程國勇，邱 睿，段 淳

（中國民航大學(xué)機(jī)場學(xué)院，天津 300300）

基底完全粗糙時(shí)太沙基地基承載力系數(shù)的解析解

程國勇，邱 睿，段 淳

（中國民航大學(xué)機(jī)場學(xué)院，天津 300300）

當(dāng)前普遍采用的太沙基極限承載力公式中并未給出承載力系數(shù)Nγ的解析形式，而且Nc的表達(dá)方式在不同資料中不統(tǒng)一。針對以上情況，根據(jù)地基土的極限平衡原理，研究得出了條形基礎(chǔ)底面完全粗糙條件下太沙基極限承載力系數(shù)Nγ′、Nc′的解析解。然后計(jì)算得出太沙基極限承載力系數(shù)的曲線以供查用。以上成果可為太沙基地基極限承載力公式的應(yīng)用及研究工作提供參考。

太沙基公式；地基極限承載力；極限平衡原理；解析解

地基極限承載力是土力學(xué)研究的一個(gè)經(jīng)典課題，其中太沙基（K.Terzaghi）理論是基于極限平衡理論確定條形地基極限承載力的重要方法。在該理論中考慮了地基土的自重，基于以下三條假定[1-2]：

1）基礎(chǔ)底面完全粗糙；

2）基底以上兩側(cè)土體當(dāng)作均布荷載（不考慮基底以上兩側(cè)土體的抗剪強(qiáng)度影響）；

3）地基中滑動土體分為三角形壓密區(qū)（彈性核）、朗肯被動區(qū)以及對數(shù)螺旋線過渡區(qū)。

太沙基地基極限承載力的理論公式為

其中：Nγ、Nq、Nc為太沙基地基承載力系數(shù)。

在上述公式中，一般的土力學(xué)著作或教材僅給出Nq及Nc的解析公式，對于承載力系數(shù)Nγ僅用曲線的形式給出，具體過程一般不給出；在實(shí)際應(yīng)用中存在計(jì)算圖示不嚴(yán)謹(jǐn)或與假定條件不能完全對應(yīng)；此外目前采用的太沙基地基承載力系數(shù)Nc仍借用了普朗特爾（L.Prandtl）地基極限承載力的結(jié)論，即：Nc=（Nq-1）cot φ，而由于兩種方法采用的計(jì)算模型不同，Nc與Nq之間并無此關(guān)系。以上這些問題的含糊其辭給地基承載力理論的學(xué)習(xí)及研究帶來困難[3-5]。

本文根據(jù)極限平衡原理對這一經(jīng)典的土力學(xué)問題進(jìn)行了研究，得出基礎(chǔ)底面完全粗糙情況下太沙基地基承載力系數(shù)Nγ的解析式，且經(jīng)過詳細(xì)推導(dǎo)得到承載力系數(shù)Nc的表達(dá)式。然后給出基礎(chǔ)底面完全粗糙情況下太沙基地基承載力系數(shù)的曲線。希望通過本文工作為太沙基地基極限承載力公式的學(xué)習(xí)、應(yīng)用及研究工作提供參考。

1 基底完全粗糙時(shí)太沙基承載力系數(shù)解析解

仍采用太沙基理論的上述3條假定。此時(shí)彈性核與兩側(cè)面與水平面夾角α=φ。計(jì)算圖示如圖1所示。地基破壞時(shí)沿 bde和 bd′e′滑動，bd和 bd′是對數(shù)螺線，方程為 r=r0·exp（θ·tan φ）。de 和 d′e′是直線，與水平面的夾角等于 45°- φ/2，即 ade及 ad′e′區(qū)為朗肯被動區(qū)。從圖1中可以看出

取彈性核為隔離體，根據(jù)幾何條件可知此時(shí)被動土壓力Ep必定豎直向上，如圖2所示。其中：γ、c分別為基底下土體的重度（kN/m3）及黏聚力（kPa）；B 為基礎(chǔ)底面寬度（m）；q為基底以上土體荷載（kPa），q= γ0D，γ0為基底以上土體的加權(quán)平均重度，D為基礎(chǔ)埋深。

根據(jù)靜力平衡條件可得

可見，只要求出了作用于剛性核側(cè)面的被動土壓力Ep，則地基的極限承載力就可確定。將剛性核的ab及a′b邊看作擋土墻的墻背，計(jì)算以下3種特殊條件下的被動土壓力Ep。

1）q=0、c=0、γ ＞ 0，即僅由地基土重產(chǎn)生的被動土壓力Ep1。

根據(jù)對a′點(diǎn)的力矩平衡計(jì)算Ep1，分別計(jì)算朗肯被動區(qū)a′d′e′、對數(shù)螺旋線區(qū)重力、對數(shù)螺旋線破壞面下反力以及d′e′上合力對于a′點(diǎn)力矩（順時(shí)針為正）。

a）朗肯被動區(qū) a′d′e′重力對于 a′點(diǎn)力矩 Mr1

三角形 a′d′e′重量為

對于a′點(diǎn)力矩為

b）對數(shù)螺旋線區(qū)重力對于a′點(diǎn)力矩Mr2

c）對數(shù)螺旋線破壞面下反力對于a′點(diǎn)力矩Mr3

根據(jù)對數(shù)螺旋線性質(zhì)，當(dāng)處于極限平衡狀態(tài)時(shí)，對數(shù)螺旋線破壞面上合力通過a′點(diǎn)，因此對數(shù)螺旋線破壞面下反力對a′點(diǎn)力矩Mr3=0。

d）d′e′上合力對于 a′點(diǎn)力矩 Mr4

由于a′d′e′為朗肯被動區(qū)，豎向應(yīng)力為小主應(yīng)力，破壞面 d′e′上在 d′點(diǎn)的法向應(yīng)力為

在 d′點(diǎn) d′e′面上的切應(yīng)力

d′e′面上合力 R 為

R方向與d′e′面法線成φ角，R對與a′點(diǎn)的力臂如圖3所示。

根據(jù)對a′點(diǎn)的力矩平衡

2）q＞ 0、c=0、γ =0，即僅由兩側(cè)超載 q 產(chǎn)生被動土壓力Ep2。

根據(jù)被動土壓力理論，由于基礎(chǔ)兩側(cè)超載產(chǎn)生的被動土壓力在ab及a′b滑動面上呈矩形分布，根據(jù)對a′點(diǎn)力矩平衡

3）q=0、c＞ 0、γ =0，即僅由黏聚力 c產(chǎn)生的被動土壓力Ep3。

根據(jù)被動土壓力理論，土的粘聚力在ab及a′b滑動面上產(chǎn)生的被動土壓力呈矩形分布，Ep3對于a′點(diǎn)力臂為B/4。

根據(jù)對數(shù)螺旋線性質(zhì)，對數(shù)螺旋線（任意點(diǎn)的切線與矢徑夾角為π/2+φ，對數(shù)螺旋線上粘聚力c對于 a′點(diǎn)力矩為

b）d′e′面上粘聚力 c 對于 a′點(diǎn)的力矩

d′e′面上粘聚力合力力臂 a′o?，如圖 4 所示。

d′e′面上粘聚力對于 a′點(diǎn)的力矩為

根據(jù)對a′點(diǎn)力矩平衡

得由黏聚力c產(chǎn)生的被動土壓力Ep3為

根據(jù)疊加原理，總的被動土壓力Ep就等于3種情況下被動土壓力的總和，即

將式（20）代入式（3）得

根據(jù)式（1），得

當(dāng)φ→0時(shí)，根據(jù)羅彼塔法則，limφ→0Nc=6.71。

可見在基底完全粗糙情況下，能得到3個(gè)承載力系數(shù)的解析表達(dá)式，與式（2）比較，Nq′與現(xiàn)有系數(shù)Nq完全相同，Nc則不同。根據(jù)本文推導(dǎo)式計(jì)算太沙基承載力系數(shù) Nq′、Nc′、Nγ′，與現(xiàn)有系數(shù) Nq、Nc、Nγ的比較如圖5所示。

2 結(jié)語

通過以上研究，得到以下結(jié)論供學(xué)習(xí)及研究人員借鑒：

1）根據(jù)極限平衡原理推導(dǎo)得出太沙基承載力系數(shù)Nγ的解析式。

2）由于采用的計(jì)算模型不同，太沙基地基承載力系數(shù)Nc不能借用普朗特爾理論的結(jié)果。

3）目前普遍采用的太沙基地基承載力系數(shù)中，Nq是正確的，其余兩個(gè)存在較大誤差。

[1] 陳仲頤，周景星，王洪瑾.土力學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1994.

[2] 王 哲，王國才，陳 禹，等.矩形淺基礎(chǔ)地基極限承載力的理論解[J].巖土力學(xué)，2008，29（4）：1001-1004.

[3] 商建林，涂長紅，謝葉彩.地基極限承載力確定方法的分析與評價(jià)[J].西部探礦工程，2007（2）：140-142.

[4]杜世回.理解和應(yīng)用地基承載力的若干問題[J].鐵道勘查，2007（3）：95-97.

[5]易永利.復(fù)合地基承載力的影響因素和確定方法[J].巖土工程界，2009，12（8）：25-28.

Analytical Formula of K.Terzaghi Ultimate Bearing Capacity Coefficient Under Totally Coarse Foundation Base

CHENG Guo-yong， QIU Rui， DUAN Chun
（The Airport College， CAUC， Tianjin 300300， China）

In the K.Terzaghi ultimate bearing capacity formula，the coefficient Nγhas not been given in a definite expression and the factor of Ncis different in different material.To solve this problem，according to the ultimate balance theory，the analytical formula of Nγand Ncare derived and the correctness of the factor Ngis proved for the strip foundation with absolute coarse base.At last，the curves of all the factor in K.Terzaghi ultimate bearing capacity are provided，which is valuable for the application and research of the K.Terzaghi ultimate bearing capacity theory.

K.Terzaghi formula； K.Terzaghi ultimate bearing capacity； ultimate balance theory；analytical formula

TU4

A

1674－5590（2011）01－0025－04

2010-06-25；

2010-11-19 基金項(xiàng)目：中國民航大學(xué)科研啟動項(xiàng)目（k24028）

程國勇（1971—），男，河北衡水人，副教授，博士，研究方向?yàn)榈鼗A(chǔ)檢測技術(shù)與加固理論.

（責(zé)任編輯：楊媛媛）