張喜清，項昌樂，劉 輝，陳福忠

(北京理工大學(xué) 車輛傳動國家重點實驗室，北京 100081)

模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)動力特性的一種近代方法，是系統(tǒng)辨別方法在工程振動領(lǐng)域中的應(yīng)用。其中普遍采用的方法是數(shù)值模態(tài)分析和試驗?zāi)B(tài)分析相結(jié)合來解決工程結(jié)構(gòu)振動問題，試驗?zāi)B(tài)分析可以獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，可以利用其結(jié)果檢驗、補充和修正原始有限元動力模型。目前，國內(nèi)外學(xué)者在模態(tài)參數(shù)識別［1］［2］和試驗?zāi)B(tài)分析［3，4］方面已經(jīng)進(jìn)行了很多研究，但在試驗測點和激勵點的優(yōu)化方面［5］研究較少。在進(jìn)行模態(tài)試驗時，在已有的測試系統(tǒng)和參數(shù)識別方法條件下，為充分激起結(jié)構(gòu)給定頻率范圍內(nèi)盡可能多的模態(tài)頻率，獲得高質(zhì)量的試驗測量數(shù)據(jù)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)測點和激勵點數(shù)目、位置和方向的優(yōu)化變得尤為重要，其準(zhǔn)確與否直接影響后續(xù)工作的準(zhǔn)確性。

本文以某型復(fù)雜變速箱箱體為研究對象，首先建立箱體的有限元模型，進(jìn)行數(shù)值模態(tài)求解，并在此基礎(chǔ)上對箱體進(jìn)行預(yù)試驗分析，優(yōu)化響應(yīng)測點數(shù)目及位置、激勵點位置及方向;然后進(jìn)行錘擊模態(tài)試驗，識別出表征箱體動力學(xué)特性的各階模態(tài)參數(shù)，并將試驗所得頻響函數(shù)和模態(tài)置信判據(jù)準(zhǔn)則(MAC)與預(yù)試驗分析結(jié)果進(jìn)行比較。

1 箱體預(yù)試驗分析

在對箱體進(jìn)行模態(tài)試驗之前，需對箱體模型、材料參數(shù)等做一系列的簡化，使得有限元模型與實際結(jié)構(gòu)間存在一定程度的差別，因此箱體有限元模型的準(zhǔn)確性對模態(tài)分析及預(yù)試驗分析有一定的影響。但對于變速箱箱體這類復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，通過預(yù)試驗分析可以對預(yù)先選取的響應(yīng)點進(jìn)行評價，在能夠清楚地辨識各階模態(tài)的前提下將試驗?zāi)B(tài)測試點數(shù)目降到最低，大大減少試驗?zāi)B(tài)測試的工作量，同時得出較為理想的激勵點的位置和方向，為模態(tài)試驗提供參考，指導(dǎo)模態(tài)試驗得到較理想的模態(tài)數(shù)據(jù)，提高信噪比，保證測試精度。

1.1 箱體有限元模態(tài)分析

該變速箱箱體由上箱體、下箱體、左端蓋、右端蓋、前蓋五部分組成，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，解析法根本無法求得其模態(tài)，因此用有限元法進(jìn)行求解。對箱體各部分進(jìn)行分析簡化，建立其有限元模型，總計108403個實體單元，主要由六面體和楔形體單元構(gòu)成，箱體有限元模型如圖1，并利用Lanczos方法來求解系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。圖2為0Hz～2000Hz頻率范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)頻率分布，由圖可知，箱體模態(tài)比較密集，共130階模態(tài)。

圖1 箱體有限元模型Fig.1 Finite Element Model of Housing

圖2 箱體有限元模型各階模態(tài)頻率分布Fig.2 Frequency Distributing of Housing FEM

1.2 響應(yīng)測點的選擇準(zhǔn)則

在求得箱體有限元模態(tài)結(jié)果的基礎(chǔ)上，選定一組響應(yīng)測點，易于傳感器安裝、對結(jié)構(gòu)局部質(zhì)量和剛度影響不大并能準(zhǔn)確地區(qū)分所感興趣的各階模態(tài)，對所選測點對應(yīng)的有限元模態(tài)振型進(jìn)行模態(tài)置信判據(jù)準(zhǔn)則(MAC)分析，檢查各階振型的相似程度，并以此判斷所選測點是否合適。

MAC用來表示各階模態(tài)振型的相關(guān)程度，MAC值在0和1范圍內(nèi)，第i階模態(tài)振型向量{φ}i和第j階模態(tài)振型向量{φ}j之間的MAC定義為［6］:

通過MAC矩陣，可以定量地闡明振型的相關(guān)程度。如{φ}i和{φ}j是同一個模態(tài)振型向量的估計，MAC接近于1(100%)，即兩者是線性相關(guān)的;如果是兩個不同模態(tài)振型向量的估計，MAC應(yīng)該接近于0，即兩者是相互獨立正交的。

如果非對角線上的MAC值比較大，這表明不同階次的模態(tài)振型間存在混淆現(xiàn)象，用于辨識振型的自由度數(shù)目不足，此時需增加測點，直至最終所選響應(yīng)點能將各階模態(tài)清晰辨識出來。模態(tài)振型空間混淆現(xiàn)象多發(fā)生在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)或組合結(jié)構(gòu)的模態(tài)試驗中，如果不注意，會導(dǎo)致后續(xù)進(jìn)行試驗?zāi)B(tài)振型與有限元模態(tài)振型進(jìn)行MAC相關(guān)性分析時出現(xiàn)錯誤的結(jié)論。

1.3 激勵點的選擇準(zhǔn)則

對激勵點位置的選擇，采用驅(qū)動點留數(shù)(DPR)方法［7］，優(yōu)化激勵點位置及方向，可以激起結(jié)構(gòu)更豐富的模態(tài)。

留數(shù)Aefr借助模態(tài)參數(shù)得出結(jié)構(gòu)在f點激勵，e點響應(yīng)的頻響函數(shù)表達(dá)式為:

在純模態(tài)情況下，若按單位模態(tài)質(zhì)量換算，模態(tài)比例系數(shù)Qr為:

第r階模態(tài)對于驅(qū)動點留數(shù)(e=f)為:

式中，ψer為第r階模態(tài)在驅(qū)動點e自由度處的振型系數(shù);ωr為第r模態(tài)頻率。

如果某激勵位置對應(yīng)盡可能多的模態(tài)，其DPR值都大，這樣的激勵點即為比較好的激勵位置。

1.4 箱體預(yù)試驗分析

箱體屬于較復(fù)雜的組合結(jié)構(gòu)，實際模態(tài)測試時，只能在外表面進(jìn)行測點布置，因此在箱體有限元模型外表面均勻選取一組數(shù)量最少，而又可以基本反映箱體結(jié)構(gòu)外形的一組測點作為初始測點組，共152個測點，具體布置如圖3。

圖3 箱體初始測點組分布Fig.3 Initial Measuring Points Distributing of Housing

對該箱體有限元模型進(jìn)行預(yù)試驗分析，頻率范圍為0Hz～2000Hz，利用上述基本測點組對各階模態(tài)振型作相關(guān)性分析，得到模態(tài)置信準(zhǔn)則(MAC)圖，如圖4。

圖4 初始測點MAC圖Fig.4 MAC of the Initial Measuring Points

由圖4可以看出，主要在低頻段(380Hz～600Hz)范圍內(nèi)，非對角線MAC值(MODMAC)值較高，如表1所示，表明初始測點模型在不同階模態(tài)振型間存在相關(guān)情形，該測試模型存在振型空間混淆現(xiàn)象。表中第2階和第4階模態(tài)振型MODMAC值最高為0.927，其它則在0.2～0.45范圍之間，說明該測試模型存在振型空間混淆現(xiàn)象，需要增加響應(yīng)測點來區(qū)分各階模態(tài)振型。

表1 初始模型非對角線MAC值Tab.1 MODMAC Value of Initial Model

由于該箱體為組合結(jié)構(gòu)，試驗中只能在箱體外表面布置傳感器。對存在空間混淆的各組振型進(jìn)一步分析，可知箱體表面初步選定的測點構(gòu)成的模態(tài)振型具有相似性，振型的差異主要在于箱體內(nèi)部筋板和隔板處。為了消除振型混淆現(xiàn)象，需在箱體內(nèi)部影響各階振型的筋板和隔板上增加測點，共增加14個測點，經(jīng)分析增加測點后，模型MAC值如圖5。

由圖5可知，增加測點后，基本消除振型空間混淆現(xiàn)象，且MODMAC值都低于0.2，測點布置比較準(zhǔn)確，由此確立箱體模態(tài)試驗的測點布置方案。

對所有測點各自由度下的驅(qū)動點留數(shù)(DPR)進(jìn)行計算和分析，按DPR值由大到小列舉前6個不同激勵位置的DPR加權(quán)平均值，如圖6所示。

圖5 增加測點后MAC圖Fig.5 MAC of the Updating Measuring Points

圖6 測點DPR加權(quán)平均值Fig.6 DPR Weighted Average value of Measuring Points

由圖6可知，箱體右側(cè)139測點－Y方向DPR加權(quán)平均值最大，在該位置激勵可以比較好的激起結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)，由此確立箱體模態(tài)試驗的激勵點位置。

2 箱體試驗?zāi)B(tài)分析

2.1 試驗?zāi)B(tài)理論與方法

試驗?zāi)B(tài)分析是研究復(fù)雜機械和工程結(jié)構(gòu)振動的重要方法。它通過對激勵力和響應(yīng)的時域或頻率分析，求得系統(tǒng)的頻響函數(shù)，然后根據(jù)頻響函數(shù)的特征，采用參數(shù)識別法求出結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)和結(jié)構(gòu)參數(shù)，基本原理［8］如下:

變速箱箱體的振動可假設(shè)為一個具有n個自由度的線性時不變系統(tǒng)運動，其振動微分方程為:

等式兩邊進(jìn)行傅里葉變換得:

式中［H(ω)］為位移頻響函數(shù)矩陣;

假設(shè)［φ］=［{φ1}，{φ2}，{φ3}，…，{φn}］為結(jié)構(gòu)的主振型矩陣，對于比例阻尼系統(tǒng)，在f點激勵，第e點測量響應(yīng)，位移頻響函數(shù)為:

由于位移頻響函數(shù)與加速度頻響函數(shù)之間的關(guān)系為:

將式(8)代入式(9)中，得在f點激勵，第e點測量響應(yīng)，加速度頻響函數(shù)為:

利用錘擊法(SIMO)對結(jié)構(gòu)進(jìn)行試驗?zāi)B(tài)分析，通常用加速度頻響函數(shù)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)估計，為求振動模態(tài)，只要測定頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣中的一行或一列即可。

2.2 箱體模態(tài)試驗

本試驗測試設(shè)備選用丹麥B＆K公司8206型激振錘、4326型三軸向加速度傳感器和比利時LMS公司的SC310DC－UTP型數(shù)據(jù)采集設(shè)備、LMS Test.Lab 9A版數(shù)據(jù)分析軟件。根據(jù)預(yù)試驗分析所確立的測點布置方案，建立箱體的模態(tài)試驗?zāi)Ｐ?，箱體外表面測點共152個，分別選取139－Y、101－X和19－Z方向作為激勵點。

試驗中對輸入的激勵力信號加力－指數(shù)窗，適時觀察響應(yīng)和激勵之間的相干函數(shù)，剔除相干函數(shù)不理想、錘擊質(zhì)量不佳的測試數(shù)據(jù)，以提高激勵信號的信噪比。每次試驗錘擊5次，并對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行線性平均處理，減少測量誤差。由于試驗對象是小阻尼系統(tǒng)，采樣時間短、響應(yīng)衰減慢，響應(yīng)信號容易產(chǎn)生能量泄漏，需要對測點加速度響應(yīng)信號加漢寧窗，提高了頻響函數(shù)的精度。本試驗將0～2000Hz作為試驗測試頻段。

對箱體進(jìn)行單點激勵多點響應(yīng)的錘擊模態(tài)試驗，測量并記錄各激勵點作用下各測點的頻響函數(shù)數(shù)據(jù)。利用Lms Test.Lab 9A軟件的PolyMAX參數(shù)識別方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別。識別出箱體在選定頻段內(nèi)的所有各階模態(tài)參數(shù)，包括模態(tài)頻率、阻尼比、模態(tài)質(zhì)量、剛度和阻尼。由于振型矢量是相對值，采用不同尺度的振型矢量歸一化，可得到不同的廣義模態(tài)參數(shù)。最常用的方法是按模態(tài)質(zhì)量歸一化，箱體的前10階模態(tài)參數(shù)如表2。

表2 箱體前10階模態(tài)參數(shù)(模態(tài)質(zhì)量歸一化)Tab.2 Gearbox modal parameters of first 10 orders(unity modal mass)

對三個不同方向和位置的激勵點進(jìn)行錘擊模態(tài)試驗，得到各自頻響函數(shù)總和曲線并進(jìn)行比較，如圖7所示，由圖可知，綜合比較曲線上的峰值個數(shù)和激振能量總體分布，139－Y方向激勵效果最好，這與箱體預(yù)試驗分析結(jié)果一致。

圖7 不同激勵點下頻響函數(shù)總和Fig.7 SUM of FRF of Different Exciting Points

圖8 試驗?zāi)B(tài)置信準(zhǔn)則圖Fig.8 Experimental Modal Assurance Criterion

2.3 試驗?zāi)B(tài)置信判據(jù)準(zhǔn)則

對模態(tài)試驗所得箱體各階模態(tài)振型的相關(guān)性進(jìn)行分析，利用MAC矩陣表繪制模態(tài)置信準(zhǔn)則圖，如圖8所示。

由圖8可知在MAC矩陣對角線上，值接近于1(100%)，對角線外MAC遠(yuǎn)小于1。在低頻范圍內(nèi)，模態(tài)振型存在空間混淆現(xiàn)象，這與箱體預(yù)試驗分析時情況相同，因為實際模態(tài)測試時只能在箱體外表面布置傳感器，低頻各階模態(tài)振型主要體現(xiàn)在箱體內(nèi)部筋板的變化上。結(jié)合預(yù)試驗分析結(jié)果，即使低頻存在振型空間混淆，試驗結(jié)果也是正確可信的，模態(tài)試驗所識別的模態(tài)參數(shù)是箱體結(jié)構(gòu)真實的模態(tài)參數(shù)。

3 結(jié)論

本文詳細(xì)論述了模態(tài)預(yù)試驗分析和模態(tài)試驗分析理論，并以某型變速箱箱體為例，進(jìn)行了錘擊模態(tài)試驗，并對試驗結(jié)果進(jìn)行比較分析。研究結(jié)果顯示:

(1)在對復(fù)雜變速箱箱體這類結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)試驗之前，對其有限元模型進(jìn)行預(yù)試驗分析，可以很大程度地優(yōu)化響應(yīng)測點和激勵點數(shù)目及位置。

(2)利用簡單易行的錘擊脈沖激振法可以對變速箱箱體這類復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)試驗，并能充分激起結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)，成功實現(xiàn)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的識別。

(3)在不同的激勵點位置和方向?qū)ο潴w進(jìn)行錘擊模態(tài)試驗，試驗結(jié)果表明預(yù)試驗分析確定的激勵位置及方向是正確的。

(4)通過箱體模態(tài)試驗與預(yù)試驗分析所得的模態(tài)振型間相關(guān)性的比較，表明模態(tài)試驗結(jié)果是可信的，可利用其進(jìn)行有限元模型修正，以及計算結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。

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