李凌豐 劉彩芬

浙江大學(xué)，杭州，310027

0 引言

滾珠絲杠副由于其傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)精度高等優(yōu)點(diǎn)應(yīng)用于全電動(dòng)注塑機(jī)［1］。但是，滾珠絲杠副在承受軸向工作載荷后將產(chǎn)生軸向接觸變形。滾珠絲杠副的軸向變形直接影響用于精密傳動(dòng)的機(jī)構(gòu)的定位精度和傳動(dòng)質(zhì)量，因此，設(shè)計(jì)時(shí)必須限制其軸向彈性位移量。

早期的研究在分析中忽略了螺旋升角的影響，但是隨著滾珠絲杠的高速化和大導(dǎo)程化，螺旋升角的影響也越來越大，不能將之忽略［2］。李凌豐等［1］通過建立有限元模型對(duì)滾珠進(jìn)行了應(yīng)力分析并且優(yōu)化了相關(guān)參數(shù)以減小接觸應(yīng)力。姜洪奎等［3］運(yùn)用微分幾何理論推導(dǎo)了螺旋面的主曲率，并簡單分析了螺旋升角對(duì)滾珠絲杠副彈性變形的影響。杜平安［4］分析了相關(guān)影響因素對(duì)滾珠直旋副的接觸強(qiáng)度和剛度的影響。Xuesong等［5］對(duì)存在幾何誤差時(shí)的滾珠絲杠的載荷分布建立新的模型，并且提出了正向誤差會(huì)使載荷增大的觀點(diǎn)。

本文在已有的研究基礎(chǔ)上，考慮了螺旋升角的影響，建立單螺母滾珠絲杠副軸向變形的理論模型，得到新的滾珠絲杠副軸向變形公式，并分析了各個(gè)參數(shù)對(duì)于單螺母滾珠絲杠副的接觸變形和傳動(dòng)性能的影響。隨后采用有限元分析軟件對(duì)單螺母滾珠絲杠副進(jìn)行接觸分析和軸向變形分析，并通過對(duì)比不同載荷下的理論軸向變形量和有限元分析變形量以驗(yàn)證模型。

1 單螺母滾珠絲杠副彈性接觸變形的數(shù)學(xué)模型

1．1 接觸點(diǎn)處的主曲率及赫茲接觸參數(shù)

由赫茲點(diǎn)接觸理論知，欲分析滾珠與絲杠（螺母）滾道面的彈性接觸，首先須知兩彈性接觸處的主平面內(nèi)的主曲率。圖1所示是滾珠絲杠副模型中的滾珠與絲杠（螺母）滾道面接觸簡圖，其中，E、F點(diǎn)分別為滾珠與絲杠、滾珠與螺母滾道面接觸點(diǎn)。

圖1中，Rb為滾珠半徑，λ為螺旋升角，β為接觸角，R0為公稱半徑，R為滾道的曲率半徑。

考慮到螺旋升角λ的影響，滾珠與絲杠滾道接觸點(diǎn)處的四個(gè)主曲率分別為［6］

圖1 滾珠與絲杠（螺母）滾道面接觸簡圖

所以絲杠側(cè)滾道面的主曲率之和為

同理，螺母?jìng)?cè)滾道面的主曲率之和為

赫茲接觸參數(shù)τ為［2］

式中，ψ為兩個(gè)接觸曲面的主平面之間的夾角。

將式（1）代入式（4），得

式中，ρΣ為滾道面主曲率之和。

1．2 單螺母滾珠絲杠副的彈性變形

目前，滾珠絲杠副的力學(xué)模型均簡化為若干個(gè)承受純軸向工作載荷的推力向心軸承，并把它作為滾珠絲杠副受力及變形分析計(jì)算的力學(xué)模型。在此模型基礎(chǔ)上得到的單螺母滾珠絲杠副的法向變形量δp為［2］

式中，J為τ確定的橢圓積分；α為幾何系數(shù)，其值由τ確定；P 為法向壓力；μ1、μ2、E1、E2分別為螺母和滾珠的泊松比以及縱向彈性模量。

在軸向載荷的作用下，由于在螺母滾道面與絲杠滾道面間兩個(gè)接觸點(diǎn)均要產(chǎn)生法向變形，其值分別為δsp、δnp。螺母滾道面與絲杠滾道面間所產(chǎn)生的彈性變形量為δn，且

考慮到螺旋升角λ，根據(jù)圖2所示的變形協(xié)調(diào)關(guān)系得螺母相對(duì)絲杠的軸向變形量δa為

圖2 法向載荷P作用下的空間位置圖

考慮到λ的影響，由圖3所示可得工作滾珠數(shù)z：

式中，i為滾珠螺母的工作圈數(shù)與列數(shù)的乘積。

圖3 滾珠絲杠螺旋線展開圖

若認(rèn)為在理想載荷均布的工作情況下，軸向工作載荷F均勻地分配給所有的工作滾珠，且每個(gè)滾珠的法向力的合力通過絲杠軸線，則法向力P為

由于滾珠、螺母和絲杠均為鋼，而鋼的彈性模量E＝210 GPa，泊松比μ＝0．3。采用毫米單位制，綜合式（6）～ 式（10），可得到改進(jìn)的滾珠絲杠副軸向變形δa，以及絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)的法向變形量δsp和δnp：

2 軸向變形分析和計(jì)算

根據(jù)上述滾珠絲杠副軸向變形的分析，為了提高定位精度和傳動(dòng)質(zhì)量，分別選取螺旋升角、滾珠直徑和接觸角為參數(shù)來分析它們與軸向變形的關(guān)系以及它們對(duì)傳動(dòng)性能的影響。

本文選取某型號(hào)大導(dǎo)程滾珠絲杠副為例進(jìn)行分析，其相關(guān)參數(shù)如表1所示。在以下的軸向變形量分析中軸向載荷均為1000 N。

表1 滾珠絲杠副相關(guān)工藝參數(shù)

2．1 螺旋升角

固定其他參數(shù)，在螺旋升角范圍為5°～20°內(nèi)，由式（11）分析螺旋升角和軸向變形量間的關(guān)系，如圖4所示。

圖4 軸向彈性變形量與螺旋升角的關(guān)系

從圖4中可以看出，螺旋升角的增大有利于提高滾珠絲杠副的傳動(dòng)性能和定位精度。螺旋升角的增大意味著當(dāng)公稱直徑固定時(shí)，導(dǎo)程增大，進(jìn)給速度增大，這也符合現(xiàn)在的大導(dǎo)程化的趨勢(shì)。但是導(dǎo)程過大會(huì)增加制造難度，增大啟動(dòng)力矩［2］。因此，應(yīng)當(dāng)權(quán)衡變形量、扭矩等選擇較合適的螺旋升角。

同理可由式（12）和式（13）來分析螺旋升角對(duì)絲杠側(cè)和螺母?jìng)?cè)的法向變形量δsp和δnp的影響。由圖5所示可知，絲杠側(cè)的變形大于螺母?jìng)?cè)的變形，即說明螺母的接觸剛度比絲杠側(cè)的高。同時(shí)，從圖5可以看出，絲杠側(cè)的變形量δsp隨著螺旋升角的上升而下降，而螺母?jìng)?cè)的變形量δnp則相反。

圖5 δsp和δnp與螺旋升角的關(guān)系

2．2 滾珠直徑

滾珠直徑尺寸不同，承載能力和軸向變形也不同。根據(jù)廠家的實(shí)際產(chǎn)品情況，選擇范圍為3～7 mm的滾珠直徑來分析滾珠直徑與軸向變形量之間的關(guān)系。

圖6所示為軸向彈性變形量與滾珠直徑的關(guān)系，由圖6可見，增大滾珠直徑能有效地改善軸向變形量。當(dāng)滾珠直徑從3 mm增大到7 mm時(shí)，軸向變形量從0．016 19 mm 下降到0．007 52 mm。但是增大滾珠直徑，會(huì)導(dǎo)致離心力的增大。在其他條件不變狀況下，將滾珠直徑減小30%，則離心力為原來的1／3［7］，因此應(yīng)該綜合考慮以選擇合適的滾珠直徑。

圖6 軸向彈性變形量與滾珠直徑的關(guān)系

2．3 接觸角

接觸角決定了滾珠的受力位置和方向。選擇合適的接觸角有利于提高傳動(dòng)效率、承載能力和滾珠的流暢性。圖7所示為根據(jù)式（11）得出的軸向變形量與接觸角的關(guān)系，選取接觸角范圍為30°～50°。

圖7 軸向彈性變形量與接觸角的關(guān)系

由圖7所示可知，隨著接觸角的增大，軸向變形量的值不斷減小。因此，合理增大接觸角，能夠減小滾珠絲杠副的變形量，提高絲杠副的定位精度。

3 滾珠絲杠副軸向變形的有限元分析

使用有限元分析軟件對(duì)滾珠絲杠副軸向變形進(jìn)行分析。由于滾珠與絲杠和螺母之間是非線性接觸關(guān)系，本文采用ANSYS的接觸分析來分析軸向變形。接觸問題是一種高度非線性行為，需要較大的計(jì)算資源［8］。考慮到真實(shí)的三維滾珠絲杠副接觸模型的復(fù)雜性，本文建立三維的簡化滾珠絲杠副模型，并對(duì)其進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，設(shè)置滾珠與絲杠間以及滾珠與螺母間的面面接觸對(duì)，隨后對(duì)模型約束加載并求解分析單螺母滾珠絲杠副的軸線變形特征。

3．1 建立模型

基于三維滾珠絲杠副的接觸特性，同時(shí)為了節(jié)約計(jì)算資源，將滾珠絲杠副的模型簡化為單個(gè)滾珠的接觸分析模型?？紤]到軸向?qū)ΨQ性，可僅分析半個(gè)滾珠與繞絲杠軸旋轉(zhuǎn)5°的絲杠和螺母接觸的模型。簡化的模型如圖8所示。圖中以接觸點(diǎn)為圓心的兩個(gè)小圓表示近接觸區(qū)域，以便于后續(xù)分析。

圖8 滾珠絲杠副的有限元模型

3．2 劃分有限元網(wǎng)格

有限元網(wǎng)格劃分是ANSYS分析的重要步驟。本文采用20節(jié)點(diǎn)可過渡為金字塔單元的solid95對(duì)絲杠、滾珠和螺母進(jìn)行網(wǎng)格劃分。為了節(jié)約計(jì)算時(shí)間和保證計(jì)算精度，通過布爾運(yùn)算和設(shè)置劃分網(wǎng)格比率使靠近接觸區(qū)的網(wǎng)格規(guī)則、細(xì)密，而通過自由網(wǎng)格劃分使遠(yuǎn)接觸區(qū)的網(wǎng)格稀疏。網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖9所示。

圖9 網(wǎng)格劃分后的滾珠絲杠副模型

3．3 創(chuàng)建接觸對(duì)以及施加約束和載荷

接觸對(duì)設(shè)置是接觸分析中關(guān)鍵的一步。考慮到模型的接觸特性，在滾珠與絲杠間、滾珠與螺母間分別建立接觸對(duì)，采用三維面面接觸單元分析。目標(biāo)單元選用Tar get170，接觸單元選擇Contact174，選擇滾珠面為接觸面，絲杠以及螺母面為目標(biāo)面，依次生成目標(biāo)單元和接觸單元。通過調(diào)整接觸對(duì)的相關(guān)參數(shù)，使其初始接觸。

滾珠絲杠副工作時(shí)，絲杠繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)而螺母承受軸向載荷。因此對(duì)滾珠絲杠副的絲杠軸施加全約束，對(duì)螺母頂面施加徑向位移約束，對(duì)整個(gè)模型截面施加對(duì)稱條件，對(duì)螺母的右側(cè)面施加集中載荷。加載完成后，檢查整個(gè)模型并設(shè)置求解參數(shù)求解。

3．4 結(jié)果分析

圖10和圖11分別為軸向載荷為1500 N時(shí)，經(jīng)過有限元分析得到的軸向位移圖和等效應(yīng)力圖。由等效應(yīng)力圖可以看出，最大應(yīng)力發(fā)生在兩個(gè)接觸點(diǎn)附近，兩者連線與Y軸的接觸角度為39°。

圖10 滾珠絲杠副的軸向變形云圖

圖11 滾珠絲杠副的等效應(yīng)力云圖

另外，該有限元模型為λ＝0時(shí)的簡化模型，若考慮到螺旋升角的因素，則由式（10）可知，施加到該ANSYS簡化模型上的理論軸向載荷應(yīng)為實(shí)際軸向載荷除以cosλ。由圖2和式（8）的變形協(xié)調(diào)關(guān)系可知：該有限元簡化模型分析得到的軸向變形量應(yīng)當(dāng)乘以cosλ，這樣才能得到考慮了空間的螺旋升角影響的軸向變形量。

為了驗(yàn)證理論軸向變形公式以及有限元接觸分析的正確性，將λ＝17°40′代入式（11）計(jì)算單螺母滾珠絲杠副的理論軸向變形量，并將其計(jì)算結(jié)果與經(jīng)上述有限元分析得到的軸向變形量作對(duì)比。

表2為通過施加500～5000 N范圍內(nèi)的10個(gè)載荷，獲得的理論軸向變形量和有限元分析的軸向變形量對(duì)比結(jié)果如圖12所示。

表2 理論模型和有限元模型的軸向變形量分析結(jié)果

圖12 單螺母滾珠絲杠副軸向變形量對(duì)比圖

由圖12可以看出理論的軸向變形量與有限元分析得到的軸向變形量基本趨同一致，驗(yàn)證了理論模型和有限元分析模型的正確性。

4 結(jié)語

本文在已有的研究基礎(chǔ)上，對(duì)單螺母滾珠絲杠副的彈性接觸變形作了進(jìn)一步分析。研究結(jié)果表明單螺母滾珠絲杠副的螺旋升角、接觸角、滾珠直徑增大都有利于減小軸向變形量。通過建立的有限元模型驗(yàn)證了理論模型和有限元接觸分析的正確性。研究結(jié)果可供大導(dǎo)程滾珠絲杠副的設(shè)計(jì)及其有限元分析時(shí)參考。

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