林騰蛟，李應(yīng)超，楊妍妮

(重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030)

準雙曲面齒輪傳動承載能力高、傳動比大、運轉(zhuǎn)平穩(wěn)，已在航空工業(yè)、汽車工業(yè)及礦山機械中廣泛應(yīng)用，并逐漸向高速、重載和輕量化方向發(fā)展。高速重載齒輪傳動常常會產(chǎn)生較大的振動噪聲和動載荷，直接影響齒輪系統(tǒng)的可靠性和動態(tài)性能。因此，以齒輪系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)(如位移、速度、加速度、應(yīng)力等)為目標或約束的動力優(yōu)化設(shè)計逐漸引起人們的關(guān)注。

目前，對于錐齒輪系統(tǒng)振動分析，國內(nèi)外學(xué)者多采用集中參數(shù)法建立齒輪系統(tǒng)動力分析模型，分析其固有特性和動態(tài)響應(yīng)［1－4］，在此基礎(chǔ)上進一步研究了分岔與混沌等非線性動態(tài)特性［5－6］。隨著數(shù)值仿真技術(shù)的發(fā)展，有限元法在錐齒輪的齒面接觸分析中得到廣泛應(yīng)用，通過建立齒輪副動力接觸有限元分析模型［7－8］，模擬齒輪動態(tài)激勵，進而研究齒輪系統(tǒng)的振動特性［9］。齒輪系統(tǒng)動力優(yōu)化可分為模態(tài)參數(shù)優(yōu)化和動力響應(yīng)優(yōu)化兩方面，迄今關(guān)于傳動系統(tǒng)動力優(yōu)化的工作大部分都集中于具有頻率約束的結(jié)構(gòu)質(zhì)量極小化或者避免共振問題上［10－11］，以結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)(動應(yīng)力、動位移等)為約束的動力優(yōu)化設(shè)計工作也有所開展［12］，但相關(guān)研究較少。

本文以準雙曲面齒輪箱為研究對象，綜合考慮輪齒嚙合變形、軸的彎曲變形及軸承支撐剛度，建立包括齒輪、軸、軸承的準雙曲面齒輪傳動非線性動力接觸有限元分析模型，利用ANSYS/LS－DYNA仿真計算軸承動態(tài)支反力;將軸承動態(tài)支反力作為箱體的輸入載荷，對準雙曲面齒輪箱進行瞬態(tài)動力分析;以加速度響應(yīng)均方根值最小為優(yōu)化目標，箱體結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計變量，以靜態(tài)應(yīng)力、位移及箱體體積為約束條件，建立準雙曲面齒輪箱動態(tài)響應(yīng)優(yōu)化模型，借助ANSYS求解動態(tài)響應(yīng)優(yōu)化模型，得到箱體最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。

1 齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)支反力模擬

1.1 LS-DYNA顯式動力學(xué)算法

根據(jù)最小勢能原理，運動微分方程的弱形式為［13］:

式中:ρ為質(zhì)量密度;ui為節(jié)點位移張量;fi為體力張量;δui為虛位移張量;σij為節(jié)點應(yīng)力張量;δεij為節(jié)點虛應(yīng)變張量;Sσ為外力邊界;為面力張量。

將整個結(jié)構(gòu)劃分為一系列離散單元，用各單元的勢能變分之和來近似的總勢能，為:

式中:ue為位移向量;N為形函數(shù);B為應(yīng)變矩陣;σ為應(yīng)力向量;f為體力向量;為面力向量;Ve為單元體積。

改寫上式可得離散化運動方程為:

其中:M為總體質(zhì)量矩陣:

F為應(yīng)力散度向量:

P為總體節(jié)點外載荷向量:

LS－DYNA采用沙漏粘性阻力來解決沙漏問題。將各節(jié)點的沙漏粘性阻尼力集成可得結(jié)構(gòu)沙漏粘性阻尼力向量H，同時考慮阻尼影響(阻尼矩陣C)，并引入接觸力R，則動力接觸問題離散化運動方程為:

方程(7)采用顯式中心差分法求解，其基本格式為:

1.2 準雙曲面齒輪傳動動力接觸有限元模型

準雙曲面齒輪副的幾何參數(shù)如表1所示，材料彈性模量 E=2.06 ×1011N/m2，泊松比 v=0.3，材料密度ρ=7.8×103kg/m3。在UG中建立齒輪箱各傳動部件的實體模型和虛擬裝配模型，而后導(dǎo)入ANSYS/LS-DYNA中，并將大齒輪和輪轂間的螺栓聯(lián)接以及輪轂與軸過盈配合視為剛性聯(lián)接，忽略鍵槽、倒角和退刀槽的影響。

表1 準雙曲面齒輪副幾何參數(shù)Tab.1 Geometric parameters of hypoid gears

建立準雙曲面齒輪傳動系統(tǒng)動力接觸有限元模型時，采用SOLID164單元將齒輪、軸、軸承劃分為六面體實體單元，并將單元屬性設(shè)置為全積分單元算法，進行沙漏控制。由于SOLID164單元不具有旋轉(zhuǎn)自由度，將輸入軸和輸出軸與法蘭聯(lián)接的軸段表面定義為剛性殼體單元SHELL163，以便施加轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩進行動力分析。準雙曲面齒輪傳動系統(tǒng)的有限元網(wǎng)格如圖1所示，共計節(jié)點數(shù)為114424，單元數(shù)為74205。圖中軸承滾柱支撐剛度用截面梁來模擬，軸承外圈表面施加固定位移約束。大、小齒輪之間以及軸與軸承之間共建立5組接觸對，接觸類型為自動面面接觸。輸入齒輪軸軸頸處施加轉(zhuǎn)速3000 r/min，輸出軸軸頸處施加負載轉(zhuǎn)矩1114 N·m。

圖1 準雙曲面齒輪傳動系統(tǒng)有限元網(wǎng)格Fig.1 Finite element mesh of hypoid gear transmission system

計算模型中同時考慮了齒輪時變嚙合剛度、輪齒變形、軸承變形及軸的彎曲變形等的影響，能較為真實地模擬齒輪傳動系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)過程。

1.3 軸承動態(tài)支反力數(shù)值模擬

采用顯式動力學(xué)算法對準雙曲面齒輪傳動系統(tǒng)進行動力接觸分析，得出齒輪傳動過程中四個軸承處的動態(tài)支反力，圖2為輸入軸靠近主動輪端軸承的動態(tài)支反力曲線。由圖可知，由于5 ms之前處于加載階段，軸承支反力不穩(wěn)定，5 ms之后軸承支反力呈現(xiàn)出一定的周期性，大周期為20 ms，小周期為2.85 ms，這與主動軸的轉(zhuǎn)頻50 Hz、齒輪嚙合頻率350 Hz相吻合。圖3給出了輸出軸靠近輸出端軸承的動態(tài)支反力曲線。

圖2 輸入軸軸承動態(tài)支反力Fig.2 Dynamic support reaction of bearing at input shaft

圖3 輸出軸軸承動態(tài)支反力Fig.3 Dynamic support reaction of bearing at output shaft

2 齒輪箱動態(tài)響應(yīng)仿真與試驗

2.1 齒輪箱動態(tài)響應(yīng)數(shù)值仿真

在ANSYS中利用APDL語言建立準雙曲面齒輪箱箱體的參數(shù)化模型，采用四面體單元進行網(wǎng)格自動劃分。圖4為準雙曲面齒輪箱箱體的有限元網(wǎng)格，共計21629個節(jié)點，91300個單元。圖中給出了部分計算點的位置，標線下方為箱體對面相應(yīng)節(jié)點位置。

圖4 準雙曲面齒輪箱箱體的有限元網(wǎng)格Fig.4 Finite element mesh of hypoid gearbox housing

將各軸承動態(tài)支反力作為輸入載荷施加在箱體軸承孔上，利用ANSYS的瞬態(tài)動力分析模塊，采用完全法對箱體進行動力響應(yīng)分析。時間步長為Δt=0.2 ms，求解總時間為100 ms。表2給出了箱體測點處各節(jié)點的加速度均方根值，圖5給出了箱體外表面節(jié)點10053的振動加速度響應(yīng)曲線。

表2 各節(jié)點的加速度均方根值Tab.2 The acceleration root－mean square values of nodes

2.2 齒輪箱動態(tài)響應(yīng)測試

圖6為準雙曲面齒輪箱動態(tài)性能試驗臺，測點布置見圖4。試驗裝置包括直流調(diào)速電動機、待測齒輪箱、轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速傳感器與磁粉制動器，通過改變輸入轉(zhuǎn)速和負載，可獲得不同轉(zhuǎn)速和負載工況下齒輪箱各測點的法向振動加速度響應(yīng)。

對比ANSYS計算所得的齒輪箱振動加速度與各測點的加速度實測結(jié)果，兩者在幅值大小上基本一致，表明了齒輪箱動力有限元計算模型的準確性。圖7給出了軸承座附近測點1的X、Y和Z向振動加速度響應(yīng)曲線。

圖5 節(jié)點10053的振動加速度曲線Fig.5 Vibration acceleration curve of node 10053

圖6 準雙曲面齒輪箱動態(tài)性能試驗臺Fig.6 Dynamic performance test bench of hypoid gearbox

3 齒輪箱動態(tài)響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計

3.1 ANSYS優(yōu)化設(shè)計方法

最優(yōu)化問題在數(shù)學(xué)上可表達如下:

式中:f(x)為目標函數(shù);x=(x1，x2，…，xn)T為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的設(shè)計變量，n為設(shè)計變量個數(shù);gi、hi、wi為優(yōu)化過程中的狀態(tài)變量，帶上標U的是狀態(tài)變量上限，帶上標L的是狀態(tài)變量下限;m1，m2，m3分別為狀態(tài)變量個數(shù)。

對于此優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型的求解，工程上有多種計算方法。ANSYS零階方法首先用近似方程式將目標函數(shù)和狀態(tài)變量表示為:

圖7 測點1的振動加速度響應(yīng)曲線Fig.7 Vibration acceleration curve of test point 1

式中:e為近似函數(shù)誤差項。

上述復(fù)雜近似表達式可由帶交叉項的二次多項式表示，此時不等式約束轉(zhuǎn)換成等式約束形式。以目標函數(shù)為例:

式中:系數(shù)ai和bij由加權(quán)最小二乘法確定。

然后，用罰函數(shù)法將約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成非約束最優(yōu)化問題。即:

式中:X為設(shè)計變量約束的罰函數(shù);G、H、W為狀態(tài)變量約束的罰函數(shù)，pk為響應(yīng)面參數(shù)。引入目標函數(shù)參考值f0確保單位的相容性。

用序列無約束最小化技術(shù)(SUMT)求解方程(14)。求解過程中，響應(yīng)面參數(shù)不斷增加(p1＜p2＜p3＜…)以獲得精確、收斂的優(yōu)化結(jié)果。優(yōu)化迭代過程直到滿足收斂條件或達到指定優(yōu)化次數(shù)后完成。

3.2 設(shè)計變量

齒輪箱動態(tài)響應(yīng)優(yōu)化一般是通過對動載荷作用下箱體結(jié)構(gòu)參數(shù)的尋優(yōu)，達到降低齒輪箱振動噪聲的目的。由于選用太多設(shè)計變量會使得收斂于局部最小值的可能性增加，故僅以式(15)中的15個箱體結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計變量，各參數(shù)的含義及初始值設(shè)定參見表3。

3.3 目標函數(shù)

一般情況下，齒輪系統(tǒng)動載荷與振動加速度均方根值之間有較大一致性，因此可將箱體各節(jié)點振動加速度最小作為目標函數(shù)以衡量齒輪傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了簡化目標函數(shù)，選取振動加速度大，且對齒輪系統(tǒng)傳動穩(wěn)定性和動態(tài)性能影響較大的節(jié)點作為優(yōu)化對象。本文選取箱體外表面的節(jié)點10053、2535、6721、4676和3004，以其振動加速度均方根值的大小來近似衡量整個齒輪箱振動狀況，將動態(tài)響應(yīng)優(yōu)化目標函數(shù)定義為:

式中，ami為各節(jié)點的振動加速度均方根值，n為節(jié)點個數(shù)。

3.4 約束條件

齒輪箱動態(tài)響應(yīng)優(yōu)化時，同時應(yīng)滿足靜態(tài)設(shè)計要求的約束條件，即靜態(tài)應(yīng)力和位移，如式(17)～式(18);還應(yīng)盡量減小箱體的體積或重量，如式(19)。

式中:σmax、umax、Vsum分別為設(shè)計空間內(nèi)取任意一組設(shè)計參數(shù)時，計算所得最大等效應(yīng)力、最大綜合位移和箱體體積;σs為箱體材料屈服極限;u0為箱體允許的最大靜態(tài)綜合位移;V0為初始設(shè)計時箱體的體積。

3.5 箱體動態(tài)響應(yīng)優(yōu)化結(jié)果

用零階方法求解優(yōu)化模型，優(yōu)化迭代在24步時收斂，得到箱體最優(yōu)設(shè)計參數(shù)，如表3所示。圖8為目標函數(shù)隨迭代步數(shù)的變化曲線，圖9為優(yōu)化后節(jié)點10053的加速度響應(yīng)曲線。表4給出了優(yōu)化后各節(jié)點的振動加速度均方根值，表5為優(yōu)化前后箱體的性能指標，在保證滿足靜強度要求的前提下，體積略有減小，振動加速度均方根值由原來的2.21 m/s2減小到1.56 m/s2，減小了29.4%，優(yōu)化效果比較明顯。

表3 箱體優(yōu)化設(shè)計變量Tab.3 Optimum design variables of housing

圖8 目標函數(shù)變化曲線Fig.8 Variation curve of object function

圖9 優(yōu)化后節(jié)點10053加速度響應(yīng)曲線Fig.9 Acceleration responses of node 10053 after optimization

表4 優(yōu)化后各節(jié)點的加速度均方根Tab.4 The acceleration root-mean square value of nodes after optimization

表5 優(yōu)化前后箱體性能指標對比Tab.5 Performance comparison of housing before and after optimization

4 結(jié)論

(1)通過準雙曲面齒輪傳動動力接觸有限元分析得出軸承動態(tài)支反力，其周期性與傳動軸的轉(zhuǎn)頻及齒輪的嚙合頻率相吻合。

(2)對準雙曲面齒輪箱進行動態(tài)響應(yīng)有限元分析，得到箱體各節(jié)點的振動加速度，與實測值相比，兩者在幅值大小上基本一致。

(3)以加速度均方根值最小為目標，對箱體進行動力優(yōu)化，得到箱體最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。在保證滿足靜強度要求的前提下，優(yōu)化后箱體體積略有減小，振動加速度均方根值減小了29.4%，優(yōu)化效果較為明顯。

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