鞏長忠，王 燦

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

基于Lyapunov函數(shù)的不確定模糊控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

鞏長忠，王 燦

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

研究一類不確定T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，考慮了平行與非平行分配補(bǔ)償控制器的設(shè)計(jì)，并把線性矩陣不等式方法運(yùn)用到了非平行分配補(bǔ)償控制器中?；贚yapunov函數(shù)把系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件延伸到了不確定模糊控制系統(tǒng)。最后通過數(shù)值實(shí)例說明了本結(jié)論的有效性。

參數(shù)不確定；T-S模糊系統(tǒng)；Lyapunov函數(shù)；平行分配補(bǔ)償器；非平行分配補(bǔ)償器；線性矩陣不等式

T-S模糊系統(tǒng)近年來得到廣泛研究，已成為處理非線性控制問題有效方法。對參數(shù)不確定T-S模糊系統(tǒng)的研究，已取得不少有價(jià)值的理論成果。文獻(xiàn)[1-3]研究了不確定模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[4]中給出了一些T-S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件。文獻(xiàn)[5-7]中對離散和連續(xù)模糊系統(tǒng)提出了非平行非線性分配補(bǔ)償器。

文獻(xiàn)[8]通過模糊Lypunov函數(shù)方法，對模糊控制系統(tǒng)的穩(wěn)定進(jìn)行了研究，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。但并沒有考慮參數(shù)不確定性。在此基礎(chǔ)上，本文研究了參數(shù)不確定T-S模糊系統(tǒng)，通過線性矩陣不等式方法得到不確定系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件并把線性矩陣不等式方法運(yùn)用到了非平行分配補(bǔ)償器中。

1 基于T-S模型的不確定模糊控制系統(tǒng)

在本文中，考慮如下T-S模糊控制系統(tǒng)

其中：x（t）=[x1，…，x（nt）]∈Rn是狀態(tài)向量；u（t）∈Rm是系統(tǒng)的控制輸入；，…是模糊集合；Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×m分別是系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣；ΔAi、ΔBi是適當(dāng)維數(shù)的時(shí)變矩陣，其在系統(tǒng)模型中表示參數(shù)不確定性；s是模糊模型的規(guī)則數(shù)。

應(yīng)用單點(diǎn)模糊化、乘積推理和中心加權(quán)反模糊化推理方法，得全局模糊系統(tǒng)模型

并且有以下基本性質(zhì)

式（1）可寫為如下形式

為了簡單方便，在x（t）和hi（x（t））中省略了t。

假設(shè) 假設(shè)參數(shù)不確定性矩陣是范數(shù)有界的，其形式為

式中：Di、E1i和E2i是已知的適當(dāng)維數(shù)矩陣；Fi（t）是未知的函數(shù)矩陣，其每個(gè)元素是可測的函數(shù)，并且滿足FTi（t）Fi（t）≤I，這里I是單位陣。

引理1 對具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣D、E及對稱常數(shù)矩陣S，矩陣不等式

成立的充分必要條件是：存在ε>0，滿足下面的矩陣不等式[9]

引理2 已知對稱矩陣W∈Rn×n及矩陣B∈Rn×n，如果存在常量 α >0，矩陣 L∈Rn×n，U∈Rn×n，和正定矩陣 P∈Rn×n，J∈Rn×n使得線性矩陣不等式

成立，則U是非奇異的，并且K=αLU-1滿足如下的非線性矩陣不等式[10]

“*”表示對稱位置的轉(zhuǎn)置矩陣。

2 主要結(jié)論

在此部分中，將分析系統(tǒng)⑴的穩(wěn)定性和控制器的設(shè)計(jì)。

1）穩(wěn)定性分析和平行分配補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

考慮如下平行分配控制器

全局模糊控制器為

定理1 如果控制增益參數(shù)矩陣{Ki}si=1給出，存在 PT=P>0，ε1>0，ε2>0，使得

則式（3）漸近穩(wěn)定。

證明 考慮如下函數(shù)：V（x）=xTP-1x。對V沿系統(tǒng)（3）求導(dǎo)，可得

利用Schur補(bǔ)得到式（4）。所以系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定。

成立，則系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定。

證明

由式（7）、式（8）可得式（4）成立，再由定理 1得系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定。

則有系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定。其中“*”表示對稱位置的轉(zhuǎn)置矩陣。

由引理2，可知

其中

由式（9）和式（10），得到式（12）小于

式（11）、式（12）聯(lián)立得式（4）。由定理 1可知系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定。

2）非平行分配補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

考慮在文獻(xiàn)[9]中提到的非平行分配補(bǔ)償控制器

得到如下閉環(huán)系統(tǒng)

則系統(tǒng)（13）漸近穩(wěn)定。

若式（14）<0，則由引理1可得：存在常數(shù)ε3>0，ε4>0，使得

由 Shur補(bǔ)，式（15）可寫為

若式（16）成立，則系統(tǒng)（13）漸近穩(wěn)定。

3 數(shù)值算例

假設(shè)具有如下系統(tǒng)：

考慮系統(tǒng)（13），其中

代入定理4中的式（16）可得到

通過解LMIS可得到P、N。根據(jù)定理4可知由非平行分配控制器得到的閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

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Uncertain Fuzzy Control System Design via Lyapunov Functions

GONG Chang-zhong，WANG Can
（Science College， CAUC， Tianjin 300300， China）

This correspondence deals with the problems of analysis and design for a class of uncertain continuous-time Tskagi-Sugeno fuzzy control systems.Both parallel and nonparallel distributed compensation controllers are considered.An LMI technique will be extended to a non-PDC approach.Sufficient conditions for the stability of fuzzy control systems are extended to uncertain continuous-time Tskagi-Sugeno fuzzy control systems that based on a fuzzy Lyapunov function.The effectiveness of the proposed approaches is shown through a numerical example.

uncertain continuous-time； Tskagi-Sugeno fuzzy control systems； Lyapunov function； PDC approach； non-PDC approach；LMI

TP202

A

1674－5590（2010）02－0055－04

2010-05-12；

2010-07-11

鞏長忠（1959—），男，山東蓬萊人，教授，博士，研究方向?yàn)榉蔷€性控制與模糊控制.

book=61,ebook=88

（責(zé)任編輯：楊媛媛）