凌 勁 龔書喜 王文濤 王 興 張玉潔

(西安電子科技大學(xué)天線與微波技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071)

1.引 言

矩量法(MoM)是求解電磁問(wèn)題的經(jīng)典數(shù)值算法[1]，在準(zhǔn)確求解任意形狀三維導(dǎo)體的雷達(dá)散射截面(RCS)方面有著十分廣泛的應(yīng)用。阻抗矩陣的填充和求解是矩量法中兩個(gè)計(jì)算量比較大的操作。目標(biāo)的雷達(dá)散射截面與頻率f和角度(θ,φ)均有關(guān)系，采用MoM就必須在頻帶和角域內(nèi)同時(shí)或分別求解矩陣方程。采用MoM逐點(diǎn)計(jì)算時(shí)，必須以一定的頻率和角度間隔在所給定的頻率和角域內(nèi)逐點(diǎn)反復(fù)求解矩陣方程。當(dāng)目標(biāo)的感應(yīng)電流分布隨頻率或入射角變化劇烈時(shí)，必須很小的頻率或角度間隔計(jì)算才能得到精確的結(jié)果，這意味著在整個(gè)頻帶或角域內(nèi)矩陣方程求解次數(shù)的增加，勢(shì)必將占用了大量的計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存。近年來(lái)，漸近波形估計(jì)(AWE)技術(shù)被逐漸應(yīng)用到電磁場(chǎng)的全波分析[2-5]。與MoM逐點(diǎn)計(jì)算相比，它們可以在計(jì)算頻點(diǎn)比較多的時(shí)候節(jié)省較多的時(shí)間，但該方法有效的計(jì)算頻帶受到Taylor級(jí)數(shù)和padé逼近本身性質(zhì)的限制。利用AWE技術(shù)可以確定展開(kāi)點(diǎn)附近的值，這時(shí)應(yīng)用AWE方法得到的解是精確的。但是隨著頻率逐漸遠(yuǎn)離展開(kāi)頻率點(diǎn)，解的精確度也就逐漸下降，而且計(jì)算過(guò)程中需要計(jì)算和存儲(chǔ)稠密的阻抗矩陣及其高階導(dǎo)數(shù)矩陣，占用了大量?jī)?nèi)存。與傳統(tǒng)的矩量法程序相結(jié)合時(shí)，AWE技術(shù)中關(guān)于阻抗矩陣元素的求導(dǎo)運(yùn)算增加了程序編寫的復(fù)雜度。Maehly逼近[6-7]結(jié)合矩量法已成功用于計(jì)算雷達(dá)散射截面的頻率響應(yīng)[8-9]。Maehly逼近與AWE技術(shù)相比，最大的優(yōu)勢(shì)在于Maehly逼近不需要計(jì)算阻抗矩陣元素的高階導(dǎo)數(shù)，減小了程序編寫的復(fù)雜度，很容易和MoM計(jì)算機(jī)代碼相結(jié)合。與AWE技術(shù)中padé逼近相比，在相同階數(shù)的情況下，Maehly逼近能在更寬的頻帶內(nèi)很好地與MoM計(jì)算結(jié)果相吻合。雖然文獻(xiàn)[10][11]應(yīng)用二維AWE技術(shù)分析了目標(biāo)雷達(dá)散射截面的空頻二維特性(頻率f和角度θ同時(shí)外推)，但該方法有效的計(jì)算頻帶和角域受到AWE技術(shù)本身性質(zhì)的限制，然而對(duì)目標(biāo)雷達(dá)散射截面的角度θ和φ同時(shí)外推的研究在文獻(xiàn)中還很少見(jiàn)到?；谝陨峡紤]，將Maehly逼近引入到目標(biāo)雷達(dá)散射截面的角度外推中，分析雷達(dá)散射截面空域二維特性。將Maehly逼近推廣成二維外推技術(shù)，應(yīng)用于快速分析雷達(dá)散射截面的空域特性(θ和φ的同時(shí)外推)。

2.理論分析

2.1 基于EFIE的矩量法

根據(jù)導(dǎo)體表面S及線天線上切向電場(chǎng)連續(xù)條件，可得電場(chǎng)積分方程(EFIE)

-Etan(r)=[-jωA(r)-▽?duì)?r)]tan

(1)

式中：Etan(r)是入射場(chǎng)；A(A)，Φ(r)分別表示磁矢位和電標(biāo)位。采用伽略金法，基函數(shù)和檢驗(yàn)函數(shù)都為RWG基函數(shù)[12]，可得式(1)的矩陣形式

[Zmn(k)]·[In(k，θ，φ)]=[Vm(k，θ，φ)]

(2)

式中：In(n=1, 2,…,N)為未知感應(yīng)電流的展開(kāi)系數(shù)，N為RWG基函數(shù)個(gè)數(shù)； [Zmn]和[Vm]分別是阻抗矩陣和激勵(lì)矩陣；k為自由空間的波數(shù)；θ和φ為入射角。通過(guò)解矩陣方程(2)可以得到表面感應(yīng)電流的分布，進(jìn)而可以計(jì)算得出雷達(dá)散射截面σ.

(3)

若采用傳統(tǒng)矩量法求解，則需要在給定的角域內(nèi)[θ1,θ2]和[φ1,φ2]逐點(diǎn)掃描反復(fù)求解矩陣方程(2)，勢(shì)必導(dǎo)致巨大的計(jì)算量，占用大量的計(jì)算時(shí)間。

2.2 二維外推技術(shù)

文獻(xiàn)[8]-[9]中Maehly逼近結(jié)合矩量法只用于了快速計(jì)算雷達(dá)散射截面的頻率響應(yīng)，無(wú)法獲得雷達(dá)散射截面的二維特性。因此，將其擴(kuò)展成二維外推技術(shù)對(duì)目標(biāo)雷達(dá)散射截面的角度θ和φ進(jìn)行同時(shí)外推，快速計(jì)算雷達(dá)散射截面的空域二維特性。Maehly逼近結(jié)合矩量法的基本思想是在給定的角域內(nèi)，通過(guò)坐標(biāo)變換可得關(guān)于角度θ和φ的切比雪夫節(jié)點(diǎn)。采用矩量法求解電場(chǎng)積分方程，計(jì)算出這些切比雪夫節(jié)點(diǎn)處的表面感應(yīng)電流，從而獲得該角域內(nèi)表面感應(yīng)電流的切比雪夫多項(xiàng)式(又名最佳一致多項(xiàng)式逼近)[13]，并通過(guò)Maehly逼近將切比雪夫多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，由此獲得任意入射角度時(shí)的表面感應(yīng)電流分布。對(duì)給定的角域θ∈[θ1,θ2]和φ∈[φ1,φ2]作坐標(biāo)變換可得

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，Lθ，Lφ，Mθ和Mφ分別表示零點(diǎn)和極點(diǎn)的展開(kāi)階數(shù)。

(8)

利用切比雪夫多項(xiàng)式的恒等式

(9)

則

(10)

(11)

把式(11)代入式(8)可得

(12)

(13)

(14)

3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

一金屬平板(2λ×2λ)挖有三個(gè)圓孔(r1=0.15λ,r2=0.25λ,r3=0.7λ)，一φ極化平面波入射。平板表面被剖分成692個(gè)三角面片，一共N=951個(gè)未知量。采用Maehly逼近結(jié)合MoM，AWE技術(shù)和MoM分別計(jì)算了該平板在φ=0°時(shí)的單站RCS隨入射角度θ的變化情況，計(jì)算結(jié)果如圖1所示。AWE技術(shù)以θ=45°作為展開(kāi)點(diǎn)，1°為計(jì)算間隔。由圖1可知，AWE技術(shù)有效的計(jì)算角域約為22°～69°，而Maehly逼近結(jié)合MoM能在整個(gè)角域內(nèi)(0°～90°)很好地逼近MoM逐點(diǎn)計(jì)算的結(jié)果。

與AWE技術(shù)中padé逼近相比，在取相同階數(shù)的情況下，Maehly逼近能在更寬的角域內(nèi)很好地與MoM計(jì)算結(jié)果相吻合。在θ(-90°～90°)和φ(0°～360°)內(nèi)觀察該平板的單站RCS隨入射角θ和φ的變化情況。圖2給出了采用本文的Maehly逼近(Lφ=9,Mφ=9,Lθ=9,Mθ=9)結(jié)合MoM計(jì)算的該平板二維散射特性。當(dāng)取L=M或L=M+1時(shí)誤差將最小[2]。將φ分別等于0°，30°，45°，60°時(shí)Maehly逼近結(jié)合MoM計(jì)算的結(jié)果與MoM逐點(diǎn)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，計(jì)算間隔為1°，如圖3所示。不同角度入射時(shí)Maehly逼近結(jié)合MoM與MoM逐點(diǎn)計(jì)算結(jié)果吻合良好。Maehly逼近和MoM逐點(diǎn)計(jì)算時(shí)間分別為146 min和1910 min。由此可見(jiàn)：應(yīng)用最佳一致有理逼近理論結(jié)合矩量法分析目標(biāo)雷達(dá)散射截面的空域二維特性，使得計(jì)算效率大大提高。

圖1 RCS隨入射角度θ變化

圖2 平板的單站RCS

圖3 RCS隨入射角度θ變化

一去掉底面的圓錐體高為1.0λ，底面半徑為0.5λ。組合體表面被剖分成637個(gè)三角面片，一共N=937個(gè)未知量。φ極化平面波入射，采用本文的Maehly逼近(Lφ=9,Mφ=9,Lθ=9,Mθ=9)結(jié)合MoM分析圓錐體隨入射角度θ和φ同時(shí)變化的二維散射特性，計(jì)算的單站RCS如圖4所示。由于圓錐體的對(duì)稱性，只考察了θ從-90°～90°和φ從0°～180°之間的變化。將φ分別等于0°，30°，45°，60°時(shí)的結(jié)果與MoM逐點(diǎn)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，計(jì)算間隔為1°，如圖5所示。Maehly逼近結(jié)合MoM和MoM逐點(diǎn)計(jì)算時(shí)間分別為122 min和1754 min。與矩量法的計(jì)算時(shí)間相比，該方法大大節(jié)省了計(jì)算機(jī)耗時(shí)。從圖5可以看出，不同角度入射時(shí)采用Maehly逼近結(jié)合MoM完全能逼近MoM逐點(diǎn)計(jì)算的結(jié)果，并且有效地提高了計(jì)算效率，數(shù)值結(jié)果證明了該方法的有效性。

圖4 圓錐體的單站RCS

圖5 圓錐體RCS隨入射角度θ變化

4. 結(jié) 論

本文介紹了Maehly逼近結(jié)合矩量法在目標(biāo)雷達(dá)散射截面的角度外推中的應(yīng)用，將Maehly逼近推廣成二維外推技術(shù)，應(yīng)用于目標(biāo)雷達(dá)散射截面角度(θ和φ)的同時(shí)外推，數(shù)值結(jié)果證明了該方法的有效性。Maehly逼近結(jié)合MoM的結(jié)果與MoM逐點(diǎn)計(jì)算結(jié)果非常吻合，該方法能有效提高計(jì)算效率。

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