張偉政，俞樹榮，丁雪興，，韓明君，杜兆年

(1.蘭州理工大學(xué) 石油化工學(xué)院，蘭州 730050;2.蘭州理工大學(xué) 溫州泵閥工程研究院，溫州 325105;3.蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州 730050)

干氣密封動(dòng)靜環(huán)間氣膜平衡間隙僅為3 μm～5 μm，顯然間隙微小變化極有可能導(dǎo)致動(dòng)靜密封環(huán)間的干摩擦或泄漏量增大，因而保證氣膜－密封環(huán)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性是干氣密封可靠運(yùn)行的關(guān)鍵［1］。Zhang、Miller和landers［2］建立了三自由度(1個(gè)軸向，2個(gè)角向)的微擾運(yùn)動(dòng)方程，并用正交分解法求得了密封環(huán)三維運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在進(jìn)行干氣密封振動(dòng)響應(yīng)分析時(shí)，可將1個(gè)軸向，2個(gè)角向的三自由度的微擾運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為兩個(gè)互相獨(dú)立的微擾運(yùn)動(dòng)，一個(gè)只作軸向的微擾移動(dòng)，另一個(gè)只沿兩個(gè)正交軸作角向微擾擺動(dòng)［3］。Miller、李雙喜、杜兆年等［4－6］分別用步進(jìn)法、有限元法、近似解析法求解了軸向微擾下氣膜動(dòng)態(tài)特性參數(shù)，分析了其軸向穩(wěn)定性。丁雪興［7］利用近似解析法求得了角向渦動(dòng)氣膜剛度的解析式，Etsion［8，9］通過(guò)試驗(yàn)和理論計(jì)算獲得了在角向微擾下擺動(dòng)自振頻率約等于動(dòng)環(huán)角速度之半;劉雨川、徐萬(wàn)孚［10，11］按照小擾動(dòng)線性化的分布參數(shù)法，聯(lián)立氣膜微擾雷諾方程和浮環(huán)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)角向擺動(dòng)自振穩(wěn)定性界限進(jìn)行了數(shù)值分析。但以上均未揭示干氣密封系統(tǒng)角向擺動(dòng)失穩(wěn)的內(nèi)在因素，即密封系統(tǒng)穩(wěn)定性與螺旋槽幾何參數(shù)的關(guān)系。本文建立了角向擺動(dòng)慣量的穩(wěn)定性條件，通過(guò)龍格－庫(kù)塔法求得了臨界轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與槽深比、螺旋角的三維關(guān)系曲面圖，進(jìn)而分析了系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的槽深比、螺旋角范圍;并應(yīng)用微擾法和龍格－庫(kù)塔法求解了角向擺動(dòng)的二維振動(dòng)方程，研究了最佳穩(wěn)定點(diǎn)和失穩(wěn)臨界點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)了具有非線性動(dòng)力學(xué)特征的混沌現(xiàn)象，為動(dòng)態(tài)優(yōu)化提供了理論基礎(chǔ)。

1 密封系統(tǒng)角向擺動(dòng)的穩(wěn)定性條件

干氣密封結(jié)構(gòu)主要由加載彈簧(波紋管)、O形圈、靜環(huán)以及動(dòng)環(huán)組成(圖1)。當(dāng)壓力達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，具有撓性支承的靜環(huán)將從動(dòng)環(huán)表面被推開，這樣密封面之間保持一層極薄的氣膜(厚度3 μm～5 μm)。

端面流體氣膜密封不轉(zhuǎn)浮環(huán)(靜環(huán))端面處，在單向任意干擾下繞其兩正交軸(x，y)，作角向擺動(dòng)α*，β*見圖2，其擺動(dòng)慣量為Jx=Jy=J。

圖1 干氣密封系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析圖Fig.1 Structure analysis fig of the dry gas seal system

圖2 靜環(huán)角向擺動(dòng)力學(xué)模型圖Fig.2 Mechanic model of the static ring with angular wobbly

角向擺動(dòng)穩(wěn)定性條件［10］:靜環(huán)擺動(dòng)慣量J應(yīng)不大于氣膜－密封環(huán)系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jcr，

即:

式中:靜環(huán)擺動(dòng)慣量:

1.1 臨界轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jcr的計(jì)算

氣膜－密封環(huán)系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jcr表達(dá)式為:

由文［7］得:

則:

1.2 角向擺動(dòng)剛度K*的計(jì)算

應(yīng)用PH線性化方法及變分運(yùn)算干氣密封螺旋槽內(nèi)瞬態(tài)微尺度流動(dòng)場(chǎng)的非線性雷諾方程，得到了氣膜角向渦動(dòng)剛度的解析式。繼而利用復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換和迭代法對(duì)穩(wěn)態(tài)下氣膜邊值問(wèn)題進(jìn)行求解，求得了氣膜渦動(dòng)剛度的近似解析解［7］。

無(wú)量綱氣膜角向剛度:

式中:

式中各符號(hào)的含義:

A，A1，A2，B，B1，B2，C10，C11，C20，C21:積分常數(shù);E:槽深之半，m;n:螺旋槽數(shù);P0:內(nèi)外介質(zhì)壓力之比;α:螺旋角，rad;βo:槽斜度系數(shù);δ:兩密封環(huán)間隙，m;ε:迭代攝動(dòng)小參數(shù);η:槽深度變化的相對(duì)幅度;η1、η2:實(shí)部、虛部無(wú)量綱氣膜壓力表達(dá)式;ζ:無(wú)量綱極徑;ζ0:無(wú)量綱外徑;φ:無(wú)量綱極角;ω:當(dāng)量螺旋角，弧度;ω0:φ=0時(shí)的當(dāng)量螺旋角。

氣膜角向擺動(dòng)剛度:

2 角向擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)靜環(huán)2個(gè)自由度角向擾動(dòng)，有如下量綱的運(yùn)動(dòng)方程:

式中:Jx，Jy——靜環(huán)繞 x 、y軸的擺動(dòng)慣量(因?qū)ΨQ有Jx=Jy=J)

k*，d*——密封氣膜在相應(yīng)角向的恢復(fù)力矩剛度，恢復(fù)力矩阻尼

α*，β*分別為靜環(huán)繞x、y軸擺動(dòng)角度。

3 角向擺動(dòng)的數(shù)值仿真

選取文獻(xiàn)［12］中實(shí)驗(yàn)參數(shù):實(shí)驗(yàn)氣體為空氣，內(nèi)徑Ri=58.42 mm，外徑 R0=77.78 mm，介質(zhì)壓力 p0=4.5852 MPa，環(huán)境壓力 pi=0.1013 MPa，螺旋槽數(shù) n=10，螺旋角 α =75°，轉(zhuǎn)速 nr=10380 r/min，粘度 μ =1.8 ×10－5Pa·s，槽深 2E=5 μm，密封間隙(氣膜厚度)δ=3.05 μm。

3.1 穩(wěn)定區(qū)域的確定

螺旋槽形幾何參數(shù)包括螺旋角、槽深比、槽數(shù)、槽臺(tái)寬比、和槽長(zhǎng)壩長(zhǎng)比。這些參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響是不同的，我們?cè)诟蓺饷芊饴菪蹪?rùn)滑氣膜的穩(wěn)定性分析［6，7］中發(fā)現(xiàn)螺旋角、槽深比對(duì)穩(wěn)定性的影響較敏感，其中以螺旋角的影響最為顯著。因此本文由角向擺動(dòng)穩(wěn)定性條件J≤Jcr，尋求螺旋角、槽深比的穩(wěn)定區(qū)域。通過(guò)龍格－庫(kù)塔法對(duì)式(4)～式(6)進(jìn)行近似計(jì)算，獲得了氣膜－密封環(huán)系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jcr與槽深比η、螺旋角α的三維關(guān)系曲面圖3。從圖3中變化曲面可知α對(duì)Jcr的影響較敏感，α的微小變化可引起Jcr的較大變化。在靜態(tài)優(yōu)化出的螺旋角范圍(60°～80°)內(nèi)，存在著非連續(xù)的穩(wěn)定區(qū)域。

為了更清楚地顯示實(shí)驗(yàn)條件下的穩(wěn)定區(qū)域，采用了二維坐標(biāo)圖Jcr－α和Jcr－η來(lái)表示，η=0.45時(shí)，在螺旋角α=75°鄰域內(nèi)的Jcr與α的關(guān)系圖4;α=75°，在 η=0.3～0.7范圍內(nèi)的 Jcr與 η關(guān)系圖5。

圖3 氣膜剛度與α，η關(guān)系圖Fig.3 Relationship of Jcr，α and η

圖4 Jcr與α的關(guān)系圖(η=0.45)Fig.4 Relationship of Jcr，and α(η = 0.45)

圖5 Jcr與η的關(guān)系圖(α=75°)Fig.5 Relationship of Jcrand η(α = 75°)

利用靜環(huán)擺動(dòng)慣量計(jì)算式(2)求得J=2.637×10－5kg·m2，由角向擺動(dòng)穩(wěn)定性條件 J≤Jcr，從圖4中可得出:在螺旋角α=75°左右鄰域內(nèi)存在2個(gè)失穩(wěn)臨界點(diǎn)，其螺旋角分別為 αcr1=1.3003 rad=74°32'22″和αcr2=1.3137 rad=75°16'09″，介于兩者之間的區(qū)域?yàn)榉€(wěn)定區(qū)域;從圖5中可得出:在螺旋角α=75°時(shí)，由于Jcr大于J，不論η如何變化，均不會(huì)發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。

3.2 最佳穩(wěn)定點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)

從圖4中知Jcr最大值處為最佳穩(wěn)定點(diǎn)，該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的螺旋角為 αopt=1.30719181 rad=74°53'48″。利用龍格－庫(kù)塔法求解角向擺動(dòng)的二維振動(dòng)方程(7)，獲得了靜環(huán)繞x軸擺動(dòng)角度α*的時(shí)間歷程圖6，從圖知擺動(dòng)角度的振幅為5.5×10－6rad，其擺動(dòng)最大位移為0.4 μm，很顯然其值遠(yuǎn)小于密封間隙(氣膜厚度)δ=3.05 μm，證明是穩(wěn)定的。

3.3 臨界點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)

失穩(wěn)臨界點(diǎn)螺旋角 αcr1=1.3003 rad=74°32'22″弧度的振動(dòng)分析:利用龍格－庫(kù)塔法求解角向擺動(dòng)的二維振動(dòng)方程(7)，在擺角α*的相軌圖中出現(xiàn)了振動(dòng)混沌現(xiàn)象如圖7，相軌圖中存在混沌吸引子，擺動(dòng)角度的振幅為 1.0 ×10－4rad，其擺動(dòng)最大位移為 7.78 μm，很顯然其值遠(yuǎn)大于密封間隙(氣膜厚度)δ=3.05 μm，證明是失穩(wěn)的。將導(dǎo)致密封動(dòng)靜環(huán)相互碰撞，這是由于氣膜－密封環(huán)系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jcr等于靜環(huán)擺動(dòng)慣量J時(shí)系統(tǒng)發(fā)生共振所致。

圖6 螺旋角αopt=1.30719181 rad最佳穩(wěn)定點(diǎn)的時(shí)間歷程圖(α*－t)Fig.6 Time history plot of best stability point for spiral angle αopt=1.30719181 rad(α*－t)

圖7 螺旋角αcr1=1.3003 rad失穩(wěn)點(diǎn)的α*相軌圖、Pocare映射圖和時(shí)程圖Fig.7 Phase plane，poincare maps and time history plot of instability plot for spiral angle αcr1=1.3003 rad

4 結(jié)論

本文建立了密封系統(tǒng)角向擺動(dòng)的穩(wěn)定性條件，通過(guò)特例的穩(wěn)定性分析和振動(dòng)響應(yīng)，獲得了螺旋角的穩(wěn)定和失穩(wěn)范圍，并對(duì)穩(wěn)定點(diǎn)和臨界點(diǎn)進(jìn)行了振動(dòng)響應(yīng)分析。在特例螺旋角α=75°鄰域內(nèi)，存在著穩(wěn)定區(qū)域α =74°30'06″～75°16'10″，其最佳值為 αopt=74°53'48″，最佳穩(wěn)定點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，而臨界點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)發(fā)生了混沌運(yùn)動(dòng)。今后可通過(guò)該無(wú)量綱通用程序進(jìn)行角向擺動(dòng)分析獲得螺旋角的穩(wěn)定范圍，為干氣密封的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

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