李運(yùn)德， 張 淼

(廣東工業(yè)大學(xué)，廣東廣州 510006)

0 引言

無刷直流電機(jī)(Brushless DC Motor，BLDCM)由于結(jié)構(gòu)簡單、出力大、調(diào)速性能良好等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。但是BLDCM的齒槽轉(zhuǎn)矩和非理想的方波輸入等多方面原因，使得該電機(jī)的轉(zhuǎn)矩波動比較明顯，這就很大地限制了其在較高精度的伺服系統(tǒng)中的應(yīng)用。

隨著對控制精度、速度以及對環(huán)境變化的適應(yīng)能力的要求越來越高，經(jīng)典PID逐漸暴露其缺點(diǎn)。采用傳統(tǒng)的PID方法控制BLDCM難以達(dá)到高性能的要求，并且在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)過程中整個系統(tǒng)往往具有非線性、時變不確定性，對于本來就在這方面存在缺陷的PID更難以取得理想的效果。

為了提高系統(tǒng)的魯棒性，本文提出采用趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)的方法，設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制器來控制BLDCM，并采用MATLAB軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明，控制系統(tǒng)具有超調(diào)量小、響應(yīng)速度快、抗負(fù)載擾動能力強(qiáng)等良好的控制性能［2，8－9］。

1 BLDCM的數(shù)學(xué)模型

BLDCM一般由電機(jī)本體、邏輯驅(qū)動電路和位置傳感器三部分組成。以三相星型連接BLDCM為例，電機(jī)的轉(zhuǎn)矩方程為

式中:Te——電磁轉(zhuǎn)矩;

ea、eb、ec——定子繞組的反電動勢;

ia、ib、ic——定子繞組的相電流;

ω——轉(zhuǎn)子角速度。

當(dāng)BLDCM運(yùn)行在120°導(dǎo)通的工作方式下，且不考慮換相暫過程，三相Y接定子繞組中只有兩相導(dǎo)通，其電流大小相等且方向相反。這樣式(1)可簡化為

式中:KT——電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù);

i——穩(wěn)態(tài)時繞組相電流。

忽略粘滯摩擦系數(shù)的影響，電機(jī)運(yùn)動方程為

式中:TL——負(fù)載轉(zhuǎn)矩;

J——轉(zhuǎn)動慣量［3］。

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計

滑模變結(jié)構(gòu)控制方法的設(shè)計和實(shí)現(xiàn)都相對簡單，而且比較適合功率電子器件的“開關(guān)”工作模式。由于滑模模態(tài)可以進(jìn)行設(shè)計且與系統(tǒng)參數(shù)變化及擾動無關(guān)，使得滑模變結(jié)構(gòu)控制具有快速響應(yīng)、對參數(shù)變化及擾動不敏感等特點(diǎn)。因此，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑動模態(tài)以后，對系統(tǒng)的干擾和攝動具有很好的自適應(yīng)性，基本不受系統(tǒng)參數(shù)變化和外界干擾的影響，其高速切換特性對于電機(jī)負(fù)載的變化和繞組換相引起的電流波動也均具有較好的抑制功能。如圖1(a)所示，為滑模變結(jié)構(gòu)控制的相軌跡圖［1，4］，圖 1(b)為仿真得到的相軌跡圖。

圖1 滑模變結(jié)構(gòu)控制相軌跡圖

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)向量穿越開關(guān)面時，反饋控制的結(jié)構(gòu)就發(fā)生變化，并一直在滑模區(qū)域內(nèi)運(yùn)動而不受系統(tǒng)參數(shù)、擾動等因素的影響，從而使系統(tǒng)達(dá)到所期望的指標(biāo)。

2.1 指數(shù)趨近律

一般，滑模變結(jié)構(gòu)控制在滑動模態(tài)下會產(chǎn)生高頻抖振，為了減弱抖振可以采用趨近率的方法。

指數(shù)趨近律表示為

其中:k＞0，δ＞0，s為滑模切換函數(shù)，sign是符號函數(shù)。

在指數(shù)趨近律中，趨近速度從較大的值逐步減小到零，這樣，不僅縮短了趨近時間，還使運(yùn)動點(diǎn)到切換面時的速度很小。通過調(diào)整指數(shù)趨近律的參數(shù)k和δ，既可以改善滑動模態(tài)到達(dá)過程的動態(tài)品質(zhì)，又可以減弱控制信號的高頻抖振。

2.2 滑動模態(tài)的到達(dá)條件和穩(wěn)定性

系統(tǒng)的初始點(diǎn)可在狀態(tài)空間的任意位置，但在系統(tǒng)運(yùn)行后，為了使系統(tǒng)正常起動滑模運(yùn)動，則要求運(yùn)動點(diǎn)在有限的時間內(nèi)到達(dá)切換面s=0，即系統(tǒng)的運(yùn)動必須趨于切換面。到達(dá)條件［5］為

根據(jù)式(4)，得

2.3 控制器設(shè)計

令狀態(tài)量為

式中:x1——速度誤差;

x2——速度滑模變結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)器輸入;

ωr——給定轉(zhuǎn)速;

ω——電機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)速。

把式(2)、式(3)代入式(9)，得系統(tǒng)在狀態(tài)空間的數(shù)學(xué)模型為

選取滑模切換函數(shù)為

式中，c為常數(shù)，且 c＞0。由式(4)、式(11)，得

再由式(10)、式(12)，得

對式(13)進(jìn)行微分計算，可得滑模變結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)器輸出，即電流給定u=ir為

在滑動模態(tài):

到達(dá)切換面s=0，得通解為

其中，a為常數(shù)。由式(16)得:

可知，t趨于無窮時，ae－ct沿指數(shù)曲線趨于零，使得實(shí)際速度趨近于給定速度，可認(rèn)為ω=ωr，因此能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)速無超調(diào)的跟蹤而使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

為更好地解決滑?？刂拼嬖诘亩墩駟栴}，采用準(zhǔn)滑動模態(tài)控制原理，即使一定范圍內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)均被吸引到切換面的某一鄰域內(nèi)，或稱為切換面的邊界層。因此，用飽和函數(shù)sat(s)代替滑動模態(tài)中的符號函數(shù)sgn(s)，sat(s)的表達(dá)式為

式(18)中，Δ為邊界層。當(dāng)運(yùn)動點(diǎn)在邊界層外，切換控制起作用;運(yùn)動點(diǎn)在邊界層內(nèi)，則線性化反饋控制起作用。在邊界層內(nèi)時，準(zhǔn)滑動模態(tài)不要求滿足滑動模態(tài)的存在條件，因此不要求在切換平面上進(jìn)行控制結(jié)構(gòu)的切換，可從根本上避免或削弱抖振。

3 MATLAB仿真試驗(yàn)

根據(jù)上面的理論分析，為了驗(yàn)證指數(shù)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制器對BLDCM進(jìn)行控制的可行性，本文使用MATLAB/Simulink軟件對系統(tǒng)進(jìn)行仿真，對BLDCM參數(shù)設(shè)定如下:定子電阻 R=2.875 Ω，定子電感 L=8.5 mH，轉(zhuǎn)子磁通 φf=0.175 Wb，轉(zhuǎn)動慣量 J=0.000 8 kg·m2，反電動勢平頂波為120°。圖2所示為BLDCM的控制系統(tǒng)框圖。

設(shè)仿真時間為0.1 s，給定速度為300 r/min，初始負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0 N·m，在0.05 s時突然增加速度，使其變?yōu)?00 r/min，通過仿真分析控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)(包括上升時間tr、超調(diào)量σ和調(diào)節(jié)時間ts)和抗擾性能指標(biāo)(包括轉(zhuǎn)速降落ΔCmax和恢復(fù)時間tv)以及各因素的影響［7］。圖3所示為兩種速度下速度和轉(zhuǎn)矩的仿真波形。

圖2 BLDCM控制系統(tǒng)框圖

圖3 300 r/min和500 r/min的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩波形

對圖3中轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩波形進(jìn)行分析，在轉(zhuǎn)速為300 r/min時，速度能在極短的時間內(nèi)就能跟蹤上給定速度;當(dāng)在0.05 s時突然加速到500 r/min，速度仍能快速到達(dá)期望速度;兩種速度下均能實(shí)現(xiàn)無超調(diào);轉(zhuǎn)矩也非常穩(wěn)定，并未出現(xiàn)明顯的轉(zhuǎn)矩脈動。圖3對應(yīng)的性能指標(biāo)如表1所示。

表1 性能指標(biāo)

由于圖3中沒有加負(fù)載，因此，再對控制系統(tǒng)在突加負(fù)載的情況下進(jìn)行仿真。仿真時間仍為0.1 s，給定速度為 500 r/min，在 0.05 s時突然增加1 N·m的負(fù)載，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 500 r/min的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩波形

對圖4中轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩波形進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)速亦能快速達(dá)到給定值，雖然在0.05 s時突加負(fù)載，系統(tǒng)也只稍微發(fā)生一點(diǎn)變化，又能立即回到原給定值，實(shí)現(xiàn)無超調(diào)調(diào)速，受負(fù)載干擾后的轉(zhuǎn)速降落也可認(rèn)為是零，同時穩(wěn)定后的轉(zhuǎn)矩也沒有特別的轉(zhuǎn)矩脈動。圖4對應(yīng)的性能指標(biāo)如表2所示。

表2 性能指標(biāo)

由以上兩種情況對所設(shè)計的指數(shù)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制器進(jìn)行分析可知，該控制器能實(shí)現(xiàn)快速跟蹤的功能，較明顯的效果就是沒有出現(xiàn)超調(diào)，極大地抑制了外界干擾的影響，符合設(shè)計要求。

4 結(jié)語

本文通過分析BLDCM控制系統(tǒng)，并對速度控制環(huán)節(jié)進(jìn)行指數(shù)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制策略設(shè)計，所設(shè)計方法簡單，易于實(shí)現(xiàn)?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制由于其自身的設(shè)計方法，使它具有克服系統(tǒng)外界干擾和內(nèi)部參數(shù)攝動的良好特性;當(dāng)系統(tǒng)處于滑動模態(tài)時，系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移不受原有參數(shù)變化和外部擾動影響，具有完全自適應(yīng)性和魯棒性。仿真結(jié)果證明，指數(shù)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)具有響應(yīng)速度快、誤差小、無超調(diào)、抗干擾能力強(qiáng)和實(shí)時性能好等優(yōu)點(diǎn)，極大地提高了控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

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