楊富春，周曉軍，鄭津洋

(1.浙江大學(xué) 化工機械研究所，杭州 310027;2.浙江大學(xué) 機械系，杭州 310027)

與其他行星齒輪傳動［1－3］相比，復(fù)式行星齒輪傳動傳動比更多、功重比更高，因此在對結(jié)構(gòu)緊湊性和傳動比要求高的場合，如車輛、航空、機械工業(yè)等領(lǐng)域尤其是車輛自動變速器領(lǐng)域，獲得了廣泛應(yīng)用［4－6］。目前車輛用復(fù)式行星齒輪傳動多為簡單的拉威娜式結(jié)構(gòu)，隨著車輛自動變速器從低檔位向高檔位的快速發(fā)展，更加復(fù)雜的復(fù)式行星傳動將獲得更多應(yīng)用。而在實際應(yīng)用中，行星傳動的振動和噪聲是影響系統(tǒng)可靠性、壽命及操作環(huán)境的關(guān)鍵因素，復(fù)式行星傳動系統(tǒng)的振動問題較普通行星傳動更為嚴(yán)重［5］。因此，建立復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)綜合的動力學(xué)模型，對其振動特性進行研究具有重要意義。

2001年Kahraman［5］首次建立了雙行星輪和三行星輪復(fù)式行星齒輪傳動的純扭轉(zhuǎn)振動模型，并分析了其自由振動特性。Dhouib等［6］在Kahraman的基礎(chǔ)上建立了雙行星輪復(fù)式行星傳動平移扭轉(zhuǎn)振動模型并對振動模態(tài)進行了分類。楊富春［7］建立了含雙行星輪的復(fù)式行星傳動系統(tǒng)多自由度動力學(xué)模型，并研究了其固有振動特性。Kiracofe等［8］建立了復(fù)合即多級行星齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，并對系統(tǒng)的振動模態(tài)進行分類和完整性研究。上述研究［5－7］僅針對某一特定結(jié)構(gòu)的復(fù)式行星傳動進行，未建立復(fù)式行星傳動綜合的動力學(xué)模型;Kiracofe等［8］建立的復(fù)合行星傳動模型中雖然含級聯(lián)、雙行星齒輪，但未考慮變換中心構(gòu)件時嚙合副的方向問題，無法適用于復(fù)式行星傳動系統(tǒng)的研究。此外，文獻［6－9］等對普通行星齒輪傳動和復(fù)式行星傳動固有振動特性的分類僅以中心構(gòu)件的振動特性進行，未考慮行星輪的振動特點。

本文建立了復(fù)式行星齒輪傳動綜合動力學(xué)模型，模型考慮了各構(gòu)件的平移和扭轉(zhuǎn)振動及靜態(tài)傳遞誤差。系統(tǒng)分析了復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)的固有振動特性，研究了其固有頻率分布特點，根據(jù)中心構(gòu)件及行星輪的振動特點對振型進行了分類。

1 動力學(xué)模型

復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)多樣，根據(jù)行星輪特點可分為寬行星輪式(圖1(a))、級聯(lián)式(圖1(b))及其組合形式(圖1(c))。圖1中的結(jié)構(gòu)僅為典型結(jié)構(gòu)，其他結(jié)構(gòu)形式可在此基礎(chǔ)上擴展。復(fù)式行星齒輪傳動各種結(jié)構(gòu)均包含一個行星架、多個中心輪和多個行星輪，其中將結(jié)構(gòu)參數(shù)完全相同的一組行星輪稱為行星組。以c、gm、pijn表示行星架、中心輪和行星輪，下標(biāo)m=1，2，…，Ng，i=1，2，…，Nps，j=1，2，…，Np，n=1，2，…，Npt，Ng、Nps、Np、Npt分別表示中心輪數(shù)目、行星組數(shù)目、每一行星組中行星輪數(shù)目及一個級聯(lián)行星輪中嚙合副數(shù)目;其中下標(biāo)j和n可根據(jù)情況予以省略。

圖1 復(fù)式行星齒輪傳動結(jié)構(gòu)圖(為表達簡單，僅給出了稱軸以上部分)Fig.1 Structure of complex compound planetary gear set(only parts above axis are illustrated here)

系統(tǒng)中齒輪均為直齒輪，模型中考慮了各構(gòu)件的兩個平移和扭轉(zhuǎn)振動，共3(1+Ng+NpsNp)個自由度。由于系統(tǒng)只有一個行星架，因此系統(tǒng)坐標(biāo)系選擇為隨行星架旋轉(zhuǎn)的動坐標(biāo)系，行星架和中心輪的x軸正方向由行星架理論中心指向任一選定行星輪理論中心，y軸方向由右手法則確定，行星輪平移自由度以η、ζ表示，正方向分別為行星架的逆時針切向和徑向。行星架、中心輪和行星輪的扭轉(zhuǎn)自由度θ均以順時針為正方向。

將旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)θ轉(zhuǎn)換為平移坐標(biāo)u=rθ，r為各個構(gòu)架的半徑，其中rc為行星架中心到各行星輪中心距離中最短距離，其他行星輪中心到行星架中心的距離與rc的比值設(shè)為δR，pij。m表示各構(gòu)件質(zhì)量，M表示各構(gòu)件轉(zhuǎn)動慣量的等效質(zhì)量M=I/r2，I為各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量，r為半徑，其中行星架的轉(zhuǎn)動慣量僅指行星架本身的轉(zhuǎn)動慣量 Ic，行星架的半徑為 rc。kcb，x，kcb，y表示行星架與基礎(chǔ)間的支撐剛度;kgmb，x，kgmb，y表示中心輪與基礎(chǔ)間的支撐剛度;kcgm，x，kcgm，y表示行星架與中心輪間的支撐剛度;kcpij，x，kcpij，y表示行星架行星輪間的支撐剛度;kgmgl，x，kgmgl，y表示中心輪 gm和 gl間的支撐剛度;kcb，u，kgmb，u表示行星架和中心輪與基礎(chǔ)間的扭轉(zhuǎn)剛度的等效線性剛度;kgmpijn，kpijnpi'jn表示中心輪和行星輪及行星輪與行星輪間的嚙合剛度;以e表示各個嚙合副的靜態(tài)傳遞誤差，下標(biāo)與嚙合剛度下標(biāo)含義相同。ψpij表示行星輪中心與行星架中心連線和x軸正向沿逆時針方向間的夾角;βpij表示行星輪ζ正方向與相嚙合的兩行星輪中心連線間的夾角，部分符號如圖2所示。Tc和Tgm表示行星架和中心輪所受的外加扭矩。模型中行星架和任一中心輪均可設(shè)定為輸入、輸出和固定構(gòu)件。嚙合剛度按照石川法計算，并將其展成傅里葉級數(shù)的形式;同理，將靜態(tài)傳遞誤差展成傅里葉級數(shù)的形式，兩者的具體形式可參照文獻［7］。

圖2給出了中心輪(以太陽輪為例)－行星輪嚙合副及行星輪－行星輪嚙合副的動力學(xué)模型，根據(jù)牛頓第二定律得中心輪的動力學(xué)方程為:

圖2 太陽輪－行星輪及行星輪－行星輪嚙合副模型Fig.2 Model of sun-planet and planet-planet meshes

同理可得行星架和行星輪的動力學(xué)方程為:

式中，αgmpijn，αpijnpi'jn分別表示中心輪與行星輪以及行星輪與行星輪間嚙合副的壓力角;δu，gmPijn表示級聯(lián)式結(jié)構(gòu)中與中心輪gm嚙合的行星輪pi與行星輪p1的半徑比;δu，pi'jnpijn表示級聯(lián)式結(jié)構(gòu)中與行星輪pi'嚙合的行星輪pi與行星輪p1的半徑比;

其中，以中心輪、行星輪在嚙合線上壓縮等效彈簧時的位移為正。

將上式整理可得復(fù)式行星傳動系統(tǒng)的綜合動力學(xué)方程為:

式中，M、Kb、Km、q、F 分別表示系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、支撐剛度矩陣、嚙合剛度矩陣、系統(tǒng)的位移向量、激勵力向量。該模型適用于寬行星輪式、級聯(lián)式及其組合形式的直齒復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)。

2 固有特性分析

由式(1)可得到復(fù)式行星排的無阻尼自由振動方程為:

與之對應(yīng)的特征值問題為

式中，K=Kb+Km，ωk、φk分別為系統(tǒng)的第 k階固有圓頻率和振型，k=1，2，…，N。

表1 圖1(c)中復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 Parameters of example system

以圖1(c)中組合式復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)為例研究復(fù)式行星齒輪傳動的固有特性，各參數(shù)如表1所示，其中 Ng=7，Nps=3。

由于圖1(c)以不同中心輪和行星架為輸入、輸出及固定構(gòu)件共可獲得種功率流，數(shù)量較多，因此本文僅以行星架為輸出構(gòu)件，中心輪依次為輸入構(gòu)件，后續(xù)中心輪依次為固定構(gòu)件，共21種功率流為例對其固有特性進行分析，該結(jié)構(gòu)包含了級聯(lián)行星輪及多行星輪結(jié)構(gòu)形式，具有顯著代表性。Np即行星輪個數(shù)分別為3，4，5時復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)的特征值，如圖3所示。

圖3 Np=3，4，5時系統(tǒng)固有頻率Fig.3 Nature frequencies of system(Np=3，4，5)

由圖3可以看出，由于具有多種傳動結(jié)構(gòu)，復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)的固有頻率呈現(xiàn)帶狀分布，即同一階固有頻率由于功率流的的改變而不同，其中一階固有頻率為0表示系統(tǒng)的剛體運動。圖4為g1輸入、g2固定，Np=3，4，5時系統(tǒng)的固有頻率及同階固有頻率變化率圖，由圖可以看出，行星輪數(shù)目的增加引起了系統(tǒng)固有頻率的變化，其中低價固有頻率變化較小，高階固有頻率變化較大。圖5為Np=3，21種功率流情況下系統(tǒng)的各階固有頻率，由圖可以看出同樣行星輪數(shù)目情況下，系統(tǒng)功率流的變化將大大改變系統(tǒng)各階固有頻率的范圍。以某一階固有頻率中的最大值與最小值的差值與最小值的比值表示固有頻率的變化率，從圖5右圖中可以看出，各階固有頻率的變化率大多大于50%，說明與普通行星齒輪傳動相比，復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)設(shè)計時要避開共振區(qū)域更加困難，因此需綜合考慮各種功率流，合理設(shè)計系統(tǒng)參數(shù)。

圖 4 系統(tǒng)固有頻率(Np=3，4，5，g1輸入，g2固定)Fig.4 Nature frequencies of system(Np=3，4，5，g1 was input，g2 was fixed)

圖5 系統(tǒng)固有頻率(Np=3)Fig.5 Nature frequencies of system(Np=3)

根據(jù)系統(tǒng)特征值的重根數(shù)、中心構(gòu)件的振型特點將復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)的振型分為三類:中心構(gòu)件平移振動模式、中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動模式和行星輪振動模式;其中特征值為重根的情況對應(yīng)中心構(gòu)件平移振動模式或行星輪振動模式，特征值為單根的情況對應(yīng)中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動模式或行星輪振動模式。以g1為輸入，g7固定為例，三種振動模式振型如圖6所示(圖中橫坐標(biāo)自由度從左到右順序為行星架、中心輪、行星輪;Np=3中對應(yīng)的固有頻率分別為3階661 Hz和2階609 Hz;Np=4中對應(yīng)的固有頻率分別為2階628 Hz、4階643 Hz和8階1439 Hz;Np=5中對應(yīng)的固有頻率分別為2階601 Hz、4階662 Hz和8階1438 Hz)。

圖6 復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)振型Fig.6 Modals of complex compound planetary gear set

上述分類未考慮行星輪的振動特點，從分類完整性角度考慮，需對系統(tǒng)各個構(gòu)件的振型進行分析，以得到所有構(gòu)件的振動規(guī)律。由圖3和圖6分析可知，中心構(gòu)件平移振動模式下，對應(yīng)的系統(tǒng)固有頻率為重根，中心構(gòu)件無扭轉(zhuǎn)振動，只存在兩個平移振動，而各行星輪振型振幅均較大，說明該振動模式下行星輪振動劇烈，但各個行星輪間的振型無明顯規(guī)律，表現(xiàn)為隨機振動特點;中心輪扭轉(zhuǎn)振動模式下，中心構(gòu)件無平移振動，僅有扭轉(zhuǎn)振動，這種模式下各個行星輪的振動呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性，即同行星輪組中所有行星輪各自由度的振動方向和振動幅值相同，如圖6所示;行星輪振動模式在行星輪個數(shù)大于3個情況下存在，該模式下中心構(gòu)件不存在振動，行星輪個數(shù)為4時行星輪振動存在明顯的規(guī)律性，即同組行星輪中相對的行星輪振動方向和振幅相同，相鄰的行星輪振動方向相反，振幅相同如圖6所示;行星輪個數(shù)為5時，相鄰兩行星輪振動方向相反，振幅不同，由于行星輪個數(shù)為奇數(shù)，故有兩個相鄰行星輪振動方向相同，可將其視為與4個行星輪時規(guī)律一致。

因此，在綜合中心構(gòu)件和行星輪振動特點的基礎(chǔ)上重新將復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)振型分為三類，即中心構(gòu)件平移－行星輪隨機振動模式、中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)－行星輪相同振動模式、中心輪靜止－相鄰行星輪反向振動模式。

3 結(jié)論

本文建立了包含級聯(lián)式、寬行星輪式及其組合式的復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)綜合動力學(xué)模型，模型考慮了平移、扭轉(zhuǎn)振動及靜態(tài)傳遞誤差。系統(tǒng)分析了系統(tǒng)的固有頻率，指出復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)固有頻率呈現(xiàn)帶狀分布，與普通行星齒輪傳動系統(tǒng)相比避開共振區(qū)域更加困難，需根據(jù)具體結(jié)構(gòu)合理設(shè)計系統(tǒng)參數(shù);深入研究了中心構(gòu)件和行星輪的振型特點，將系統(tǒng)振型分為三類:中心構(gòu)件平移－行星輪隨機振動模式、中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)－行星輪相同振動模式、中心輪靜止－相鄰行星輪反向振動模式。本文建立的綜合動力學(xué)模型及固有特性的研究為復(fù)式行星齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)靈敏度、動態(tài)響應(yīng)、減振降噪等的研究提供理論基礎(chǔ)和依據(jù)。

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