黃騰飛，李幫義，熊季霞

（1.南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南京 210016；2.南京中醫(yī)藥大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南京 210027）

0 引言

自從被人類發(fā)現(xiàn)開始，黃金就具備了貨幣、金融和商品屬性，并始終貫穿人類社會(huì)發(fā)展的整個(gè)歷史，其金融和商品屬性在不同的歷史階段表現(xiàn)出不同的作用力和影響力。當(dāng)今，隨著全球經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的變化和現(xiàn)代工業(yè)、科技的高速發(fā)展，黃金的應(yīng)用范圍逐漸擴(kuò)大，除了在金融儲(chǔ)備、貨幣、首飾中的應(yīng)用占重要地位外，還具有保值和投資功能。因此，對(duì)黃金價(jià)格的分析和預(yù)測(cè)便成了一個(gè)有意義的課題。但是，長(zhǎng)期以來(lái)，如同證券市場(chǎng)，作為分析主流的線性預(yù)測(cè)方法在黃金市場(chǎng)也遇到很大困難。那么，黃金市場(chǎng)是否也具有非線性？如果是，它是否也具有一定確定性，從而可以進(jìn)行某種程度的預(yù)測(cè)呢？本文從非線性動(dòng)力學(xué)角度出發(fā)，綜合運(yùn)用R/S分析、BDS檢驗(yàn)和遞歸圖方法對(duì)國(guó)內(nèi)黃金價(jià)格的非線性和確定性進(jìn)行分析檢驗(yàn)，以期為央行儲(chǔ)備、投資者分析決策提供有價(jià)值的理論依據(jù)。

1 檢驗(yàn)方法

1.1 平穩(wěn)化處理

非線性時(shí)間序列的很多處理方法要求時(shí)間序列是平穩(wěn)的，但來(lái)源于實(shí)際的數(shù)據(jù)通常不能滿足平穩(wěn)性的要求。人們通常采用差分和去趨勢(shì)的方法進(jìn)行平穩(wěn)化處理。在經(jīng)濟(jì)序列中常用的方法有收益率平穩(wěn)化方法（rate of return,ROR）和對(duì)數(shù)線性去趨勢(shì)平穩(wěn)化方法（log-linear de-trending,LLD）。設(shè) P（t）為時(shí)間序列，則有

或以lnP（t）為因變量，t為自變量，做對(duì)數(shù)線性回歸 lnP（t）=a+bt，得序列

1.2 R/S分析法

R/S分析法即重標(biāo)極差分析法，是Hurst在大量實(shí)證研究的基礎(chǔ)上提出的一種方法，后經(jīng)過(guò)多人努力逐漸完善。具體方法是首先計(jì)算時(shí)間序列的累積離差，得到經(jīng)調(diào)整過(guò)的時(shí)間序列的極差，再用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差均分這個(gè)調(diào)整過(guò)的極差。Hurst研究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)重標(biāo)的極差在時(shí)間增量上按冪律規(guī)模變化。R/S分析法可表述為：

取對(duì)數(shù)值得到:

log（c）為回歸方程的常數(shù)項(xiàng),斜率H則是Hurst指數(shù)的估計(jì)值，其取值在0～1之間。當(dāng)Hurst指數(shù)等于0.5時(shí)，時(shí)間序列服從標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)游走 （白噪聲）。當(dāng)Hurst指數(shù)介于0.5與1之間時(shí)，時(shí)間序列服從持久的、有偏的隨機(jī)過(guò)程（也稱為黑噪聲）。當(dāng)Hurst指數(shù)介于0與0.5之間時(shí)，時(shí)間序列是反持久性的（粉紅噪聲），比隨機(jī)游走有更多的均值回歸特征。此外，Hurst使用V統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)R/S分析的穩(wěn)定性

后來(lái)，Edigar Peters將V統(tǒng)計(jì)量擴(kuò)展為確定信息耗散的平均循環(huán)長(zhǎng)度的指標(biāo)。

1.3 BDS檢驗(yàn)法

BDS統(tǒng)計(jì)量是基于GP相關(guān)積分所建立起來(lái)的一種統(tǒng)計(jì)量，用于檢驗(yàn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性]。對(duì)于長(zhǎng)度為n的時(shí)間序列，構(gòu)造嵌入維數(shù)為m，時(shí)延為τ的嵌入向量為

其中 M=n-（m-1）τ為所構(gòu)造 m維向量的個(gè)數(shù)，H為Heaviside單位函數(shù)：

Brock、Dechert和Scheinkman證明了對(duì)于一個(gè)獨(dú)立同分布（i.i.d.）系統(tǒng)，當(dāng) m≥2，n→∞ 時(shí)，BDS 統(tǒng)計(jì)量

式中，σ(m,n,r)是{C(m,n,r)-C(1,n,r)m}的漸進(jìn)方差估計(jì)量，r是區(qū)間寬度。

在使用BDS進(jìn)行非線性檢查前，需要通過(guò)濾波消除原時(shí)間序列線性相關(guān)的成分，通常對(duì)原時(shí)間序列擬合AR（p）模型，在尋找到合適的階數(shù)p后，計(jì)算AR（p）的殘差序列并對(duì)該殘差序列進(jìn)行BDS檢驗(yàn)。殘差序列et的計(jì)算方法是對(duì)原序列按（7）式用最小二乘法擬合：

BDS檢驗(yàn)的零假設(shè)為：該殘差序列et是i.i.d.的。如果結(jié)果拒絕零假設(shè)，則意味著原時(shí)間序列在某個(gè)顯著水平下是非線性的。在BDS計(jì)算過(guò)程中p，r需要根據(jù)具體的時(shí)間序列特征進(jìn)行選擇。

1.4 遞歸圖分析法

遞歸圖主要用來(lái)定性地檢驗(yàn)時(shí)間序列的確定性。對(duì)于觀察獲得的時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，得向量xn，其中每個(gè)xi是m維嵌入空間中的一個(gè)點(diǎn)，代表系統(tǒng)在時(shí)刻i的狀態(tài)。以時(shí)刻i作為橫坐標(biāo)，j作為縱坐標(biāo)，取一給定距離r， 當(dāng) xi和 xj的距離||xi-xj||小于 r時(shí)，在（i，j）處作一個(gè)點(diǎn)，這就是遞歸圖，它描述了重構(gòu)的軌線是如何遞歸或重復(fù)自身的，揭示了系統(tǒng)的時(shí)間關(guān)聯(lián)信息。

對(duì)于來(lái)自周期系統(tǒng)的時(shí)間序列，遞歸圖為與對(duì)角線平行的一些帶構(gòu)成，對(duì)于來(lái)自混沌系統(tǒng)的時(shí)間序列，遞歸圖有更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，可以出現(xiàn)一些類周期現(xiàn)象，表現(xiàn)為一些小的，和對(duì)角線平行的帶，而對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng)則沒(méi)有這種結(jié)構(gòu)。因此，通過(guò)觀察遞歸圖中有沒(méi)有與對(duì)角線平行的帶，可以定性地檢驗(yàn)系統(tǒng)的確定性。

表1 上海黃金價(jià)格經(jīng)ROR和LLD平穩(wěn)化后的基本統(tǒng)計(jì)特征

表2 上海黃金價(jià)格R/S分析參數(shù)估計(jì)結(jié)果

2 實(shí)證分析

本文采用的是上海黃金交易所純度為99.95%的黃金現(xiàn)貨交易日收盤價(jià)格，時(shí)間從2002年10月30日到2010年2月26日，共1770個(gè)數(shù)據(jù)，來(lái)源為Bloomberg數(shù)據(jù)庫(kù)。

先對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行收益率平穩(wěn)化（ROR）和對(duì)數(shù)線性去趨勢(shì)平穩(wěn)化（LLD）處理，并對(duì)平穩(wěn)化處理后的時(shí)間序列進(jìn)行簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)分析,計(jì)算其均值、方差、偏度、峰度等,并且用Jarque-Bera測(cè)試檢驗(yàn)了其正態(tài)性。表1表明，上海黃金價(jià)格序列不服從正態(tài)分布,具有“尖峰厚尾”的特點(diǎn)。

2.1 中國(guó)黃金價(jià)格序列的非線性檢驗(yàn)

2.1.1 R/S分析

如表2、圖1和圖2所示，上海黃金價(jià)格序列在ROR和LLD兩種平穩(wěn)化后計(jì)算出Hurst指數(shù)分別為0.6301和0.9805，t檢驗(yàn)在95%置信度水平是顯著的。這說(shuō)明上海黃金價(jià)格序列存在著分型特征，價(jià)格波動(dòng)具備持久性，是有偏的隨機(jī)過(guò)程而不遵循隨即游走。而經(jīng)LLD平穩(wěn)化后的時(shí)間序列分型特征更為明顯。因此上海黃金價(jià)格時(shí)間序列波動(dòng)具有非線性特征。

表3 上海黃金價(jià)格經(jīng)ROR平穩(wěn)化后的BDS檢驗(yàn)結(jié)果

表4 上海黃金價(jià)格經(jīng)LLD平穩(wěn)化后的BDS檢驗(yàn)結(jié)果

從經(jīng)ROR平穩(wěn)化后序列的V統(tǒng)計(jì)量來(lái)看（圖3），在log（n）=1.9，n=80附近V曲線出現(xiàn)劇烈波動(dòng)并開始走平，說(shuō)明上海黃金價(jià)格信息和“記憶”的耗散時(shí)間大約是80個(gè)交易日。

2.1.2 BDS檢驗(yàn)

為進(jìn)行BDS檢驗(yàn)，要預(yù)先對(duì)平穩(wěn)化后的序列擬合AR(p)模型。取p=2，依（7）式進(jìn)行擬合得殘差 et，然后對(duì)殘差進(jìn)行BDS檢驗(yàn)。取嵌入維數(shù)2～5，平均循環(huán)長(zhǎng)度Q=80，嵌入延遲由Q=mτ來(lái)決定，r取序列中兩點(diǎn)間最大距離的2%、5%和8%，檢驗(yàn)結(jié)果見表3和表4。

由于BDS統(tǒng)計(jì)量滿足漸近的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,若計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量大于1.65，則在10%的顯著性水平下拒絕數(shù)據(jù)是i.i.d.的原假設(shè)，在表3、4中可以看出，在m小于5時(shí)，統(tǒng)計(jì)量均小于1.65，不能拒絕AR擬合模型的殘差是i.i.d.的原假設(shè)，從而可以認(rèn)為上海黃金價(jià)格序列的非線性特征不明顯。

2.2 確定性檢驗(yàn)

圖5和圖6分別是黃金價(jià)格序列經(jīng)收益率平穩(wěn)化和對(duì)數(shù)線性去趨勢(shì)平穩(wěn)化后的時(shí)間序列的遞歸圖?？梢园l(fā)現(xiàn)，經(jīng)LLD平穩(wěn)化后的遞歸圖中可以看到一些明顯的與對(duì)角線平行的帶狀結(jié)構(gòu)，而在經(jīng)ROR平穩(wěn)化后的遞歸圖中也可以看到很多細(xì)小的與對(duì)角線平行的帶狀結(jié)構(gòu)。因此，經(jīng)LLD平穩(wěn)化的時(shí)間序列具有明顯的確定性，而經(jīng)ROR平穩(wěn)化后的序列的也具有一定確定性。綜合來(lái)說(shuō)，可以認(rèn)為上海黃金價(jià)格時(shí)間序列具有一定的確定性。

3 結(jié)論

本文運(yùn)用R/S分析法、BDS檢驗(yàn)法和遞歸圖方法等對(duì)我國(guó)黃金價(jià)格序列進(jìn)行了非線性和確定性檢驗(yàn)。通過(guò)這些分析和檢驗(yàn)，筆者得出以下結(jié)論：

（1）R/S分析表明，我國(guó)黃金市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)不是隨機(jī)的，而是具備分型和持久性特征，是有偏的隨機(jī)過(guò)程，走勢(shì)呈非線性，其平均循環(huán)周期約為80個(gè)交易日。

（2）BDS檢驗(yàn)在m小于5的情況下不能拒絕AR擬合模型的殘差是i.i.d.的原假設(shè)，說(shuō)明我國(guó)黃金市場(chǎng)價(jià)格序列的非線性特征并不明顯。這可能是因?yàn)槲覈?guó)黃金交易市場(chǎng)建立時(shí)間較短，非線性結(jié)構(gòu)尚未充分打開，導(dǎo)致定量檢驗(yàn)的困難。

（3）遞歸圖分析表明，我國(guó)黃金市場(chǎng)價(jià)格還具有一定的確定性。

（4）由于我國(guó)黃金市場(chǎng)價(jià)格序列同時(shí)具有非線性和確定性特征，從而可能具有混沌特性。本文沒(méi)有對(duì)我國(guó)黃金價(jià)格的初值敏感性和奇異吸引子存在性等進(jìn)行分析檢驗(yàn)。作者將另行撰文研究我國(guó)黃金價(jià)格的混沌性特征。

（5）相較于傳統(tǒng)的線性分析方法，對(duì)于我國(guó)黃金市場(chǎng)價(jià)格序列，采用非線性確定性模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)可能更加有效。

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