袁宏俊，胡凌云

（安徽財經(jīng)大學 a.統(tǒng)計與應用數(shù)學學院；b.管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

由于每種預測方法利用的數(shù)據(jù)源不盡相同，不同的數(shù)據(jù)源都是從不同的角度提供各方面有用的信息，因此每種預測方法之間并不是相互排斥的，而是相互聯(lián)系、相互補充的。在預測的過程中，如果想當然地認為某個單項預測方法的預測誤差較大，就把該種預測方法棄之不用，這可能造成部分有用的信息丟失，因此，Bates.J.M.和Granger.C.W.J.于l969年首次系統(tǒng)提出組合預測方法。由于組合預測方法能有效地提高預測精度，一直是國內(nèi)外預測界研究的熱點課題之一，并取得了大量的研究成果[1～8]。文獻[4]針對無非負約束的以誤差平方和達到最小的最優(yōu)組合預測模型，提出了劣性組合預測、非劣性組合預測、優(yōu)性組合預測的概念，并利用組合預測絕對誤差信息矩陣的性質(zhì)判斷簡單平均方法是非劣性組合預測、優(yōu)性組合預測的條件。文獻[5]給出了研究組合預測方法的另一新途徑，即提出了四種基于相關性指標的最優(yōu)組合預測模型的研究，與傳統(tǒng)的組合預測方法有較大的差別。本文擬在現(xiàn)有文獻的基礎上，提出一種新的相關性的組合預測方法，定義算術平均最小貼近度建立最優(yōu)組合預測模型；在給出優(yōu)性組合預測、預測方法優(yōu)超等概念基礎上，從理論上研究優(yōu)性組合預測存在的充分條件、冗余預測方法的存在性及判定方法定理；最后通過實例表明該方法的可行性、有效性。

1 幾個基本概念

設某社會經(jīng)濟現(xiàn)象的指標序列的實際值為{xt，t=1，2，…，N}，設有m種可行的單項預測方法對其進行預測。xit為第i種預測方法在第t時刻的預測值 （或稱擬合值）；i=1，2，…，m；t=1，2，…，為傳統(tǒng)的實際觀測值xt的組合預測值。設L=(l1,l1，…，lm)T為m種單項預測在組合預測中的加權系數(shù)向量，它滿足由于各預測數(shù)據(jù)一般不滿足歸一化，故按決策屬性指標無量綱化方法進行處理：

其中 maxt=max{xt,x1t,x2t，…，xmt},mint=min{xt,x1t,x2t，…，xmt}。

顯然有 yt，yit∈[0，1]，同時

定義 2[9]設 A，B，C∈R（X），且映射 ?！肦（X）×R（X）→[0，1]滿足下列條件：

①Γ（A，B）=Γ（B，A）；

②Γ（A，A）=1，Γ（X，?）=0；

③若?x∈X，A（x）≤B(x)≤C(x)或 A(x)≥B(x)≥C(x)，有 Γ(A,C)≤Γ(A,B)

則稱Γ為R(X)上的貼近度函數(shù)，稱Γ(A,B)為 A與 B的貼近度，其中R(X)為實函數(shù)。

特別地，設 X={x1，x2，…，xn}為序列，A,B∈R(X)為實數(shù)序列，不妨定義如下的算術平均最小貼近度Γ（∧表示取小運算）：

定義3

稱Γi(yt,yit)為第i種單項預測方法預測值與指標實際值的算術平均最小貼近度，稱Γ(yt,y^t)為組合預測值與指標實際值的算術平均最小貼近度。

組合預測值與實際觀測值的算術平均最小貼近度Γ為各種單項預測方法的加權系數(shù)l1,l2,…，lm的函數(shù)，記為Γ(l1,l2,…，lm)。當從算術平均最小貼近度角度考察組合預測問題時，Γ(l1,l2，…，lm)越大表示組合預測方法越有效。當組合預測值序列與實際觀測值序列完全相同時，算術平均最小貼近度達到了最大值1。然而預測誤差不可避免，因此，基于新的相關性的算術平均最小貼近度的最優(yōu)組合預測模型為：

記 Γmin=min{Γi,i=1,2,…，m}，Γmax=max{Γi,i=1，2，…，m}

定義 4 若 Γ(l1,l2,…，lm)＜Γmin，則稱權系數(shù) l1,l2,…，lm確定的組合預測模型為劣性組合預測；若Γmin≤Γ(l1,l2，…，lm)≤Γmax，則稱之為非劣性組合預測；若 Γ(l1,l2,…，lm)＞Γmax，則稱之為優(yōu)性組合預測。

定義5若第i種、第k種單項預測法的無量綱化指標誤差及預測值無量綱化數(shù)據(jù)滿足：

則稱基于算術平均最小貼近度下第i種單項預測方法優(yōu)超第k種單項預測方法，若對任意時刻均有嚴格的不等號成立，則稱第i種單項預測方法嚴格優(yōu)超第k種單項預測方法。

定義6若某種單項預測方法在組合預測模型最優(yōu)權系數(shù)中為零，則稱該單項預測方法為冗余預測方法。在一個組合預測模型中，設有m種單項預測方法參與組合預測，若最優(yōu)解中出現(xiàn)冗余方法的個數(shù)為m'，則稱比例系數(shù)k=m'/m為組合預測模型的冗余度。

顯然0≤k≤(m-1)/m，冗余度越小表示組合預測模型選擇的單項預測方法越有效。

2 非劣性組合預測和優(yōu)性組合預測的存在性定理

定理1基于算術平均最小貼近度組合預測模型（4）的任一滿足約束條件的解對應的組合預測至少是非劣性組合預測。

證明：設 L=(l1,l2，…，lm)T為組合預測模型（4）的任一滿足約束條件的解，則有：

根據(jù)定義4知定理1成立。

推論 在基于算術平均貼近度組合預測模型（4）中，簡單平均組合預測的方法一定是非劣性的。

定理 2 假設 Γ1=max{Γi,i=1，2，…，m}，eit=yt-y1t≥0,bt∈(-e1t,e1t)，若(N+1)×m的線性方程組AL=B存在非負解,則組合預測模型(4)一定存在優(yōu)性組合預測。其中A=(E,R)T,E=(eit)m×N為無量綱化指標誤差信息矩陣,R=(1,1,…，1)T為m維列向量,B=(b1,b2，…，BN，1)T為 N+1 維列向量,L=（l1,l2,…，lm）T為加權系數(shù)向量。

證明:設線性方程組AL=B存在非負解L=(l1,l2，…，lm)T,即AL=B,利用矩陣乘法將其寫成分量形式為:

由于 bt∈(-e1t,e1t),從而

所以：…，m}

根據(jù)定義4知定理2成立。

推論 假設 Γ1=max{Γi,i=1，2，…,m}，若組合預測模型的無量綱化指標誤差信息矩陣E=(eit)m×N中任一列m個元素e1t,e2t，…，emt的算術平均數(shù)1，2，…，N），則簡單平均組合預測方法是優(yōu)性組合預測方法。

定理3假設基于算術平均最小貼近度的組合預測模型（4）的冗余度 k＜（m-1）/m，則其最優(yōu)解對應的組合預測一定為優(yōu)性組合預測方法。

組合預測模型（4）目標函數(shù)是求最大值，則有

因為組合預測模型（4）的冗余度 k＜（m-1）/m，所以最優(yōu)解中至少有兩個非 0 分量，從而(1,0,…，0)T，(0，1，…，0)T，…，（0，0，…，1）T這m個m維單位列向量分別是組合預測模型（4）的可行解而不是最優(yōu)解，由（7）、（10）式知

3 冗余預測方法的存在性及其判定

定理4組合預測模型(4)的最優(yōu)目標函數(shù)值是的單調(diào)不減函數(shù),即

定理4表明在實際過程中組合預測模型（4）再增加一個單項預測方法時，對應的最大的算術平均最小貼近度可能不變，在一定條件下組合預測模型（4）可能存在冗余預測方法。

定理5若組合預測模型的無量綱化指標誤差信息矩陣E=(eit)m×N中任一列m個元素e1t,e2t,…，emt的符號完全相同，且第j種單項預測方法嚴格優(yōu)超第k種單項預測方法，則組合預測模型（4）的冗余度至少為1/m，即至少存在第種單項預測方法為冗余預測方法。

證明：假設第種單項預測方法不是冗余預測方法，則在組合預測模型（4）的最優(yōu)解中，第 k種單項預測方法對應的最優(yōu)權系數(shù)

因為E=(eit)m×N中任一列m個元素e1t,e2t,…，emt的符號完全相同，所以從而最優(yōu)解L*對應的目標函數(shù)值為

因為第j種預測方法嚴格優(yōu)超第k種預測方法，即|ejt|＜|ekt|且 yjt＞ykt，所以上式為：

4 實證

為了反映本文提出的新的相關性組合預測模型的有效性，應用基于向量夾角余弦的相關性指標的組合預測模型[6]中的數(shù)據(jù)進行實證分析，基礎數(shù)據(jù)見表1

表1 指標實際值和各單項預測方法預測值數(shù)據(jù)

利用LINGO軟件計算得組合預測模型 (4)最優(yōu)權系數(shù)為：l1=0.6506，l2=0.3494，l3=0。

表2 指標實際值和基于算術平均最小貼近度的組合預測值

按照組合預測效果評價的原則，采用下列誤差指標作為評價指標體系。

表3 各種方法預測效果評價指標體系

從表3可以看出，基于算術平均最小貼近度的組合預測模型的各誤差指標均低于三種單項預測模型預測誤差指標值，表明提出的組合預測方法能夠有效提高預測精度。同時，基于算術平均最小貼近度的組合預測模型的各誤差指標與文獻[6]中各誤差指標結(jié)果相當，多數(shù)誤差指標優(yōu)于文獻[6]，因而基于算術平均最小貼近度的新的相關性組合預測模型是一種有效的組合預測方法。

另外三種單項預測方法預測值序列與實際觀測值序列的算術平均最小貼近度分別為Γ1=0.7565、Γ2=0.6556和Γ3=0.2558，組合預測值序列與實際觀測值序列的算術平均最小貼近度為 Γ=0.7626，滿足 Γ＞max(Γ1,Γ2,Γ3)，故由定義 4 知實例基于算術平均最小貼近度的最優(yōu)組合預測模型為優(yōu)性組合預測。

[1]Bates J.M.,Granger C.W.J.Combination of Forecasts[J].Operations Research Quarterly,1969,20(4).

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[6]陳華友，盛昭瀚，劉春林.基于向量夾角余弦的組合預測模型的性質(zhì)研究[J].管理科學學報，2006,9(2).

[7]楊桂元，唐小我.非負權重組合預測模型優(yōu)化方法研究[J].數(shù)量經(jīng)濟技術經(jīng)濟研究，1998,15(3).

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[9]劉普寅，吳孟達.模糊理論及其應用[M].長沙：國防科技大學出版社，1998.