向分段數(shù)，縱坐標(biāo)為不同分段數(shù)下的最大誤差。由圖3可知，分段方式2（見圖2b）的收斂性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于分段方式1（見圖2a）。

圖3 兩種分段方式收斂精度比較Fig.3 Convergence comparison of two slice methods

3.3 分段數(shù)對計(jì)算精度的影響

為分析斜槽分段數(shù)及斜槽角度對計(jì)算精度的影響，對氣隙磁場基波、3次、5次、7次諧波隨分段數(shù)及斜槽角度（電角度）分別取5°、15°、30°、45°、60°、90°變化的情況進(jìn)行分析，這里軸向分段方式采用分段方式2。圖4所示為導(dǎo)體在各次磁場中、不同斜槽角度情況下，分段數(shù)對其計(jì)算精度影響的分析結(jié)果。

分析圖中曲線，可以得到如下結(jié)論：

（1）當(dāng)電機(jī)斜槽角度較小時(shí)，可以取較小的軸向分段數(shù)；當(dāng)斜槽角度增加時(shí)，軸向分段數(shù)需增加。

（2）一般情況下，利用有限元法分析電機(jī)的瞬態(tài)性能時(shí)，其斜槽分段數(shù)可以按照表1進(jìn)行選擇。

（3）同樣的斜槽分段數(shù)，高次諧波磁場計(jì)算精度要低于基波及低次諧波磁場結(jié)果，但高次諧波相對數(shù)值較小，因此其對性能計(jì)算產(chǎn)生誤差影響較小。

圖4 分段數(shù)對計(jì)算精度影響Fig.4 Convergence comparison of slice number

表1 軸向分段數(shù)選擇Tab.1 Selection of slice number

3.4 考慮齒槽效應(yīng)時(shí)的分段數(shù)分析

在上述分析中，忽略了開槽對電機(jī)磁場的影響，實(shí)際上，開槽后電機(jī)的反電動(dòng)勢和電磁轉(zhuǎn)矩的瞬時(shí)值都將發(fā)生變化。

由于開槽，氣隙磁場波形中將疊加齒諧波，該齒諧波將在三相繞組中感應(yīng)齒諧波反電動(dòng)勢；對于異步電機(jī)，該齒諧波磁場將引起附加轉(zhuǎn)矩。顯然，它們對計(jì)算性能的影響與普通的諧波磁場的影響一致，因此這里不再重復(fù)討論。

開槽對永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩的影響，主要是齒槽轉(zhuǎn)矩，假設(shè)齒槽轉(zhuǎn)矩沿圓周一周的周期數(shù)為Nc，并設(shè)定齒槽轉(zhuǎn)矩為正弦波變化，則可以推導(dǎo)得到

根據(jù)式（17），進(jìn)行齒槽轉(zhuǎn)矩分析時(shí)，軸向分段數(shù)需滿足下式

一般情況下，為了有效消除齒槽轉(zhuǎn)矩，電機(jī)斜槽角度取為齒槽轉(zhuǎn)矩周期的整數(shù)倍，即β′=2kπ，代入式（18），得到

事實(shí)上，為了精確分析齒槽轉(zhuǎn)矩，通常分段數(shù)取得相對較多，一般首先滿足n＞k，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)式（17）針對斜槽角度為齒槽轉(zhuǎn)矩的1倍、2倍、3倍等情況進(jìn)行分析比較，得到齒槽轉(zhuǎn)矩計(jì)算精度與分段數(shù)的關(guān)系曲線如圖5所示。

通常情況下，齒槽轉(zhuǎn)矩計(jì)算其軸向分段數(shù)可按表2進(jìn)行選擇。

圖5 分段數(shù)對齒槽轉(zhuǎn)矩計(jì)算精度影響Fig.5 Cogging torque convergence comparison of slice number

表2 齒槽轉(zhuǎn)矩軸向分段數(shù)選擇Tab.2 Slice number selection for cogging torque caculation

4 軟件仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證前述關(guān)于分段方式、分段數(shù)解析分析的結(jié)論，本文利用EasiMotor有限元仿真進(jìn)行驗(yàn)證，同時(shí)，本文采用了Flux軟件對電機(jī)直軸和斜槽情況分別進(jìn)行仿真比較，驗(yàn)證EasiMotor斜槽分析的正確性。

4.1 EasiMotor電機(jī)模型

在EasiMotor軟件中建立某無齒曳引電機(jī)模型，模型參數(shù)見表3。

表3 電機(jī)基本參數(shù)Tab.3 The parameters of hoisting motor

圖6所示為該曳引電機(jī)在EasiMotor軟件中自動(dòng)生成的結(jié)構(gòu)模型和網(wǎng)格剖分模型，該電機(jī)采用32極72槽結(jié)構(gòu)，軸向斜槽數(shù)為1個(gè)定子齒距。

圖6 曳引電機(jī)二維有限元模型Fig.6 The 2D FEM model of motor

4.2 分段的有限元驗(yàn)證

在第2節(jié)的分析中， 忽略了齒槽以及各次諧波的因素，為了綜合考慮以上因素，利用有限元法對兩種分段方式以及分段數(shù)對計(jì)算精度的影響進(jìn)行驗(yàn)證，分析采用EasiMotor軟件，電機(jī)模型如圖6所示，分析結(jié)果如圖7所示，顯然有限元分析結(jié)果與解析分析結(jié)果一致性良好。

圖7 兩種分段方式有限元比較Fig.7 FEM results comparison of two slice methods

4.3 有限元仿真比較

為對EasiMotor斜槽計(jì)算正確性進(jìn)行驗(yàn)證，在EasiMotor 2.5與Flux 10.3中分別建立直槽/斜槽模型，驗(yàn)證EasiMotor計(jì)算的正確性。圖8所示為電機(jī)采用直槽結(jié)構(gòu)，在EasiMotor 2.5與Flux10.3軟件中，對電機(jī)空載反電動(dòng)勢進(jìn)行仿真結(jié)果比較，兩者曲線幾乎一致吻合。

圖8 EasiMotor與Flux直槽仿真比較Fig.8 Simulation comparison between EasiMotor and Flux for linear model

當(dāng)電機(jī)斜過一個(gè)齒距時(shí)，分別采用EasiMotor分段斜槽方法和Flux3D進(jìn)行仿真，根據(jù)前述，在EasiMotor中軸向分段數(shù)采用6段，仿真結(jié)果如圖9所示。由圖9比較可見，EasiMotor軟件采用分段斜槽方法進(jìn)行電機(jī)斜槽分析時(shí)，計(jì)算結(jié)果與三維有限元分析結(jié)果高度吻合。

圖9 EasiMotor與Flux斜槽仿真比較Fig.9 Simulation comparison between EasiMotor and flux for skew model

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于EasiMotor仿真分析結(jié)果，本文進(jìn)一步進(jìn)行實(shí)物樣機(jī)的測試分析，圖10所示為電機(jī)空載反電動(dòng)勢（線電壓）測試結(jié)果。

在圖10中，比較實(shí)測數(shù)據(jù)與EasiMotor有限元分析結(jié)果（分段數(shù)取6），發(fā)現(xiàn)兩者可以得到幾乎完全相吻合的結(jié)果，該實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了EasiMotor基于分段斜槽技術(shù)的斜槽特性分析的正確性。

圖10 測試結(jié)果與EasiMotor仿真結(jié)果比較Fig.10 Comparison between EasiMotor simulation and test

6 結(jié)論

斜槽對電機(jī)電磁性能有很大影響，因此在電機(jī)設(shè)計(jì)分析過程中，需要重點(diǎn)關(guān)注斜槽因素。EasiMotor在二維有限元中，采用分段斜槽的方法對斜槽電機(jī)進(jìn)行分析，相較于三維有限元分析，可以大量節(jié)省計(jì)算資源，同時(shí)，在合理選擇分段方式和分段數(shù)后，分段斜槽技術(shù)完全可以滿足工程應(yīng)用、科學(xué)研究的精度要求。

[1] 江建中，傅偉農(nóng)，斜槽異步電動(dòng)機(jī)的多截面有限元法分析[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào)，1997，12(10)：1-7.Jian Jianzhong,Fu Weinong.Multi-slice finite element analysis of skewed induction motors[J].Transactions of China Electrotechnical Society,1997，12(10)：1-7.

[2] 胡敏強(qiáng)，黃學(xué)良.電機(jī)運(yùn)行性能數(shù)值計(jì)算方法及其應(yīng)用[M].南京: 東南大學(xué)出版社，2003.

[3] Joao Bastos,Nelson Sadowski,Marcel Dekker.Electromagnetic modeling by finite element methords[M].New York: Marcel Oekker,Inc,2003.

[4] Jin Jianming.The finite element method in electromagnetics[M].New York: John Wiley& Sonc,Inc.,2002.