上海電子工業(yè)學(xué)校 上海信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 余 浩

在講如何學(xué)好進(jìn)制之前，我們先來看以下三個(gè)二進(jìn)制數(shù)，算一算它們所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)是多少。

①1O11 ②1111111O11 ③1O111O11

如果你能花1分鐘做出來，說明你已經(jīng)學(xué)會(huì)進(jìn)制轉(zhuǎn)換了，請(qǐng)?zhí)^本文的第一部分，直接閱讀第二部分；如果你能在1分鐘以內(nèi)完成（本人大概需要花十秒左右可以解出答案），那說明你已經(jīng)是一個(gè)進(jìn)制轉(zhuǎn)換的高手了，可快速瀏覽本文，當(dāng)然不看也沒有問題；如果你花了幾分鐘才計(jì)算出來，或者說無法確定答案是否正確的話，那你就得加油了，請(qǐng)認(rèn)真仔細(xì)地并反復(fù)地閱讀本文，相信會(huì)有大收獲。

一、進(jìn)制基礎(chǔ)

大家都知道：二進(jìn)制是計(jì)算機(jī)內(nèi)部數(shù)據(jù)處理和數(shù)字電路的基礎(chǔ)。進(jìn)制掌握得是否清楚，對(duì)后續(xù)很多相關(guān)課程的學(xué)習(xí)影響重大。很多人在學(xué)習(xí)進(jìn)制的時(shí)候覺得猶如在“看天書”，或者是似懂非懂，一知半解，究其原因是平時(shí)用慣了十進(jìn)制，看見“1O”就是“十”。而當(dāng)你學(xué)過進(jìn)制后，“1O”有可能是“二”，也有可能是“八”；或者是“十六”，結(jié)果取決于采用的是幾進(jìn)制數(shù)。

學(xué)好進(jìn)制，首先要學(xué)好二進(jìn)制，學(xué)好二進(jìn)制的基礎(chǔ)有兩點(diǎn)：

1.熟練掌握二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算中最復(fù)雜的計(jì)算，即1+1=(1O)2（逢二進(jìn)一，類似于十進(jìn)制中的9+1）；再推出(11)2+1=(1OO)2……

2.熟記2的N次方的數(shù)（即二進(jìn)制的權(quán)，權(quán)的大小與數(shù)字符號(hào)所在位置有關(guān)）；2O=1，21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，29=512。

一般記到2的1O次方，2的11次方可以用2K來表示，即1K=1O24=21O，22O=1M=1O24K，23O=1G=1O24M，24O=1T=1O24G，264=24·22O·24O=16MT。

運(yùn)用以上兩點(diǎn)，從O開始依次加1，可推出四位二進(jìn)制數(shù)，并計(jì)算其所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。

接下來，我們來看看4位二進(jìn)制部與其它進(jìn)制的對(duì)應(yīng)關(guān)系表（見表1）。

表1 4位二進(jìn)制數(shù)與其它進(jìn)制對(duì)應(yīng)表

·任何進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)都可以用按權(quán)展開求和的方法。

8、4、2、1都是二進(jìn)制的權(quán)，8421法其實(shí)就是四位數(shù)的按權(quán)展開求和法。（注意不要與8421碼概念混淆，8421碼是一種BCD編碼，用四位二進(jìn)制編碼來表示十進(jìn)制的十個(gè)值。·十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成其它進(jìn)制數(shù)，都可以用除以基數(shù)，倒過來取余數(shù)的方法。

基數(shù)即為該進(jìn)制能采用的基本符號(hào)，而余數(shù)肯定都是小于基數(shù)的。

例如：二進(jìn)制的基數(shù)為2，只有“O”和“1”兩個(gè)基本符號(hào)。十進(jìn)制數(shù)除以二，得到的余數(shù)也只會(huì)是“O”或者“1”。而十六進(jìn)制較復(fù)雜，用“A”表示1O，依次類推，逢十六進(jìn)位。

·2位二進(jìn)制數(shù)最大為“11”，八進(jìn)制數(shù)為“77”；十進(jìn)制數(shù)為“99”；而十六進(jìn)制數(shù)則為“FF”。

·十六進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)可直接轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

16是2的4次方；8是2的3次方。因此，八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的關(guān)系緊密（通俗地講可以看成是親戚關(guān)系——看到二進(jìn)制，馬上就知道八進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)長(zhǎng)什么樣）。

只要充分理解和熟記牢記表1，那你離成為進(jìn)制高手就不遠(yuǎn)了。

二、進(jìn)制提高

現(xiàn)在讓我們來看看如何在很短的時(shí)間內(nèi)計(jì)算出這三個(gè)二進(jìn)制數(shù)所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。

①1O11

當(dāng)然直接從基本的四位二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)表中取出答案：為“十一”。（牢記在腦中，最差也要知道“8+2+1”）

②1111111O11

可看成1111111111減去1OO所得。1O位二進(jìn)制“1”等于2的1O次方減1，即1O24－1=1O23。而二進(jìn)制“1OO”為十進(jìn)制的“四”。故最后答案為1O23－4=1O19。

另外的一個(gè)算法可以先算出前7個(gè)“1”的十進(jìn)制數(shù)等于2的7次方減1，即128－1=127，然后乘以二進(jìn)制數(shù)“1OOO”，即十進(jìn)制數(shù)“8”；最后加上3，得到最后結(jié)果為：127*8+3=125*8+2*8+3=1OOO+19=1O 19。對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)算式為：1111111*1O OO+11=1111111OOO+11=1111111O11。

③1O111O11

先把該數(shù)看成十六進(jìn)制為：BBH，再轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)（十六進(jìn)制“B”等于十進(jìn)制數(shù)“11”），即為11*16+11=176+11=187。

·從以上三道小題計(jì)算過程來看，首先，再次驗(yàn)證了進(jìn)制的基礎(chǔ)

（1）要牢牢記住四位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)；

（2）要牢牢記住2的O次方到2的1O次方所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。

·然后我們?cè)賮砜匆恍┨厥舛M(jìn)制數(shù)的計(jì)算，見表2

（1）“1”后面有N個(gè)零的二進(jìn)制數(shù)等于2的N次方（這和十進(jìn)制“1OO”即1O的平方的道理是一樣的）；

例：2、4、8、16、32所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。

（2）N個(gè)全“1”的二進(jìn)制數(shù)等于2N-1（這和十進(jìn)制數(shù)“99”等于“1OO－1”的道理是一樣的）。

例：127=27－1=(1111111)2

·接著，我們來看二進(jìn)制的乘法可以用移位添O來代替

因?yàn)槎M(jìn)制乘法很簡(jiǎn)單，沒有乘法口訣表需要去背，要么乘“O”，得全“O”；要么乘“1”，得其本身。

二進(jìn)制數(shù)向左移位，末位添O，即乘2（二進(jìn)制數(shù)“1O”）。若添2個(gè)O，即乘4（二進(jìn)制數(shù)“1OO”）；添3個(gè)O，即乘8（二進(jìn)制數(shù)“1OOO”）；依次類推，添N個(gè)O，即乘2的N次方。

例：(1O1OOO)2=(1O1*1OOO)2=5*8=4O；(11111OO)2=(11111*1OO)2=31*4=124。

·最后，我們對(duì)以上所述進(jìn)行一下總結(jié)和綜合：

1.二進(jìn)制數(shù)中“1”的個(gè)數(shù)不多，仍可用按權(quán)展開求和法。

例：(1O1O1OO)2=26+24+22=64+16+4=84(=5*16+4=1O*8+4)

2.二進(jìn)制數(shù)中“1”的個(gè)數(shù)較多，可運(yùn)用計(jì)算全“1”的方法再通過加減獲得。

例：(1111O111)2=(11111111－1OOO)2=255－8=247

或：=(1111*1OOOO+111)2=15*16+7=2 56-16+7=247

表2 特殊的二進(jìn)制數(shù)

二進(jìn)制 十進(jìn)制 十六進(jìn)制 八進(jìn)制 備注10,000 16 10 20 11,111 31 1F 37 100,000 32 20 40 111,111 63 3F 77 1,000,000 64 40 100 1,111,111 127 7F 177 10,000,000 128 80 200 11,111,111 255 FF 377 100,000,000 256 100 400 111,111,111 511 1FF 777 1,000,000,000 512 200 1000 1,111,111,111 1023 3FF 1777 10,000,000,000 1024 400 2000

3.一定要活用移位（即乘除法），并牢記四位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十六（八）進(jìn)制數(shù)值。見例1、2下劃線對(duì)應(yīng)加粗部分的運(yùn)算過程。

例：(2FC)16=(1O111111OO)2=29+28-1-3=512+256-4=764

4.八進(jìn)制介于二進(jìn)制與十六進(jìn)制之間，因此可以用于過渡計(jì)算。如：將較大的十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，可以先計(jì)算成八進(jìn)制數(shù)（除8比除16簡(jiǎn)單），再通過1位對(duì)3位來快速獲得二進(jìn)制數(shù)（當(dāng)然以熟悉表1為前提）。

例：115=(163)8=(1,11O,O11)2

115=14*8+3=(1*8+6)*8+3(遞推式，在編程時(shí)會(huì)用到)

5.如果熟悉了進(jìn)制，那么很多進(jìn)制轉(zhuǎn)換都可以很快計(jì)算出來。

例：（1）將十進(jìn)制數(shù)“252”轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)（不需要用除8取余法）

252=255-3=(11111111-11)2=(11 111 1OO)2=(374)8

（2）將十進(jìn)制數(shù)“24O”轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)（不需要用除8取余法)

32O=5*8*8=(1O1*1O*1O)8=(1O1OO)8

以上這些運(yùn)算，都必須在熟悉常用進(jìn)制的權(quán)，以及4位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)八、十六進(jìn)制數(shù)的前提下，才能迅速準(zhǔn)確地完成。

只有真正理解了二進(jìn)制(包括運(yùn)算和特性)，其它進(jìn)制就能迎刃而解了。

計(jì)算有很多技巧。如果讓你計(jì)算“99×99=？”，有經(jīng)驗(yàn)的你一定會(huì)這么算：(1OO-1)×99=99OO-99=98O1（其實(shí)還有其它技巧可以很快心算出來，在電視節(jié)目中有過介紹）。同理，若要將1O位以內(nèi)的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)，可運(yùn)用以上方法很快心算出來，但若二進(jìn)制數(shù)超過1O位以上，除非“1”的個(gè)數(shù)不多，否則還是要花一定的時(shí)間進(jìn)行計(jì)算，甚至要?jiǎng)佑糜?jì)算工具。當(dāng)然或許有人不用就能辦到，這就是“世界之大，無奇不有啊”。

謹(jǐn)以此文獻(xiàn)給那些學(xué)習(xí)進(jìn)制比較困難的朋友，希望能對(duì)大家學(xué)習(xí)進(jìn)制有所幫助和提高。通過對(duì)此文的閱讀理解，利用閑暇時(shí)間的反復(fù)訓(xùn)練和再學(xué)習(xí)，我相信每個(gè)人都可以牢牢地“Hold”住它，成為真正的“進(jìn)制控”。

注：文中除有文字描述的或有下標(biāo)標(biāo)注的數(shù)字外（也有用符號(hào)表示的，十六進(jìn)制——H；十進(jìn)制——D；八進(jìn)制——Q；二進(jìn)制——B，由于容易和十六進(jìn)制的基本符號(hào)產(chǎn)生混淆，故本文中未采用），其它出現(xiàn)的阿拉伯?dāng)?shù)字都為十進(jìn)制數(shù)。

再做幾道進(jìn)制轉(zhuǎn)換的題目，看看有沒有進(jìn)步：

[1]侯炳輝.計(jì)算機(jī)原理[M].經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社.

[2]電子技術(shù)基礎(chǔ)·數(shù)字部分(第四版)[M].高等教育出版社.