彭鴻廣

(1.浙江科技學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,杭州 310023;2.上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,上海 200052)

競賽是現(xiàn)代社會(huì)中廣泛存在的一種競爭機(jī)制。研發(fā)競賽是指競賽發(fā)起者為了激勵(lì)創(chuàng)新、獲取創(chuàng)新成果而設(shè)立的競賽機(jī)制,它將事先規(guī)定的獎(jiǎng)勵(lì)授予給取得最佳研發(fā)成果的競賽參與人。在通常的研發(fā)合約外包中,委托人不得不支付高昂的質(zhì)量檢測成本和對代理人努力程度的監(jiān)控成本。有效的研發(fā)競賽機(jī)制借助于競賽參與人之間的競爭,不僅使得競賽發(fā)起者只需要比較競賽參與人之間的相對績效,而且還可以避免參與人的逆向選擇與道德風(fēng)險(xiǎn)問題。

如何設(shè)計(jì)競賽機(jī)制,使得競賽發(fā)起者的收益最大?Tylor、Kaplan和Sela、Che和Gale、Konrad和Kovenock、喬恒和邱菀華[1-5]等研究了競賽參與人的數(shù)量,參與人之間的能力差異,以及競賽獎(jiǎng)金的設(shè)置對競賽發(fā)起者收益的影響。他們皆假定研發(fā)投入和研發(fā)質(zhì)量之間是確定性的關(guān)系。但事實(shí)上研發(fā)成果的質(zhì)量在事前通常是不確定的,因而假定研發(fā)投入和研發(fā)質(zhì)量之間是隨機(jī)性關(guān)系更為合理。

1 問題描述與模型假設(shè)

研發(fā)競賽過程如下:競賽發(fā)起者首先宣布對研發(fā)競賽獲勝者的固定獎(jiǎng)勵(lì)金額,然后競賽參與人根據(jù)自身和對手的類型信息作出研發(fā)投入決策,在經(jīng)過一定時(shí)間的研發(fā)并取得研發(fā)成果后,研發(fā)質(zhì)量較高的一方獲勝,取得事先規(guī)定的固定獎(jiǎng)勵(lì)。當(dāng)研發(fā)質(zhì)量相同時(shí),隨機(jī)確定獲勝者。參與人面臨的問題是在研發(fā)開始之前如何確定研發(fā)投入以使自己的期望收益最大。

本模型作出如下假設(shè):1)競賽發(fā)起者與參與人皆是理性的和風(fēng)險(xiǎn)中性的。2)競賽發(fā)起者與競賽參與人之間不存在有約束力的合作協(xié)議。3)研發(fā)成本C為研發(fā)投入x和研發(fā)效率β的函數(shù),C(x)=βx2,其中β＞0。β即參與人的類型,β越小表明研發(fā)效率越高。4)研發(fā)競賽發(fā)起者獲得的效用為U s=γq,其中q為研發(fā)成果的質(zhì)量,γ為正的常數(shù)。競賽發(fā)起者給予獲勝者固定獎(jiǎng)勵(lì)V,V＜γ。5)每個(gè)競賽參與人的類型為公共知識,即參與人不僅了解自己的類型,而且也了解對方的類型,競賽的發(fā)起者也知道所有參與人的類型。

2 研發(fā)質(zhì)量和研發(fā)投入之間關(guān)系隨機(jī)時(shí)的決策情形

借鑒Fullerton[6]關(guān)于研發(fā)質(zhì)量和研發(fā)投入之間隨機(jī)關(guān)系的假定,假設(shè)研發(fā)質(zhì)量的分布函數(shù)為:F(q)=qx,其中x為研發(fā)投入,q為研發(fā)質(zhì)量,q∈[0,1]。密度函數(shù)用 f(q)表示。研發(fā)質(zhì)量的分布函數(shù)為公共知識。下標(biāo)i和j分別代表競賽參與人i和j。當(dāng)xi＞x j時(shí),qi一階隨機(jī)優(yōu)于qj,即競賽參與人的研發(fā)投入越大,越有可能取得質(zhì)量較高的研發(fā)成果。

當(dāng)只考慮2個(gè)參與人i和j時(shí),參與人i獲勝的概率為:

為得出更為直觀的結(jié)論,以下只考慮2個(gè)參與人i和j的情況。

命題1 競賽參與人i和j的均衡策略(x*i,x*j)由下式?jīng)Q定:

競賽發(fā)起者的期望收益為:

推論1 當(dāng)2個(gè)競賽參與者的研發(fā)效率相同時(shí),研發(fā)質(zhì)量隨機(jī)環(huán)境下競賽發(fā)起者的期望收益隨研發(fā)效率的降低而降低。

3 研發(fā)質(zhì)量為研發(fā)投入的確定性函數(shù)時(shí)的決策情形

命題2 研發(fā)質(zhì)量為研發(fā)投入的確定性函數(shù)時(shí),不存在參與人研發(fā)投入的純策略納什均衡。

證明 用反證法。假設(shè)存在純策略納什均衡(xi′,xj′),則必有 xi′=xj′。如果 xi′≠xj′,假設(shè) xi′＞xj′＞0,則參與人 j獲勝的概率為0,顯然參與人 j不會(huì)付出xj′的研發(fā)投入。而當(dāng)xi′=xj′時(shí),參與人的研發(fā)質(zhì)量

同理,給定參與人i的策略不變,j也有動(dòng)力偏離x j′。所以不存在參與人研發(fā)投入的純策略納什均衡。

命題3 研發(fā)質(zhì)量為研發(fā)投入的確定性函數(shù)時(shí),存在參與人研發(fā)投入的混合策略納什均衡。

證明 假設(shè)參與人j采用混合策略,其研發(fā)投入的分布函數(shù)為Gj(x)。當(dāng)j采用該混合策略時(shí),參與人i無論研發(fā)投入為多少,皆獲得相同的期望收益。當(dāng)i的研發(fā)投入為x i時(shí),期望收益為:πi=Gj(xi)?V-=cj,cj≥0為常數(shù)?？紤]到分布函數(shù)的特征,可得同理有:Gi(x)=證畢。

競賽參與人i的期望研發(fā)質(zhì)量為:

假設(shè)βi≤βj,競賽參與人i獲勝的概率為:

競賽發(fā)起者的期望收益為:

推論2 當(dāng)競賽參與者的研發(fā)效率相同時(shí),確定性環(huán)境下競賽發(fā)起者的期望收益隨參與者研發(fā)效率的降低而降低。

命題4 當(dāng)α＜α＾時(shí),研發(fā)質(zhì)量隨機(jī)環(huán)境下的競賽發(fā)起者的期望收益要低于研發(fā)質(zhì)量確定環(huán)境下的期望收益。

證明 為計(jì)算上的方便,令βj為競賽參與人中較高的研發(fā)效率,V=2λ2βj,βi=α4βj,且α≥1,這對后面結(jié)論的成立與否并無影響。

4 算 例

1)假設(shè)模型中γ=5,當(dāng)βi=βj=1時(shí),研發(fā)質(zhì)量隨機(jī)環(huán)境下競賽發(fā)起者的期望收益為π*s=5-V-研發(fā)質(zhì)量確定環(huán)境下競賽發(fā)起者的期望收益為;當(dāng)βi=βj=0.5時(shí),研發(fā)質(zhì)量隨機(jī)環(huán)境下競賽發(fā)起者的期望收益為研發(fā)質(zhì)量確定性環(huán)境下競賽發(fā)起者的期望收益為圖1表示在研發(fā)質(zhì)量隨機(jī)環(huán)境和確定性環(huán)境下,當(dāng)βi=βj=1,βi=βj=0.5時(shí)競賽發(fā)起者的期望收益隨獎(jiǎng)勵(lì)金額變化的情況。從圖1中可以看出,在同一獎(jiǎng)勵(lì)金額下,βi=βj=0.5時(shí),參與者研發(fā)效率較βi=βj=1發(fā)起者的收益要高。

2)假設(shè)模型中γ=5,βi=0.5,βj=1,質(zhì)量隨機(jī)環(huán)境下競賽發(fā)起者的期望收益為確定性環(huán)境下競賽發(fā)起者的期望收益為圖2表示2種不同環(huán)境下競賽發(fā)起者的收益隨獎(jiǎng)勵(lì)金額變化的情況。從圖2可以看出,當(dāng)βi=0.5,βj=1時(shí),研發(fā)質(zhì)量隨機(jī)環(huán)境下的競賽發(fā)起者的期望收益要低于研發(fā)質(zhì)量確定環(huán)境下的期望收益。

5 結(jié) 語

筆者通過建立研發(fā)競賽的非合作博弈模型,考慮了研發(fā)質(zhì)量是研發(fā)投入的隨機(jī)函數(shù)和確定性函數(shù)2種情形,分別探討了2種不同情形下競賽參與人的均衡策略和競賽發(fā)起者的期望收益。研究發(fā)現(xiàn):在研發(fā)質(zhì)量隨機(jī)環(huán)境下存在著參與人的純策略納什均衡,而在確定性環(huán)境下存在著競賽參與人的混合策略納什均衡;當(dāng)2個(gè)競賽參與者的研發(fā)效率相同時(shí),競賽發(fā)起者的期望收益皆隨競賽參與者研發(fā)效率的降低而降低;當(dāng)競賽參與者研發(fā)效率差異在一定范圍內(nèi)時(shí),研發(fā)質(zhì)量隨機(jī)環(huán)境下的競賽發(fā)起者的期望收益要低于研發(fā)質(zhì)量確定環(huán)境下的期望收益。這一研究結(jié)論對競賽發(fā)起者在不同情形下設(shè)置競賽機(jī)制和選擇競賽參與人具有較大的參考意義。

本研究僅考慮了完全信息即每個(gè)參與人的類型為公共知識時(shí)的情形。假設(shè)參與人的類型為不完全信息,并將參與人數(shù)擴(kuò)展為多人的情形則是后續(xù)研究的方向。

[1] TAYLOR C R.Digging for Golden Carrots:An analysis of research tournaments[J].The American Economic Review,1995,85(4):872-890.

[2] KAPLAN T R,SELA A.Effective contests[J].Economics Letters,2010,106(1):38-41.

[3] CHE Y K,GALE I.Optimal design of research contests[J].The American Economic Review,2003,93(3):646-671.

[4] KONRAD K A,KOVENOCK D.Multi-battle contests[J].Games and Economic Behavior,2009,66(1):256-274.

[5] 喬恒,邱菀華.遞增獎(jiǎng)品R&D競賽的模型設(shè)計(jì)與均衡分析[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2007(4):77-80.

[6] FULLERTON R L,LINSTER B G.Using auctions to reward tournament winners:Theory and experimental investigations[J].The Rand Journal of Economics,2002,33(1):62-84.