阮 苗 王忠民 王 硯

1.西安理工大學(xué),西安,710048 2.長安大學(xué),西安,710064

0 引言

彈性非保守系統(tǒng)的動力穩(wěn)定性分析在工程中有著廣泛的應(yīng)用,如梁、板、殼、輸液管、橋梁及機翼等,薄板在非保守力作用下的穩(wěn)定性分析對研究結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的顫振現(xiàn)象等問題具有重要的工程意義和理論價值。Leipholz等[1]用拓展的伽遼金法求解出不同邊界條件下矩形板在隨從力作用下的臨界力。王忠民等[2]用Levy法和有限差分法研究了兩對邊簡支且另兩對邊任意支承的6種矩形薄板在均布切向隨從力作用下的動力穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[3-5]分別對非保守板的顫振和發(fā)散失穩(wěn)問題作了深入的研究。

工程實際中,隨著新型復(fù)合材料的廣泛應(yīng)用,功能梯度材料板結(jié)構(gòu)的動力分析受到越來越多的關(guān)注。Wu等[6]運用移動最小二乘法,分析了功能梯度材料矩形板的動力穩(wěn)定性。趙鳳群等[7]研究了考慮隨從力作用的功能梯度材料(FGM)矩形板的動力穩(wěn)定性。Prakasha等[8]基于一階剪切變形板理論,運用有限元法研究了簡支斜板的熱屈曲問題。

本文從薄板理論出發(fā),結(jié)合功能梯度材料的特性,通過線性坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系,建立了斜坐標(biāo)系下非保守FGM斜板的運動微分方程。運用微分求積法,導(dǎo)出了非保守FGM 斜板的特征值方程,計算了四邊固支非保守FGM斜板的固有頻率和臨界顫振荷載,討論了斜板夾角、梯度指標(biāo)和邊長比對非保守FGM斜板的臨界顫振荷載的影響。

1 FGM斜板的運動微分方程

1.1 材料特性

考慮一受切向均布隨從力q0作用的功能梯度斜薄板,如圖1所示。板的尺寸為a×b×h,上側(cè)面為陶瓷,下側(cè)面為金屬,中間為兩種材料構(gòu)成的梯度層。

設(shè)金屬、陶瓷的彈性模量分別為E m、E c,質(zhì)量密度分別為 ρm、ρc,由材料特性的實際情況,可設(shè)金屬、陶瓷的泊松比相同,則板內(nèi)任意一點的彈性模量E(z)、質(zhì)量密度 ρ(z)和泊松比 μ(z)為

圖1 受切向均布隨從力作用的FGM斜板

式中,k為梯度指標(biāo)。

1.2 FGM斜板運動微分方程

假設(shè) u0、v0、w0是板中面上沿 x、y、z 方向的位移,則板任一點處的位移為

式中,下標(biāo)“,x” 和“,y”表示分別對 x、y求偏導(dǎo),下文類似的下標(biāo),其含義也類似。

由于三維幾何方程中不出現(xiàn)材料常數(shù),因此功能梯度板和勻質(zhì)板的位移與應(yīng)變分量幾何關(guān)系一致。但三維物理方程是變系數(shù)的,其中材料常數(shù)是厚度z的函數(shù)：

將幾何方程、物理方程代入板的薄膜內(nèi)力和彎曲內(nèi)力矩公式,可得

根據(jù)廣義D'Alembert原理,其運動微分方程為

通過坐標(biāo)變換關(guān)系ξ=x-y cotθ,η=y cscθ,得到FGM斜板的運動微分方程：

式中,θ為四邊固支斜板夾角。

四邊固支斜板的邊界條件[9]為

引入量綱一量：

式中,τ為量綱一時間;q為量綱一隨從力。

式(7)的量綱一形式如下：

(5)地基處理采用的CFG樁體和土工格柵為線彈性材料，采用摩擦單元模擬樁-土和格柵-土之間的相互作用。

2 數(shù)值計算

設(shè)式(9)的解為 W(ξ,η,τ)=W (ξ,η)eiωτ,代入式(9)得

對非保守力作用下FGM斜板的量綱一運動微分方程,用微分求積法[10]建立其特征值方程。式程(10)的微分求積形式為

式中,A(1)為第一階層的加權(quán)系數(shù),其他類似;ω為量綱一復(fù)頻率。

本文在網(wǎng)點布置時,取 N=M,采用δ法[11]處理邊界條件。固支邊的微分求積形式為

式(11)和式(12)合并成矩陣形式,即

式(13)構(gòu)成了廣義特征值問題。

3 計算結(jié)果與比較

數(shù)值計算時取陶瓷為ZrO2,金屬為Al,材料常數(shù)如表1所示。當(dāng)k=0且θ=π/2時,FGM斜板退化為均質(zhì)陶瓷矩形板的穩(wěn)定性問題。取N=11,首先計算四邊固支均質(zhì)陶瓷板的前六階固有頻率,本文結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的比較如表2所示。表3給出了幾種不同夾角、不同邊長比的四邊固支斜板的一階固有頻率與文獻(xiàn)[12]的比較情況。表2、表3的比較驗證了本文算法的有效性。

表1 材料及材料常數(shù)

表2 四邊固支斜板的前六階量綱一固有頻率計算結(jié)果比較(r=1,k=0,q=0)

表3 四邊固支斜板的量綱一固有頻率計算結(jié)果比較(r=1,k=0,q=0)

圖2給出了四邊固支斜板夾角θ=75°,邊長比r=1,梯度指標(biāo)k分別為0.5、1.0、1.5時板的前兩階量綱一復(fù)頻率ω與量綱一隨從力q的變化曲線。從圖2可以看出,當(dāng)量綱一隨從力q=0時,ω為實數(shù)。隨著量綱一隨從力的增大,板的第一階和第二階模態(tài)耦合,此時板發(fā)生顫振失穩(wěn),相應(yīng)的臨界荷載為顫振荷載。當(dāng)k=0.5時,臨界顫振荷載q f=180;當(dāng)k=1時,臨界顫振荷載q f=160;當(dāng)k=1.5時,臨界顫振荷載q f=150。

圖2 前兩階量綱一復(fù)頻率ω與量綱一隨從力q的關(guān)系曲線(θ=75°,r=1)

圖3 前二階量綱一復(fù)頻率ω與量綱一隨從力q的關(guān)系曲線(θ=60°,r=1)

圖5 給出了四邊固支FGM斜板夾角θ=60°,梯度指標(biāo)k=1,邊長比r分別為0.7、1.0、1.5時板的前兩階模態(tài)的量綱一復(fù)頻率ω與量綱一隨從力q的變化曲線。圖5表明,邊長比的變化使得板的臨界顫振荷載值發(fā)生變化,失穩(wěn)形式不變。圖6給出了不同夾角板的量綱一隨從力(即臨界顫振荷載)隨梯度指標(biāo)的變化曲線。圖中曲線表明,不同夾角的斜板,隨著梯度指標(biāo)的增大,臨界顫振荷載減小,并且當(dāng)k≤2時變化較大,當(dāng)k＞2時,變化趨于平緩。圖7描繪了不同梯度指標(biāo)板的臨界顫振荷載隨板夾角的變化曲線?？梢钥吹?不同梯度指標(biāo)的板,隨著夾角的增大,臨界顫振荷載減小。圖8描繪了不同夾角板臨界顫振荷載隨邊長比的變化曲線?？梢钥闯霾煌瑠A角的斜板,隨著邊長比的增大,臨界顫振荷載增大。

圖4 前兩階量綱一復(fù)頻率ω與量綱一隨從力q的關(guān)系曲線(θ=45°,r=1)

圖5 前兩階量綱一復(fù)頻率ω與量綱一隨從力q的關(guān)系曲線(θ=60°,k=1)

6 量綱一隨從力q隨梯度指標(biāo)k的變化曲線(r=1)

圖7 量綱一隨從力q隨夾角θ的變化曲線(r=1)

圖8 量綱一隨從力q隨邊長比r的變化曲線(k=1)

4 結(jié)論

(1)當(dāng)邊長比不變時,對不同夾角的斜板,臨界顫振荷載隨著梯度指標(biāo)的增大而減小。

(2)當(dāng)邊長比不變時,對不同梯度指標(biāo)的板,臨界顫振荷載隨著斜板夾角的增大而減小。

(3)當(dāng)梯度指標(biāo)不變時,對不同夾角的斜板,臨界顫振荷載隨著邊長比的增大而增大。

[1] Leipholz H H,Pfendt F.Application of Extend E-quations of Galerkin to Stability Problems of Rectangular Plates with Free Edges and Subjected to U-niformly Distributed Follower Forces[J].Computer Maths.Appl.Mech.Engry.,1983,37：341-365.

[2] 王忠民,計伊周.矩形薄板在隨從力作用下的動力穩(wěn)定性分析[J].振動工程學(xué)報,1992,5(1)：78-83.

[3] Zuo Q H,Shreyer H L.Flutter and Divergence Instability of Nonconservative Beams and Plates[J].International Journal of Solids and Structures,1996,33(9)：1355-1367.

[4] Kim J H,Kim H S.A Study on the Dynamic Stability of Plate under Follower Force[J].Computers and Structures,2000,74(3)：351-363.

[5] Jayaraman G,Struthers A.Divergence and Flutter Instability of Elastic Specially Orthotropic Plates Subject to Follower Forces[J].Journal of Sound and Vibration,2005,281：357-373.

[6] Wu Lanhe,Wang Hongjun,Wang Daobin.Dynamic Stability Analysis of FGM Plates by the Moving Least Squares Differential Quadrature Method[J].Composite Structures,2007,77(3)：383-394.

[7] 趙鳳群,王忠明,劉宏昭.非保守力作用下FGM矩形板的穩(wěn)定性分析[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報,2007,24(2)：318-322.

[8] Prakasha T,Singhaa M K,Ganapathi M.Thermal Postbuckling Analysis of FGM Skew Plates[J].Engineering Structures,2008,30(1)：22-32.

[9] Wang X,Striz A G,Bert C W.Buckling and Vibration Analysis of Skew Plates by the Differential Quadrature Method[J].AIAA J.,1994,32(4)：886-889.

[10] 王鑫偉.微分求積法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用[J].力學(xué)進(jìn)展,1995,25(2)：232-240.

[11] 倪振華.振動力學(xué)[M].西安：西安交通大學(xué)出版社,1990.

[12] Sakata T,Hayashi T.Natural Frequencies of Clamped Orthotropic Skew Plates[J].Journal of Sound and Vibration,1982,81(2)：287-298.