亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        快速多極子邊界元法在吸聲材料聲場計(jì)算中的應(yīng)用

        2011-06-02 08:10:24崔曉兵季振林
        振動(dòng)與沖擊 2011年8期

        崔曉兵,季振林

        (哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院,哈爾濱 150001)

        自 Rokhlin[1]于 1983年提出快速多極子法則(FMA)以來,F(xiàn)MA在分子動(dòng)力學(xué)、電磁學(xué)、聲學(xué)、流體力學(xué)等領(lǐng)域得到了迅速發(fā)展[2-7]。在聲學(xué)方面,將其與邊界元法(BEM)相結(jié)合,形成了快速多極子邊界元法(FMBEM),鑒于其在求解聲場問題中計(jì)算速度快,精度高,節(jié)約內(nèi)存等優(yōu)勢,使其成為處理大尺度聲場問題的有效工具,為邊界元法的發(fā)展帶來了新曙光。

        目前FMBEM的應(yīng)用多局限于空氣介質(zhì)的單區(qū)域聲場計(jì)算,其在多區(qū)域多介質(zhì)復(fù)合聲場問題中的應(yīng)用成為聲學(xué)FMBEM發(fā)展的新方向,將子結(jié)構(gòu)技術(shù)應(yīng)用于FMBEM中,發(fā)展形成子結(jié)構(gòu)FMBEM[8],能有效地解決多區(qū)域復(fù)合聲場問題,使帶有薄壁結(jié)構(gòu)的聲場計(jì)算(如內(nèi)插管消聲器,穿孔管消聲器等)成為可能。然而,對于FMBEM在吸聲材料介質(zhì)或多介質(zhì)復(fù)合的聲場中的應(yīng)用,由于復(fù)數(shù)形式波數(shù)的影響,其多極子展開式的適用性及求解精度還有待考察,復(fù)波數(shù)條件下展開式數(shù)值計(jì)算的參數(shù)選取仍需進(jìn)一步研究與分析。

        鑒于此,本文對復(fù)波數(shù)及實(shí)波數(shù)下的格林函數(shù)及其法向?qū)?shù)多極子展開式進(jìn)行數(shù)值研究,建立四點(diǎn)單級和多極傳遞關(guān)系模型,通過與理論值比較,考察其計(jì)算精度,分析其誤差的影響因素及來源,并找到解決此問題的方法。最后以膨脹腔阻性消聲器傳遞損失計(jì)算為例,比較FMBEM與BEM的求解精度,驗(yàn)證本文方法的有效性與可行性。

        1 復(fù)波數(shù)條件下的多極子展開式

        1.1 邊界積分方程

        圖1為邊界平滑的三維內(nèi)部聲場示意圖,包含剛性邊界、振動(dòng)邊界、吸收邊界三種邊界。假設(shè)穩(wěn)態(tài)聲場聲壓隨時(shí)間變化是簡諧的,取時(shí)間項(xiàng)為exp(- jωt),其中 j=,則該聲場滿足三維Helmholtz方程,邊界上P點(diǎn)處聲壓可由Kirchhoff-Helmholtz邊界積分方程[9]得到:

        圖1 平滑邊界內(nèi)部聲場示意圖Fig.1 Illustration of an interior sound field with smooth boundary

        其中,?/?n指該函數(shù)的外法向?qū)?shù),G為Helmholtz方程的基本解,形式如下:

        眾所周知,式(1)即為傳統(tǒng)BEM的核心控制方程,將該控制方程離散,通過某特定方法(1/8子組劃分法,1/2子組劃分法等)對邊界節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分組,分級,按照每級中各組集的遠(yuǎn)近關(guān)系將聲場分為近場與遠(yuǎn)場,在近場仍用傳統(tǒng)BEM法求解,遠(yuǎn)場則采用快速多極子方法加速求解[2],最后將兩部分結(jié)果相加即可得到整個(gè)聲場的系數(shù)矩陣和向量積。此種求解聲場問題的方法即為FMBEM(具體實(shí)現(xiàn)過程可參考文獻(xiàn)[10])。

        1.2 Helmholtz方程基本解的多極子展開式

        為了在遠(yuǎn)場應(yīng)用 FMA求解,需將邊界積分方程等效為多極子展開式進(jìn)行計(jì)算,而Helmholtz方程基本解即格林函數(shù)的多極子展開是FMBEM順利實(shí)施的前提,其展開式的計(jì)算精度尤其成為FMBEM成功的關(guān)鍵。

        如圖2所示四點(diǎn)關(guān)系,M為多極子展開點(diǎn),L為本地展開點(diǎn)。根據(jù)Gegenbauer附加定理[11]及平面波展開公式[12],格林函數(shù)可展開成:

        圖2 四點(diǎn)關(guān)系圖Fig.2 Geometry of the four points

        其中:

        為保證式(3)成立,要求 rpL<rLM且 rMQ<rPM。,為波數(shù)矢量是單位球面積分向量為第一類球漢克函數(shù),pl為勒讓德多項(xiàng)式。聲傳播介質(zhì)為空氣時(shí),k=2πf/c0為實(shí)波數(shù),當(dāng)傳播介質(zhì)為吸聲材料時(shí),假設(shè)吸聲材料介質(zhì)分布均勻,且聲波以簡諧波的形式傳播,則在該介質(zhì)中,密度與聲速均可等效為復(fù)數(shù)形式的聲參數(shù),從而波數(shù)k=kr+j ki為復(fù)波數(shù),代入式(3)可得:

        格林函數(shù)外法向?qū)?shù)為:

        由于:

        其外法向?qū)?shù)可展開為:

        在進(jìn)行遠(yuǎn)場多級影響系數(shù)計(jì)算時(shí),根據(jù)快速多極子算法,格林函數(shù)需由下式計(jì)算:

        式中:

        其中,L為最低級級數(shù)(級數(shù)最高),λmL為L級m組的中心點(diǎn);λm'L為L級m組的某交互組的中心點(diǎn)(關(guān)于近場組、交互組等概念參見文獻(xiàn)[10]);級數(shù)I由p點(diǎn)、q點(diǎn)位置關(guān)系決定。由于2級之后才有交互組出現(xiàn),因而上述兩式適用于L≥3的情況。同理格林函數(shù)法向?qū)?shù)的多極表達(dá)式為:

        1.3 多極子展開式的數(shù)值計(jì)算

        為了進(jìn)行有效的數(shù)值計(jì)算,式(5)需用前Nc項(xiàng)和近似,考慮到復(fù)波數(shù)的影響,為使展開式在各種情況下得到足夠的精度,Nc可由下式計(jì)算:

        可見,Nc及Nθ的取值直接影響著多極子展開式的求解精度。在空氣介質(zhì)條件下,即實(shí)波數(shù)條件下,Yasuda和Sakuma[14]對 Nc及 Nθ等參數(shù)的選取做了詳細(xì)的數(shù)值研究與論證,并提出了恰當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)公式以保證展開式的計(jì)算誤差在允許的范圍。然而,當(dāng)聲波在吸聲材料介質(zhì)中傳播時(shí),復(fù)波數(shù)的介入對展開式計(jì)算精度的影響,以及經(jīng)驗(yàn)公式在復(fù)波數(shù)環(huán)境下的適用性等許多問題仍需進(jìn)一步研究與討論。

        2 復(fù)波數(shù)下多極子展開式的數(shù)值研究

        在復(fù)波數(shù)條件下,考慮到格林函數(shù)值若按式(6)計(jì)算,衰減項(xiàng)ki的介入會(huì)使其隨著多極子點(diǎn)間距離與ki的增大而迅速衰減,而若按式(3)計(jì)算,多項(xiàng)式的求和可能會(huì)使其衰減效應(yīng)大大減小,從而產(chǎn)生誤差。鑒于此,為了考察復(fù)波數(shù)對格林函數(shù)及其法向?qū)?shù)展開式計(jì)算精度的影響,取L點(diǎn)、M點(diǎn)、p點(diǎn)、q點(diǎn)各自之間距離最遠(yuǎn)的情況,針對圖3所示單級和多極傳遞關(guān)系,數(shù)值計(jì)算各展開式值并與理論值比較,分析討論其計(jì)算誤差及產(chǎn)生原因。

        以1/8子組劃分法為例,如圖3所示四點(diǎn)三維關(guān)系圖,(a)圖為單級傳遞關(guān)系圖,由于其最低級為2級,其格林函數(shù)及其法向?qū)?shù)的展開式值可直接由(3)式和(9)式計(jì)算。(b)圖為多級傳遞關(guān)系圖,由p、q點(diǎn)位置關(guān)系可知級數(shù)I為2,其最低級為4級,因而其格林函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的展開式值由式(10)和式(12)計(jì)算。圖中 q1即 λm4,q2即 λm3,M 即 λm2,L 即 λm2',p2即 λm3',p1即λm4'。吸聲材料為長纖維玻璃絲綿,實(shí)驗(yàn)測得該吸聲材料的特性阻抗Zb和波數(shù)kb的表達(dá)式為:

        圖3 四點(diǎn)三維關(guān)系圖Fig.3 Geometry of the four points in three dimensions

        其中:za和ka分別為空氣的特性阻抗與波數(shù),ρa(bǔ)為空氣密度,當(dāng)材料的填充密度為200 g/L時(shí),測得此材料的流阻率σ為17378 Rayls/m。吸聲材料流阻率的測量方法可參考文獻(xiàn)[15]。

        2.1 單級傳遞

        以圖3(a)所示四點(diǎn)單級傳遞關(guān)系為例,計(jì)算式(2)格林函數(shù)理論值與式(3)展開式值,得到圖4至圖6。觀察圖4和圖5發(fā)現(xiàn),在空氣介質(zhì)中,無論式(13)中α取何值(0~1),格林函數(shù)展開式值均能保證較高的計(jì)算精度,而對于吸聲材料介質(zhì),當(dāng)ki·rLM達(dá)到某值后,其展開式值會(huì)隨著ki·rLM的增大而與理論值愈發(fā)背離。圖5展示了當(dāng)α取不同值時(shí),展開式值與理論值的吻合情況,可見在兩種變化方案中(定頻率,變r(jià)LM;定rLM,變頻率),α取0.8時(shí)吻合情況最好,失真范圍最小。而且,無論是改變r(jià)LM還是改變頻率,展開式值與理論值的分歧點(diǎn)均與ki·rLM值密切相關(guān),約為13。圖6為在兩種變化方案中,α取不同值時(shí)Nc隨ki·rLM值的變化曲線,結(jié)合圖5可知,在ki·rLM小于13時(shí),只有α=0.8的Nc值對復(fù)波數(shù)展開式求解最為合適,過大或過小均會(huì)對其計(jì)算精度產(chǎn)生影響。

        取式(13)中α=0.8,同時(shí)變化頻率與rLM值,計(jì)算式(9)格林函數(shù)法向?qū)?shù)展開式,并與式(7)所示理論值比較,得到圖7和圖8。觀察圖7可見,在空氣介質(zhì)中,法向?qū)?shù)展開式值與理論值基本吻合,具有較高的計(jì)算精度,而對于吸聲材料介質(zhì),則在ki·rLM約大于13后,開始與理論值相背離。圖8展示了兩種介質(zhì)下計(jì)算值實(shí)部和虛部的相對誤差,可見對于實(shí)波數(shù),除了在k·rLM很小時(shí)相對誤差較大外,在其他范圍均有較高的精度。而對于復(fù)波數(shù),只有在ki·rLM小于13時(shí)的誤差基本在允許范圍。

        2.2 多級傳遞

        以圖3(b)所示四點(diǎn)多級傳遞關(guān)系為例,取式(13)中α=0.8,同時(shí)變化頻率與rLM值,計(jì)算式(2)格林函數(shù)理論值與式(10)遠(yuǎn)場展開式值,得到圖9和圖10。觀察兩圖發(fā)現(xiàn),多級傳遞關(guān)系并未增加展開式在復(fù)波數(shù)條件下的失真范圍,均在ki·rLM約大于13時(shí)與理論值發(fā)生背離,其與單級傳遞具有相似的誤差精度。由此可斷定,式(3)中E(k)項(xiàng)的計(jì)算在實(shí)波數(shù)和復(fù)波數(shù)條件下均能保證較高的計(jì)算精度,誤差主要集中在TLM(k)項(xiàng)的計(jì)算中,分析其誤差原因?yàn)?由于TLM(k)疊加項(xiàng)中h(1)l(krLM)的幅值隨著l的增大而逐漸增大,且其相位交替變化,由于Nc值隨著ki·rLM的增大而不斷增高,過大的求和次數(shù)使函數(shù)幅值得以積累,導(dǎo)致最終解向極大值發(fā)散。

        總之,實(shí)波數(shù)條件下,格林函數(shù)及其法向?qū)?shù)展開式的計(jì)算只在頻率或rLM值極低時(shí)有較大誤差,其余范圍具有較高的計(jì)算精度,而且其對求和項(xiàng)數(shù)Nc的選取適應(yīng)性強(qiáng)。復(fù)波數(shù)條件下,當(dāng)ki·rLM超過某值時(shí),展開式計(jì)算誤差會(huì)越來越大,展開式的計(jì)算精度對Nc值的選取比較敏感,過大或過小均對求解精度及可信值范圍有較大影響。

        所以,對于FMBEM在吸聲材料中的應(yīng)用,可選取α =0.8時(shí)的Nc值,當(dāng)ki·rLM大于13時(shí),不可再用原展開式計(jì)算,鑒于此時(shí)格林函數(shù)及其法向?qū)?shù)值為10-9或10-8的數(shù)量級,且會(huì)隨著ki·rLM的增大而越來越小,為了實(shí)現(xiàn)FMBEM的編程計(jì)算及滿足工程應(yīng)用的精度要求,可將展開式中TLM(k)的值近似為0。除此方法外,應(yīng)用子結(jié)構(gòu)FMBEM,將大尺寸結(jié)構(gòu)模型劃分為若干小尺寸結(jié)構(gòu)分別計(jì)算,即可有效的避免產(chǎn)生過大的ki·rLM值,保證展開式有較高的計(jì)算精度。

        3 計(jì)算實(shí)例

        圖11所示為某膨脹腔阻性消聲器示意圖,其尺寸為 d=0.1 m,D=0.3 m,l=0.47 m,l1=l2=0.1 m,空氣中聲速c=344 m/s,吸聲材料為長纖維玻璃絲綿,材料填充密度為200 g/L,穿孔管只考慮其支撐吸聲材料的作用。若應(yīng)用FMBEM計(jì)算,則其根組邊長b至少為0.67 m,在2級交互組中,約為 0.87 m,可知當(dāng)ki約大于15時(shí),即頻率大于820 Hz時(shí),展開式的計(jì)算將進(jìn)入錯(cuò)誤值范圍,選用上節(jié)中提到的辦法,取α=0.8時(shí)的 Nc值,當(dāng) ki·rLM大于13時(shí),將展開式中TLM(k)的值近似為0。為了實(shí)現(xiàn)FMBEM在多介質(zhì)復(fù)合聲場中的計(jì)算,應(yīng)用子結(jié)構(gòu)FMBEM將此模型按傳播介質(zhì)分為如圖Ω1與Ω2兩子結(jié)構(gòu),計(jì)算其傳遞損失,并與子結(jié)構(gòu)BEM[16]比較其求解精度。圖12展示了應(yīng)用子結(jié)構(gòu)FMBEM與BEM計(jì)算其傳遞損失曲線,可見,當(dāng)頻率大于820Hz時(shí),二者計(jì)算結(jié)果仍吻合良好,證實(shí)了該方法的有效性與可行性。

        4 結(jié)論

        本文通過對格林函數(shù)及其外法向?qū)?shù)展開式的數(shù)值計(jì)算與研究,發(fā)現(xiàn)吸聲材料介質(zhì)對FMBEM展開式的計(jì)算精度有重要影響,由四點(diǎn)單級傳遞和多極傳遞關(guān)系的計(jì)算,揭示了誤差的大小與復(fù)波數(shù)的虛部值和展開點(diǎn)間距離的乘積有重要關(guān)系。通過與空氣介質(zhì)中展開式的計(jì)算比較發(fā)現(xiàn),復(fù)波數(shù)環(huán)境下展開式的計(jì)算對Nc值的選取十分敏感,取式(13)中α=0.8時(shí)的Nc值能保證較大范圍的求解精度,但當(dāng)ki·rLM大于13時(shí),展開式值開始與理論值相背離。

        鑒于此,對于FMBEM在吸聲材料聲場中的應(yīng)用,本文提出了兩種解決辦法:(1)當(dāng)ki·rLM大于13時(shí),將展開式中TLM(k)項(xiàng)的貢獻(xiàn)視為0。(2)利用子結(jié)構(gòu)FMBEM,將大尺寸結(jié)構(gòu)劃分為若干小結(jié)構(gòu)分別計(jì)算,即可有效的避免產(chǎn)生過大的ki·rLM值,保證展開式有較高的計(jì)算精度。最后,通過對某膨脹腔阻性消聲器的傳遞損失計(jì)算,證實(shí)了本文所述方法與技術(shù)的有效性與可行性。

        [1]Rokhlin V.Rapid solution of integral equations of classical potential theory[J].Journal of Computional Physics,1983,60:187-207.

        [2]Nishimura N.Fast multipole accelerated boundary integral equation methods[J].American Society of Mechanical Engineers,2002,55(4):299 -324.

        [3]王雪仁,季振林.快速多極子聲學(xué)邊界元法及其應(yīng)用研究[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào),2007,28(7):752-757.

        [4]Zhao J S,Chew W C.Three-dimensional multilevel fast multipole algorithm from static to electrodynamics[J].Microwave Opt.Technol.Lett.,2000,26:43 -48.

        [5]Liu Y J,Nishimur N,Otani Y,et al.A fast boundary element method for the analysis of fiber-reinforced composites based on a rigid-inclusion model[J].ASME Journal of Applied Mechanics,2005,72(1):115-128.

        [6]Liu Y J.A new fast multipole boundary element method for solving 2-D stokes flow problems based on a dual BIE formulation[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements,2008,32(2):139 -151.

        [7]Fukui T,Kozuka M.Analysis of sound reflection and diffraction in half space by fast multipole boundary element method[R].Proc of 17th Japan Natl Symp on Boundary Element Methods,2000.

        [8]Yasuda Y,Sakamoto S,Sakuma T.Application of the fast multipole boundary element method to sound field analysis using a domain decomposition approach[C].Proceedings of INTER-NOISE 2006(Honolulu),2006:624.

        [9]Pierce A D.Acoustics:an introduction to its physical principles and applications[M]. McGraw-Hill:New York,1981.

        [10]Sakuma T,Yasuda Y.Fast multipole boundary element method for large-scale steady-state sound field analysis.part I:setup and validation[J].Acta Acustica United with Acustica,2002,88:513-525.

        [11]Abramowitz M,Stegun I A.Handbook of mathematical functions[M].Dover:New York,1965.

        [12]Rokhlin V.Diagonal forms of translation operators for the Helmholtz equation in three dimensions[J].Applied and Computational Harmonic Analysis,1993,1(1):82 -93.

        [13]Koc S,Chew W C.Calculation of acoustical scattering from a cluster of scatterers[J].The Journal of Acoustical Society of America,1998,103:721 -734.

        [14]Yasuda Y,Sakuma T.Fast multipole boundary element method for large-scale steady-state sound field analysis.Part II:examination of numerical items[J].Acta Acustica United with Acustica,2003,89:28-38.

        [15]Standard test method for airflow resistance of acoustical materials[R].American Society for Testing and Materials ASTM C 522-87,1993,Philadelphia PA.

        [16]季振林.穿孔管阻性消聲器消聲性能計(jì)算及分析[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2005,18(4):453-457.

        国精品无码一区二区三区在线| 亚洲国产av一区二区不卡| 日本人妻免费在线播放| 亚欧色一区w666天堂| 精品国产成人亚洲午夜福利| 色窝综合网| 日本不卡视频一区二区| 亚洲精品色午夜无码专区日韩| 亚洲成a人片在线观看无码| 无码超乳爆乳中文字幕| 国产白浆一区二区三区佳柔| 亚洲国产精品日本无码网站 | www插插插无码视频网站| 人妻少妇偷人精品无码| 中文字幕一区二区va| 日本高清乱码中文字幕| 久久精品免费一区二区三区| 黄色网址国产| 骚货人妻视频中文字幕| 成午夜福利人试看120秒| 7777奇米四色成人眼影| 99精品国产闺蜜国产在线闺蜜| 熟女少妇精品一区二区三区| 亚洲国产精彩中文乱码av| 久久亚洲精品无码va大香大香| 色偷偷亚洲第一综合网| 国产无套一区二区三区久久| 97午夜理论片影院在线播放| 国产亚洲欧美成人久久片| 国产目拍亚洲精品二区| 国产亚洲欧美精品永久| 又色又爽又黄又硬的视频免费观看| 久久久久久久久久免免费精品| 人妻蜜桃日产一本久道综合在线| 国产免费a∨片在线软件| 国内免费AV网站在线观看| 丰满人妻无套内射视频| 亚洲gay片在线gv网站| 无码少妇一区二区三区| 久久亚洲精彩无码天堂| 亚洲综合中文字幕综合|