張 俊，宋軼民

(1. 天津大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300072；2. 安徽工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，馬鞍山 243002)

NW型直齒行星傳動的動力學(xué)建模與固有特性分析

張 俊1,2，宋軼民1

(1. 天津大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300072；2. 安徽工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，馬鞍山 243002)

為揭示NW型直齒行星傳動的固有特性，在系桿隨動參考坐標系下建立該類傳動系統(tǒng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型．通過分析各構(gòu)件間的相對位移關(guān)系，推導(dǎo)出系統(tǒng)的運動微分方程，進而通過求解其特征值問題獲知系統(tǒng)的固有頻率和相應(yīng)振型．固有特性分析表明，NW型行星傳動有3種典型振動模式，即扭轉(zhuǎn)振動模式、平移振動模式和行星輪振動模式．其中，行星輪振動模式又可細分為行星輪同振、左振、右振3種子模式，此點與NGW型行星傳動頗為不同．NW型行星傳動的振動模式與構(gòu)件支承剛度間存在一定映射關(guān)系．其中，中心構(gòu)件的支承剛度僅影響中心構(gòu)件相應(yīng)方向上的振動模式，而與行星輪振動模式無關(guān)；行星輪支承剛度對系統(tǒng)3種振動模式均有影響．

直齒行星傳動；動力學(xué)建模；固有特性；固有頻率；振動模式

NW型行星傳動是一種較為普遍的齒輪傳動類型．與同屬2K-H類的NGW型行星傳動相比，NW型傳動具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動比大和承載能力高等優(yōu)點，故常用于NGW型不適用的徑向尺寸受限、傳動比較大的場合[1]．

盡管學(xué)術(shù)界已針對NGW型行星傳動動力學(xué)問題進行了廣泛研究，其內(nèi)容涉及自由振動分析、動態(tài)響應(yīng)和振動抑制等多個方面[2-11]．相比之下，針對NW型行星傳動動力學(xué)的研究很少，只有文獻[12]對NW型直齒行星傳動的動力學(xué)問題進行了初步探討，但該文將雙聯(lián)行星輪處理為單個剛性齒輪進而按照NGW型行星傳動進行建模的做法尚待完善．由于雙聯(lián)行星輪結(jié)構(gòu)的引入，NW型行星傳動的動力學(xué)特性必然與NGW型傳動有所不同．為明晰該類傳動的動態(tài)特性，以NW型直齒行星傳動為研究對象，在計入構(gòu)件支承剛度、齒輪副時變嚙合剛度、陀螺效應(yīng)等諸多影響因素的基礎(chǔ)上，采用集中參數(shù)法在系桿隨動參考坐標系下建立系統(tǒng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型．以此為基礎(chǔ)，通過求解系統(tǒng)動力學(xué)方程的特征值問題，可揭示出NW型直齒行星傳動的固有特性．

1 動力學(xué)建模

圖1所示為NW型行星傳動示意．圖中，s、c、r、pn、pn′分別代表輪系中的太陽輪、系桿、內(nèi)齒圈、雙聯(lián)行星輪1和雙聯(lián)行星輪2．

圖1 NW型行星傳動示意Fig.1 Scheme of NW planetary gear unit

1.1 平移-扭轉(zhuǎn)耦合模型

采用與文獻[11]類似的方法，可在系桿隨動坐標系下建立NW型直齒行星傳動的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，其模型如圖2所示．各符號的含義如下：kpn為行星輪支承剛度(n＝1，2，…，N)；ψn為第n個行星輪中心與坐標原點的連線與x軸正向的夾角，ψn＝2π(n-1)/N；kij為中心構(gòu)件的支承剛度(i＝c，r，s； j＝x，y，u)；(xi，yi，ui)為構(gòu)件位移(i＝c，r，s，1，2，…，N)；ui、θi分別為各構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)線位移與扭轉(zhuǎn)角位移，ui＝riθi；ri為各構(gòu)件的回轉(zhuǎn)半徑(若i＝c，則為行星輪軸心到系桿幾何形心的距離；若i＝r，s，1，2，…，N，則為各齒輪的基圓半徑)．

圖2 NW型行星傳動平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型Fig.2 Translational-rotational-coupling dynamic model of NW planetary gear unit

1.2 構(gòu)件相對位移分析

NW型直齒行星傳動中各構(gòu)件間的相對位移關(guān)系如圖3所示．

圖3 行星輪系各構(gòu)件間相對位移關(guān)系Fig.3 Displacement relationships between different parts of planetary gear unit

圖3中，sα、rα分別為太陽輪與行星輪以及行星輪與內(nèi)齒圈間的嚙合角．將各構(gòu)件之間的相對位移向嚙合線方向投影，并設(shè)定受壓方向為正方向，可得太陽輪與行星輪pn相對位移沿嚙合線方向投影

內(nèi)齒圈與行星輪pn′相對位移沿嚙合線方向投影

1.3 系統(tǒng)運動方程

設(shè)定NW型直齒行星傳動的內(nèi)齒圈固定，太陽輪、系桿分別連接輸入端與輸出端，且輸入、輸出扭矩分別為sT、cT．假定系桿、內(nèi)齒圈、太陽輪和2個行星輪的質(zhì)量分別為cm、rm、sm、nm和nm′，其轉(zhuǎn)動慣量分別為cI、rI、sI、nI和nI′．分析系統(tǒng)中各構(gòu)件的受力狀況，依據(jù)牛頓第二運動定律可建立如下的運動方程．

1) 系桿運動方程2) 內(nèi)齒圈運動方程

3) 太陽輪運動方程

4) 行星輪pn運動方程

5) 行星輪pn′運動方程

整理式(5)～式(9)，并寫成矩陣形式

式中q為系統(tǒng)的廣義坐標列陣．其余各符號含義參見文獻[11]．

2 固有特性分析

考慮到一般情況下NW型行星傳動的系桿角速度較小，科氏力、離心力均可忽略，則式(10)可以簡化為

對式(11)求解特征值問題，可得系統(tǒng)的各階固有頻率和振型．

不失一般性，不妨以表1所示的NW型直齒行星傳動為例，采用上述動力學(xué)模型求解系統(tǒng)的固有頻率和相應(yīng)振型．

表1 NW型直齒行星齒輪傳動的基本參數(shù)Tab.1 Parameters of NW spur planetary gear unit

由行星輪系的同心、裝配和鄰接條件，可知該NW型行星傳動的均布行星輪個數(shù)可取3或4．對于N=3及N=4的2種情形，計算系統(tǒng)各階固有頻率如表2所示，其中m為固有頻率的重根數(shù)．

Hz N m＝1 m＝2 m＝N-3 3 1000 1 962.7 1 806.5 1 949.1 2 404.4 2 605.3 2 945.9 9 525.6 11 704.4 1 656.5 1 996.5 1 463.2 1 918.8 2 172.2 2 403.9 2 747.2 9 190.8 9 362.1 4 0 1 974.9 11 816.6 12 004.5 12 404.9 12 480.7 12 948.0 19 774.4 13 116.8 11 634.2 11 952.0 11 508.1 11 912.6 12 163.9 12 402.4 12 885.6 19 351.4 10 241.6 1 344.5 1 832.9 2 355.5 2 410.3 5 776.9 8 729.5

進一步分析可知系統(tǒng)各階固有頻率所對應(yīng)的振型坐標．經(jīng)歸納可知NW型直齒行星傳動中存在如下3種典型振動模式，即中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動模式、中心構(gòu)件平移振動模式和雙聯(lián)行星輪振動模式．各種振動模式的特點如下．

(1) 中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動模式．當1m=時，各中心構(gòu)件(太陽輪、內(nèi)齒圈、系桿)僅做扭轉(zhuǎn)振動，各雙聯(lián)行星輪做復(fù)雜平面振動，且相應(yīng)行星輪的振動狀態(tài)相同，而與行星輪個數(shù)無關(guān)．該振動模式的振型如圖4(a)所示．

(2) 中心構(gòu)件平移振動模式．當2m=時，各中心構(gòu)件做平移振動，各雙聯(lián)行星輪做復(fù)雜平面振動，且振動狀態(tài)與行星輪個數(shù)相關(guān)．當4N=時，各雙聯(lián)行星輪振動狀態(tài)呈軸向反對稱；其他情況下，各雙聯(lián)行星輪振動狀態(tài)互不相同．該振動模式的振型如圖4(b)和 5(b)所示．

(3) 雙聯(lián)行星輪振動模式．當m=N?3(N＞3)時，各中心構(gòu)件不振動，僅雙聯(lián)行星輪振動，且振動狀態(tài)與行星輪個數(shù)相關(guān)．當N=4時，相應(yīng)行星輪的振動狀態(tài)呈軸向?qū)ΨQ；其他情況下，各雙聯(lián)行星輪振動狀態(tài)互不相同．該振動模式的振型如圖5(c)～(e)所示．該模式下雙聯(lián)行星輪的振動按其特點又可細分為行星輪1、2同時做復(fù)雜平面振動、行星輪1單獨做平移振動和行星輪2單獨做平移振動3種方式．為區(qū)別于NGW型傳動的行星輪模式，本文將之分別定義為行星輪同振模式、行星輪左振模式和行星輪右振模式．

圖4、圖5分別示出了3N=、4N=時系統(tǒng)不同振動模式下的振型．圖中，虛線表示各構(gòu)件的初始位置，實線為構(gòu)件振動后的位置，實線段為各構(gòu)件振動后的橫軸線．為表達清晰，圖中均未繪出系桿的位置．

圖4 3N=時NW型行星傳動振型Fig.4 Vibration modes of NW planetary gear unit when N＝3

圖5 N＝4時NW型行星傳動振型Fig.5 Vibration modes of NW planetary gear unit when N＝4

由圖5可知，NW型直齒行星傳動的中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動模式和中心構(gòu)件平移振動模式與NGW型相似[3]，但其行星輪振動模式較為復(fù)雜．

不難推測，正是由于雙聯(lián)行星輪結(jié)構(gòu)的引入，造成了NW型行星傳動中行星輪的振動模式趨于多樣化，使得其不僅存在雙聯(lián)行星輪同振模式，還同時存在行星輪左振和右振模式．特別是行星輪左振和右振模式中行星輪僅做橫向平移振動，這與NGW型傳動中行星輪的振動狀態(tài)有很大不同，在進行NW型行星傳動行星輪振動抑制時應(yīng)予以重視．

為明晰系統(tǒng)中各構(gòu)件支承剛度與系統(tǒng)振動模式間的映射關(guān)系，現(xiàn)分別考察內(nèi)齒圈、太陽輪、系桿、行星輪支承剛度對系統(tǒng)固有特性的影響．

不失一般性，仍以表1所示的NW型直齒行星傳動為對象，分析4N=時構(gòu)件支承剛度與系統(tǒng)振動模式間的關(guān)系．

以內(nèi)齒圈為例，其安裝方式可分為完全浮動、周向浮動、徑向浮動和完全固定4種情況．為分析上述情況下系統(tǒng)的固有特性，設(shè)定太陽輪、系桿和行星輪的徑向支承剛度為108,N/m，太陽輪和系桿的扭轉(zhuǎn)支承剛度均為0，內(nèi)外齒輪副嚙合剛度均取5× 108N/m，雙聯(lián)行星輪扭轉(zhuǎn)線剛度取5× 107N/m，且相應(yīng)工況下內(nèi)齒圈徑向和周向支承剛度設(shè)置為內(nèi)齒圈完全浮動：krx=kry=kru=0；內(nèi)齒圈周向浮動：krx=kry=內(nèi)齒圈徑向浮動內(nèi)齒圈完全固定

對式(11)求解特征值問題，可得不同工況下系統(tǒng)各階固有頻率，其計算結(jié)果如表3所示．

表3 不同工況下NW型行星傳動固有頻率Tab.3 Natural frequencies of NW planetary gear unit under different conditions Hz

由表3可知NW型直齒行星傳動的振動模式與內(nèi)齒圈支承剛度間存在如下映射關(guān)系：

(1) 中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動模式僅受內(nèi)齒圈周向支承剛度的影響，而與內(nèi)齒圈徑向支承剛度無關(guān)；

(2) 中心構(gòu)件平移振動模式僅受內(nèi)齒圈徑向支承剛度的影響，而與內(nèi)齒圈周向支承剛度無關(guān)；

(3) 行星輪振動模式既不受內(nèi)齒圈徑向支承剛度也不受周向支承剛度的影響．

采用類似的方法可分析太陽輪、系桿、行星輪各向支承剛度的影響．限于篇幅，本文不再詳列，僅給出分析結(jié)論如下．

(1) 中心構(gòu)件的支承剛度僅影響中心構(gòu)件的振動模式，而對行星輪振動模式不產(chǎn)生影響．具體而言，中心構(gòu)件的周向支承剛度僅影響中心構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)振動模式；中心構(gòu)件的徑向支承剛度僅影響中心構(gòu)件的平移振動模式．

(2) 雙聯(lián)行星輪的徑向支承剛度和扭轉(zhuǎn)剛度對系統(tǒng)3種振動模式均有影響．

3 結(jié) 論

(1) NW型直齒行星齒輪傳動具有3種典型振動模式，即：中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動模式、中心構(gòu)件平移振動模式和雙聯(lián)行星輪振動模式．其中，行星輪振動模式又可細分為行星輪同振模式、行星輪左振模式和行星輪右振模式，此點與NGW型行星傳動頗為不同．

(2) NW型直齒行星齒輪傳動的振動模式與系統(tǒng)中構(gòu)件的支承剛度間存在確定映射關(guān)系，即：中心構(gòu)件的支承剛度僅影響中心構(gòu)件相應(yīng)方向上的振動模式，而行星輪的支承剛度則影響系統(tǒng)的全部3種振動模式．

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Dynamic Modeling and Eigenvalue Evaluation of NW Spur Planetary Gear Unit

ZHANG Jun1,2，SONG Yi-min1
(1. School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Mechanical Engineering，Anhui University of Technology，Maanshan 243002，China)

An analytical translational-rotational-coupling dynamic model was developed to evaluate the inherent characteristics of NW spur planetary gear unit. By deriving the displacement relationships between gears and carrier，the governing differential equations were obtained. The solution to associated eigenvalue problem led to natural frequencies and free vibration modes of transmission. The vibration modes are classified into three categories，i.e.，rotational mode，translational mode，and planet mode based on their unique properties. And planet mode can be further classified into three sub-categories：global-planet sub-mode，left-planet sub-mode and right-planet sub-mode. The investigation into component stiffness reveals that the radial and circumferential stiffness of central component only influences rotational and translational modes，while the radial and torsional stiffness of planet affects all the three modes.

spur planetary gear unit；dynamic modeling；inherent characteristics；natural frequency；vibration mode

TH132.4

A

0493-2137(2011)08-0677-06

2009-10-13；

2010-11-01.

國家自然科學(xué)基金資助項目(50205019，50905122)．

張 ?。?981— ），男，博士，副教授.

張 俊，zhang_jun@tju.edu.cn.