張 俊，宋軼民

(1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2. 安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，馬鞍山 243002)

NW型直齒行星傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)建模與固有特性分析

張 俊1,2，宋軼民1

(1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2. 安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，馬鞍山 243002)

為揭示NW型直齒行星傳動(dòng)的固有特性，在系桿隨動(dòng)參考坐標(biāo)系下建立該類(lèi)傳動(dòng)系統(tǒng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型．通過(guò)分析各構(gòu)件間的相對(duì)位移關(guān)系，推導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，進(jìn)而通過(guò)求解其特征值問(wèn)題獲知系統(tǒng)的固有頻率和相應(yīng)振型．固有特性分析表明，NW型行星傳動(dòng)有3種典型振動(dòng)模式，即扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式、平移振動(dòng)模式和行星輪振動(dòng)模式．其中，行星輪振動(dòng)模式又可細(xì)分為行星輪同振、左振、右振3種子模式，此點(diǎn)與NGW型行星傳動(dòng)頗為不同．NW型行星傳動(dòng)的振動(dòng)模式與構(gòu)件支承剛度間存在一定映射關(guān)系．其中，中心構(gòu)件的支承剛度僅影響中心構(gòu)件相應(yīng)方向上的振動(dòng)模式，而與行星輪振動(dòng)模式無(wú)關(guān)；行星輪支承剛度對(duì)系統(tǒng)3種振動(dòng)模式均有影響．

直齒行星傳動(dòng)；動(dòng)力學(xué)建模；固有特性；固有頻率；振動(dòng)模式

NW型行星傳動(dòng)是一種較為普遍的齒輪傳動(dòng)類(lèi)型．與同屬2K-H類(lèi)的NGW型行星傳動(dòng)相比，NW型傳動(dòng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比大和承載能力高等優(yōu)點(diǎn)，故常用于NGW型不適用的徑向尺寸受限、傳動(dòng)比較大的場(chǎng)合[1]．

盡管學(xué)術(shù)界已針對(duì)NGW型行星傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了廣泛研究，其內(nèi)容涉及自由振動(dòng)分析、動(dòng)態(tài)響應(yīng)和振動(dòng)抑制等多個(gè)方面[2-11]．相比之下，針對(duì)NW型行星傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)的研究很少，只有文獻(xiàn)[12]對(duì)NW型直齒行星傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了初步探討，但該文將雙聯(lián)行星輪處理為單個(gè)剛性齒輪進(jìn)而按照NGW型行星傳動(dòng)進(jìn)行建模的做法尚待完善．由于雙聯(lián)行星輪結(jié)構(gòu)的引入，NW型行星傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性必然與NGW型傳動(dòng)有所不同．為明晰該類(lèi)傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性，以NW型直齒行星傳動(dòng)為研究對(duì)象，在計(jì)入構(gòu)件支承剛度、齒輪副時(shí)變嚙合剛度、陀螺效應(yīng)等諸多影響因素的基礎(chǔ)上，采用集中參數(shù)法在系桿隨動(dòng)參考坐標(biāo)系下建立系統(tǒng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型．以此為基礎(chǔ)，通過(guò)求解系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的特征值問(wèn)題，可揭示出NW型直齒行星傳動(dòng)的固有特性．

1 動(dòng)力學(xué)建模

圖1所示為NW型行星傳動(dòng)示意．圖中，s、c、r、pn、pn′分別代表輪系中的太陽(yáng)輪、系桿、內(nèi)齒圈、雙聯(lián)行星輪1和雙聯(lián)行星輪2．

圖1 NW型行星傳動(dòng)示意Fig.1 Scheme of NW planetary gear unit

1.1 平移-扭轉(zhuǎn)耦合模型

采用與文獻(xiàn)[11]類(lèi)似的方法，可在系桿隨動(dòng)坐標(biāo)系下建立NW型直齒行星傳動(dòng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型，其模型如圖2所示．各符號(hào)的含義如下：kpn為行星輪支承剛度(n＝1，2，…，N)；ψn為第n個(gè)行星輪中心與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線與x軸正向的夾角，ψn＝2π(n-1)/N；kij為中心構(gòu)件的支承剛度(i＝c，r，s； j＝x，y，u)；(xi，yi，ui)為構(gòu)件位移(i＝c，r，s，1，2，…，N)；ui、θi分別為各構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)線位移與扭轉(zhuǎn)角位移，ui＝riθi；ri為各構(gòu)件的回轉(zhuǎn)半徑(若i＝c，則為行星輪軸心到系桿幾何形心的距離；若i＝r，s，1，2，…，N，則為各齒輪的基圓半徑)．

圖2 NW型行星傳動(dòng)平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Translational-rotational-coupling dynamic model of NW planetary gear unit

1.2 構(gòu)件相對(duì)位移分析

NW型直齒行星傳動(dòng)中各構(gòu)件間的相對(duì)位移關(guān)系如圖3所示．

圖3 行星輪系各構(gòu)件間相對(duì)位移關(guān)系Fig.3 Displacement relationships between different parts of planetary gear unit

圖3中，sα、rα分別為太陽(yáng)輪與行星輪以及行星輪與內(nèi)齒圈間的嚙合角．將各構(gòu)件之間的相對(duì)位移向嚙合線方向投影，并設(shè)定受壓方向?yàn)檎较?，可得太?yáng)輪與行星輪pn相對(duì)位移沿嚙合線方向投影

內(nèi)齒圈與行星輪pn′相對(duì)位移沿嚙合線方向投影

1.3 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)定NW型直齒行星傳動(dòng)的內(nèi)齒圈固定，太陽(yáng)輪、系桿分別連接輸入端與輸出端，且輸入、輸出扭矩分別為sT、cT．假定系桿、內(nèi)齒圈、太陽(yáng)輪和2個(gè)行星輪的質(zhì)量分別為cm、rm、sm、nm和nm′，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為cI、rI、sI、nI和nI′．分析系統(tǒng)中各構(gòu)件的受力狀況，依據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可建立如下的運(yùn)動(dòng)方程．

1) 系桿運(yùn)動(dòng)方程2) 內(nèi)齒圈運(yùn)動(dòng)方程

3) 太陽(yáng)輪運(yùn)動(dòng)方程

4) 行星輪pn運(yùn)動(dòng)方程

5) 行星輪pn′運(yùn)動(dòng)方程

整理式(5)～式(9)，并寫(xiě)成矩陣形式

式中q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列陣．其余各符號(hào)含義參見(jiàn)文獻(xiàn)[11]．

2 固有特性分析

考慮到一般情況下NW型行星傳動(dòng)的系桿角速度較小，科氏力、離心力均可忽略，則式(10)可以簡(jiǎn)化為

對(duì)式(11)求解特征值問(wèn)題，可得系統(tǒng)的各階固有頻率和振型．

不失一般性，不妨以表1所示的NW型直齒行星傳動(dòng)為例，采用上述動(dòng)力學(xué)模型求解系統(tǒng)的固有頻率和相應(yīng)振型．

表1 NW型直齒行星齒輪傳動(dòng)的基本參數(shù)Tab.1 Parameters of NW spur planetary gear unit

由行星輪系的同心、裝配和鄰接條件，可知該NW型行星傳動(dòng)的均布行星輪個(gè)數(shù)可取3或4．對(duì)于N=3及N=4的2種情形，計(jì)算系統(tǒng)各階固有頻率如表2所示，其中m為固有頻率的重根數(shù)．

Hz N m＝1 m＝2 m＝N-3 3 1000 1 962.7 1 806.5 1 949.1 2 404.4 2 605.3 2 945.9 9 525.6 11 704.4 1 656.5 1 996.5 1 463.2 1 918.8 2 172.2 2 403.9 2 747.2 9 190.8 9 362.1 4 0 1 974.9 11 816.6 12 004.5 12 404.9 12 480.7 12 948.0 19 774.4 13 116.8 11 634.2 11 952.0 11 508.1 11 912.6 12 163.9 12 402.4 12 885.6 19 351.4 10 241.6 1 344.5 1 832.9 2 355.5 2 410.3 5 776.9 8 729.5

進(jìn)一步分析可知系統(tǒng)各階固有頻率所對(duì)應(yīng)的振型坐標(biāo)．經(jīng)歸納可知NW型直齒行星傳動(dòng)中存在如下3種典型振動(dòng)模式，即中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式、中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式和雙聯(lián)行星輪振動(dòng)模式．各種振動(dòng)模式的特點(diǎn)如下．

(1) 中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式．當(dāng)1m=時(shí)，各中心構(gòu)件(太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈、系桿)僅做扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，各雙聯(lián)行星輪做復(fù)雜平面振動(dòng)，且相應(yīng)行星輪的振動(dòng)狀態(tài)相同，而與行星輪個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)．該振動(dòng)模式的振型如圖4(a)所示．

(2) 中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式．當(dāng)2m=時(shí)，各中心構(gòu)件做平移振動(dòng)，各雙聯(lián)行星輪做復(fù)雜平面振動(dòng)，且振動(dòng)狀態(tài)與行星輪個(gè)數(shù)相關(guān)．當(dāng)4N=時(shí)，各雙聯(lián)行星輪振動(dòng)狀態(tài)呈軸向反對(duì)稱(chēng)；其他情況下，各雙聯(lián)行星輪振動(dòng)狀態(tài)互不相同．該振動(dòng)模式的振型如圖4(b)和 5(b)所示．

(3) 雙聯(lián)行星輪振動(dòng)模式．當(dāng)m=N?3(N＞3)時(shí)，各中心構(gòu)件不振動(dòng)，僅雙聯(lián)行星輪振動(dòng)，且振動(dòng)狀態(tài)與行星輪個(gè)數(shù)相關(guān)．當(dāng)N=4時(shí)，相應(yīng)行星輪的振動(dòng)狀態(tài)呈軸向?qū)ΨQ(chēng)；其他情況下，各雙聯(lián)行星輪振動(dòng)狀態(tài)互不相同．該振動(dòng)模式的振型如圖5(c)～(e)所示．該模式下雙聯(lián)行星輪的振動(dòng)按其特點(diǎn)又可細(xì)分為行星輪1、2同時(shí)做復(fù)雜平面振動(dòng)、行星輪1單獨(dú)做平移振動(dòng)和行星輪2單獨(dú)做平移振動(dòng)3種方式．為區(qū)別于NGW型傳動(dòng)的行星輪模式，本文將之分別定義為行星輪同振模式、行星輪左振模式和行星輪右振模式．

圖4、圖5分別示出了3N=、4N=時(shí)系統(tǒng)不同振動(dòng)模式下的振型．圖中，虛線表示各構(gòu)件的初始位置，實(shí)線為構(gòu)件振動(dòng)后的位置，實(shí)線段為各構(gòu)件振動(dòng)后的橫軸線．為表達(dá)清晰，圖中均未繪出系桿的位置．

圖4 3N=時(shí)NW型行星傳動(dòng)振型Fig.4 Vibration modes of NW planetary gear unit when N＝3

圖5 N＝4時(shí)NW型行星傳動(dòng)振型Fig.5 Vibration modes of NW planetary gear unit when N＝4

由圖5可知，NW型直齒行星傳動(dòng)的中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式和中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式與NGW型相似[3]，但其行星輪振動(dòng)模式較為復(fù)雜．

不難推測(cè)，正是由于雙聯(lián)行星輪結(jié)構(gòu)的引入，造成了NW型行星傳動(dòng)中行星輪的振動(dòng)模式趨于多樣化，使得其不僅存在雙聯(lián)行星輪同振模式，還同時(shí)存在行星輪左振和右振模式．特別是行星輪左振和右振模式中行星輪僅做橫向平移振動(dòng)，這與NGW型傳動(dòng)中行星輪的振動(dòng)狀態(tài)有很大不同，在進(jìn)行NW型行星傳動(dòng)行星輪振動(dòng)抑制時(shí)應(yīng)予以重視．

為明晰系統(tǒng)中各構(gòu)件支承剛度與系統(tǒng)振動(dòng)模式間的映射關(guān)系，現(xiàn)分別考察內(nèi)齒圈、太陽(yáng)輪、系桿、行星輪支承剛度對(duì)系統(tǒng)固有特性的影響．

不失一般性，仍以表1所示的NW型直齒行星傳動(dòng)為對(duì)象，分析4N=時(shí)構(gòu)件支承剛度與系統(tǒng)振動(dòng)模式間的關(guān)系．

以?xún)?nèi)齒圈為例，其安裝方式可分為完全浮動(dòng)、周向浮動(dòng)、徑向浮動(dòng)和完全固定4種情況．為分析上述情況下系統(tǒng)的固有特性，設(shè)定太陽(yáng)輪、系桿和行星輪的徑向支承剛度為108,N/m，太陽(yáng)輪和系桿的扭轉(zhuǎn)支承剛度均為0，內(nèi)外齒輪副嚙合剛度均取5× 108N/m，雙聯(lián)行星輪扭轉(zhuǎn)線剛度取5× 107N/m，且相應(yīng)工況下內(nèi)齒圈徑向和周向支承剛度設(shè)置為內(nèi)齒圈完全浮動(dòng)：krx=kry=kru=0；內(nèi)齒圈周向浮動(dòng)：krx=kry=內(nèi)齒圈徑向浮動(dòng)內(nèi)齒圈完全固定

對(duì)式(11)求解特征值問(wèn)題，可得不同工況下系統(tǒng)各階固有頻率，其計(jì)算結(jié)果如表3所示．

表3 不同工況下NW型行星傳動(dòng)固有頻率Tab.3 Natural frequencies of NW planetary gear unit under different conditions Hz

由表3可知NW型直齒行星傳動(dòng)的振動(dòng)模式與內(nèi)齒圈支承剛度間存在如下映射關(guān)系：

(1) 中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式僅受內(nèi)齒圈周向支承剛度的影響，而與內(nèi)齒圈徑向支承剛度無(wú)關(guān)；

(2) 中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式僅受內(nèi)齒圈徑向支承剛度的影響，而與內(nèi)齒圈周向支承剛度無(wú)關(guān)；

(3) 行星輪振動(dòng)模式既不受內(nèi)齒圈徑向支承剛度也不受周向支承剛度的影響．

采用類(lèi)似的方法可分析太陽(yáng)輪、系桿、行星輪各向支承剛度的影響．限于篇幅，本文不再詳列，僅給出分析結(jié)論如下．

(1) 中心構(gòu)件的支承剛度僅影響中心構(gòu)件的振動(dòng)模式，而對(duì)行星輪振動(dòng)模式不產(chǎn)生影響．具體而言，中心構(gòu)件的周向支承剛度僅影響中心構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式；中心構(gòu)件的徑向支承剛度僅影響中心構(gòu)件的平移振動(dòng)模式．

(2) 雙聯(lián)行星輪的徑向支承剛度和扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)系統(tǒng)3種振動(dòng)模式均有影響．

3 結(jié) 論

(1) NW型直齒行星齒輪傳動(dòng)具有3種典型振動(dòng)模式，即：中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式、中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式和雙聯(lián)行星輪振動(dòng)模式．其中，行星輪振動(dòng)模式又可細(xì)分為行星輪同振模式、行星輪左振模式和行星輪右振模式，此點(diǎn)與NGW型行星傳動(dòng)頗為不同．

(2) NW型直齒行星齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)模式與系統(tǒng)中構(gòu)件的支承剛度間存在確定映射關(guān)系，即：中心構(gòu)件的支承剛度僅影響中心構(gòu)件相應(yīng)方向上的振動(dòng)模式，而行星輪的支承剛度則影響系統(tǒng)的全部3種振動(dòng)模式．

［1］ 饒振綱. 行星齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)[M]. 北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2003.

Rao Zhengang. Design of Planetary Gear Transmission[M]. Beijing：Chemical Industry Press，2003(in Chinese).

［2］ Kahraman A. Natural modes of planetary gear trains[J]. Journal of Sound and Vibration，1994，173(1)：125-130.

［3］ Lin J，Parker R G. Analytical characterization of the unique properties of planetary gear free vibration[J]. ASME Journal of Vibration and Acoustics，1999，121(7)：316-321.

［4］ Kahraman A. Free torsional vibration characteristics of compound planetary gear sets[J]. Mechanism and Machine Theory，2001，36：953-971.

［5］ 宋軼民，許偉東，張 策，等. 2K-H行星傳動(dòng)的修正扭轉(zhuǎn)模型建立與固有特性分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42(5)：16-21.

Song Yimin，Xu Weidong，Zhang Ce，et al. Modified torsional model development and natural characteristics analysis of 2K-H epicyclic gearing[J]. Journal of Mechanical Engineering，2006，42(5)：16-21(in Chinese).

［6］ 孫 濤，劉繼巖. 行星齒輪傳動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)方程求解與動(dòng)態(tài)特性分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2002，38(3)：10-15.

Sun Tao，Liu Jiyan. Study on nonlinear dynamic behavior of planetary gear train solution and dynamic behavior analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering，2002，38(3)：10-15(in Chinese).

［7］ Lin J，Parker R G. Planetary gear parametric instability caused by mesh stiffness vibration[J]. Journal of Sound and Vibration，2002，249(1)：129-145.

［8］ 孫智民，沈允文，李素有. 封閉行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性研究[J]. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2001，16(2)：163-166.

Sun Zhimin，Shen Yunwen，Li Suyou. A study on torsional vibrations in an encased differential gear train[J]. Journal of Aerospace Power，2001，16(2)：163-166(in Chinese).

［9］ 魏大盛，王延榮. 行星輪系動(dòng)態(tài)特性分析[J]. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2003，18(3)：450-453.

Wei Dasheng，Wang Yanrong. The dynamic characteristics analysis of planet gear train[J]. Journal of Aerospace Power，2003，18(3)：450-453(in Chinese).

［10］ Ambarisha V K，Parker R G. Suppression of planet mode response in planetary gear dynamics through mesh phasing[J]. ASME Journal of Vibration and Acoustics，2006，128(4)：133-142.

［11］ 張 俊，宋軼民，張 策，等. NGW型直齒行星傳動(dòng)自由振動(dòng)分析[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，43(1)：90-94.

Zhang Jun，Song Yimin，Zhang Ce，et al. Analysis of free vibration of NGW spur planetary gear set[J]. Journal of Tianjin University，2010，43(1)：90-94(in Chinese).

［12］ 劉 欣. 基于虛擬樣機(jī)技術(shù)的直齒行星傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)研究[D]. 天津：天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，2007.

Liu Xin. Dynamics of Spur Planetary Gear Trains Based on Virtual Prototyping[D]. Tianjin：School of Mechanical Engineering，Tianjin University，2007(in Chinese).

Dynamic Modeling and Eigenvalue Evaluation of NW Spur Planetary Gear Unit

ZHANG Jun1,2，SONG Yi-min1
(1. School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Mechanical Engineering，Anhui University of Technology，Maanshan 243002，China)

An analytical translational-rotational-coupling dynamic model was developed to evaluate the inherent characteristics of NW spur planetary gear unit. By deriving the displacement relationships between gears and carrier，the governing differential equations were obtained. The solution to associated eigenvalue problem led to natural frequencies and free vibration modes of transmission. The vibration modes are classified into three categories，i.e.，rotational mode，translational mode，and planet mode based on their unique properties. And planet mode can be further classified into three sub-categories：global-planet sub-mode，left-planet sub-mode and right-planet sub-mode. The investigation into component stiffness reveals that the radial and circumferential stiffness of central component only influences rotational and translational modes，while the radial and torsional stiffness of planet affects all the three modes.

spur planetary gear unit；dynamic modeling；inherent characteristics；natural frequency；vibration mode

TH132.4

A

0493-2137(2011)08-0677-06

2009-10-13；

2010-11-01.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50205019，50905122)．

張 ?。?981— ），男，博士，副教授.

張 俊，zhang_jun@tju.edu.cn.