夏昊冉，胡永培

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039）

Fuzzy邏輯是一門嶄新的數(shù)學(xué)分支，它始于1965年美國(guó)自動(dòng)控制論專家L.A.Iadeh的開(kāi)創(chuàng)性論文“Fuzzy集合”.憑借Fuzzy集中的隸屬原則和貼近原則，人們能夠?qū)?wèn)題做出較準(zhǔn)確的評(píng)判和決策.但事物的特征信息存在著復(fù)雜性、模糊性和不確定性，如:一個(gè)測(cè)驗(yàn)，80分到90分為等級(jí)“良”，70分到80分為等級(jí)“中等”，一個(gè)考試估計(jì)分?jǐn)?shù)在77分到82分之間，那么這個(gè)考生的成績(jī)可能為什么等級(jí)，正如這樣，得到的數(shù)據(jù)并非是一個(gè)確定的信息，而是一個(gè)區(qū)間或一個(gè)范圍.針對(duì)這種情形，有學(xué)者提出了建立區(qū)間數(shù)Fuzzy集［1］，文獻(xiàn)［2］給出一種區(qū)間數(shù)Fuzzy集的隸屬原則，并介紹了一種模式識(shí)別的方法.郭春香，郭耀煌［3］提出格序決策理論，對(duì)區(qū)間數(shù)Fuzzy集做了研究.運(yùn)用區(qū)間數(shù)Fuzzy集解決模糊綜合評(píng)價(jià)的文獻(xiàn)更是很多，比如文獻(xiàn)［4］［5］.

此處基于區(qū)間數(shù)Fuzzy集知識(shí)，對(duì)文獻(xiàn)［3］提出的“偏好距離”進(jìn)行簡(jiǎn)化，并在貼近度的基礎(chǔ)上，提出貼近區(qū)間概念，給出了一種新的區(qū)間數(shù)Fuzzy集模式識(shí)別方法，實(shí)例證明了該方法的可靠性和有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)A=［a－，a+］={x|a－≤x≤a+}，稱A為區(qū)間數(shù);若a－=a+，則稱A為退化區(qū)間數(shù);若0A，稱A為無(wú)零區(qū)間數(shù);若A=［0，1］，則稱A為單位閉區(qū)間，記作I.

定義3 設(shè)X為非空普通集合，稱映射f:X→［I］為X上的區(qū)間數(shù)Fuzzy集.X上所有的區(qū)間數(shù)Fuzzy集記為IF（X）;論域U上所有區(qū)間數(shù)Fuzzy子集構(gòu)成的子集稱為區(qū)間數(shù)Fuzzy冪集，記作IF（U）.

2 區(qū)間數(shù)Fuzzy集的序

根據(jù)文獻(xiàn)［6］中的偏序概念，可以推出如下定理.

定理1 若P是一個(gè)區(qū)間數(shù)集合，?A=［a－，a+］，B=［b－，b+］∈P，稱P為一個(gè)偏序集，滿足:A≤B?a－≤b－，a+≤b+.

從自反性、反對(duì)稱性、傳遞性三方面容易驗(yàn)證.

3 區(qū)間數(shù)上的距離

可以根據(jù)實(shí)數(shù)上距離的定義，給出區(qū)間數(shù)上的距離，如下:

定理2 設(shè)A=［a－，a+］，B=［b－，b+］，則區(qū)間A與區(qū)間B的距離可以定義為d（A，B）=|a－－b－|+|a+－b+|.顯然，這個(gè)距離的定義同樣滿足非負(fù)性、自反性和三角不等式.

文獻(xiàn)［3］通過(guò)與兩區(qū)間數(shù)的擬上下確界比較，計(jì)算其之間的“偏好距離”，得出這兩個(gè)區(qū)間的“序關(guān)系”.此處提出如下定理，無(wú)須求其擬上下確界，簡(jiǎn)化了文獻(xiàn)［3］中所提及的方法，但仍可以得到相同的結(jié)論.

首先，假設(shè)這兩個(gè)區(qū)間是不具備定理1條件的“偏序關(guān)系”，否則“序關(guān)系”已經(jīng)確定.

即對(duì)圖1的b情況做討論.

定理3 對(duì)于不滿足定理1的兩區(qū)間A=［a－，a+］，B=［b－，b+］，C為區(qū)間A，B的擬下（上）確界［3］;D=［d－，d+］為任意一個(gè)滿足序關(guān)系D≤A，D≤B（A≤D，B≤D）的區(qū)間，則d（A，B）和d（B，C）的大小關(guān)系與d（A，D）和d（B，D）的大小關(guān)系相一致.

證明 不妨設(shè)a－≤b－，a+≥b+，C為A，B的擬下確界，則C=［a－，b+］，d－≤a－，d+≤a+;d－≤b－，d+≤b+;d（A，C）=|a－－a－|+|a+－b+|=a+－b+;d（B，C）=|b－－a－|+|b+－b+|=b－－a－.所以d（A，C）－d（B，C）=（a++a－）－（b++b－）.同理d（A，D）－d（B，D）=（a++a－）－（b++b－），所以d（A，C）－d（B，C）=d（A，D）－d（B，D）.即d（A，B）和d（B，C）的大小關(guān)系與d（A，D）和d（B，D）的大小關(guān)系相一致.

該定理說(shuō)明，在求區(qū)間數(shù)的序關(guān)系時(shí)，對(duì)于不具備偏序關(guān)系的區(qū)間，只需利用距離定義，與某一“基準(zhǔn)”比較即可.“基準(zhǔn)”可以是擬上、下確界，也可以是其他區(qū)間.

實(shí)例1 （數(shù)據(jù)來(lái)自于文獻(xiàn)［3］）

圖1 兩區(qū)間關(guān)系圖示

以D為基準(zhǔn)，利用定理3，得d（D，A）=0.003 7，d（D，E）=0.004 2，所以d（D，A）＜d（D，E），也就是A離E較近.有理由認(rèn)為D＜A＜E＜C＜B，其判斷結(jié)果與文獻(xiàn)［3］相同.

注:若d（D，A）=d（D，E），可以認(rèn)為A=E.

4 貼近原則

定義4 設(shè)A，B是論域U的區(qū)間數(shù)Fuzzy子集，則A，B交集A∩B，A，B并集A∪B，A，B的包含關(guān)系定義如下:

定義5 設(shè)A∈IF（U），有:

（1）HgtA=［maxA－（x），maxA+（x）］，x∈U叫區(qū)間數(shù) Fuzzy集A的高度區(qū)間.

（2）DpnA=［minA－（x），minA+（x）］，x∈U叫區(qū)間數(shù) Fuzzy集A的低度區(qū)間.

定義6（貼近區(qū)間）設(shè)對(duì)于每對(duì)A，B∈IF（U），有區(qū)間q（A，B）對(duì)應(yīng)，滿足:

（1）［0，0］≤q（A，B）≤［1，1］;（2）q（A，B）=q（B，A）;（3）A?B?C時(shí)，q（A，C）≤q（A，B）.

存在q（B，C），則稱q為IF（U）中貼近區(qū)間，稱q（A，B）為區(qū)間數(shù)Fuzzy集A與B的貼近區(qū)間.

證明

（1）顯然［0，0］≤Hgt（A∩B）≤［1，1］，［0，0］≤Dpn（A∪B）≤［1，1］，則［0，0］≤q（A，B）≤［1，1］.

（2）q（A，B）=q（B，A），顯然.

實(shí)例2 設(shè)一個(gè)目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)有5個(gè)區(qū)間數(shù)Fuzzy模式（表1），現(xiàn)在有1個(gè)目標(biāo)A*:

A*=（［0.402，0.412］，［0.2，0.221］，［0.102，0.135］，［0.385，0.421］，［0.428，0.472］，［0.521，0.552］），那么A*可能屬于A1，A2，A3，A4，A5中哪個(gè)模式?

表1 目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)的區(qū)間Fuzzy模式

解 運(yùn)用定理4 算法，得出q（A*，A1）=［0.541，0.585］，q（A*，A2）=［0.535，0.595］，q（A*，A3）=［0.5，0.515］，q（A*，A4）=［0.451，0.4825］，q（A*，A5）=［0.4825，0.509］.則:

因?yàn)閐（q（A*，A1），q（A*，A3））＜d（q（A*，A2），q（A*，A3）），所以A*與A2最為貼近，所以可以把A*歸為模式A2.

［1］GORZALCZALCZANY M B.A method of inference in in approximate reasoning based on interval—valued fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1987（21）:1-17

［2］張興芳，齊玉霞.區(qū)間值Fuzzy集的隸屬原則及其應(yīng)用［J］.聊城師院學(xué)報(bào)，1998，11:12-15

［3］郭春香，郭耀煌.具有區(qū)間數(shù)的多目標(biāo)格序決策方法研究［J］.預(yù)測(cè)，2004，23:71-73

［4］劉俊娟.基于最大相對(duì)隸屬度的區(qū)間數(shù)多指標(biāo)評(píng)價(jià)在交通規(guī)劃中的應(yīng)用［J］.現(xiàn)代交通技術(shù)，2007（4）:59-72

［5］郭志林，陸鳳玲.課堂教學(xué)質(zhì)量的區(qū)間值模糊評(píng)判［J］.南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（4）:34-36