孫鵬飛，袁杰紅

(國(guó)防科技大學(xué)指揮軍官基礎(chǔ)教育學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410072)

0 引言

隨著結(jié)構(gòu)的大型化和復(fù)雜化、使用環(huán)境的惡劣(低溫、高壓)、隨機(jī)因素的增加，疲勞斷裂已成為工程結(jié)構(gòu)的主要失效形式，據(jù)統(tǒng)計(jì)［1］:因交變載荷引起的疲勞斷裂事故占機(jī)械結(jié)構(gòu)失效總數(shù)的95%。疲勞斷裂的危險(xiǎn)性表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)到達(dá)疲勞壽命時(shí)無(wú)明顯先兆(顯著變形)就會(huì)突然斷裂解體。疲勞裂紋的擴(kuò)展受到材料特性、構(gòu)件幾何特性、載荷歷程及環(huán)境條件等因素控制，一般情況下這些因素均具有一定的隨機(jī)性。因此，結(jié)構(gòu)的疲勞壽命也表現(xiàn)出很大的不確定性。為考慮這些不確定性的影響，確保結(jié)構(gòu)的安全，必須采用概率統(tǒng)計(jì)分析方法對(duì)構(gòu)件的疲勞裂紋擴(kuò)展進(jìn)行可靠性分析。

目前，對(duì)于結(jié)構(gòu)疲勞壽命的可靠性分析主要有統(tǒng)計(jì)模型法［2-3］和直接 Monte Carlo 法［4］。采用統(tǒng)計(jì)模型法考慮的隨機(jī)變量個(gè)數(shù)有限，且需用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，結(jié)果精度差，而直接Monte Carlo法雖然不受隨機(jī)變量分布形式和個(gè)數(shù)的影響，但其精度受抽樣次數(shù)的制約，且收斂速度較慢。拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling，LHS)能夠有效改進(jìn)抽樣效率，用較少的抽樣次數(shù)得到較理想的結(jié)果。因此，文中利用線彈簧模型法計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值，用LHS方法實(shí)現(xiàn)隨機(jī)抽樣，進(jìn)行裂紋擴(kuò)展壽命的可靠性分析。

1 疲勞裂紋擴(kuò)展壽命計(jì)算公式

在疲勞裂紋擴(kuò)展分析中，Paris公式是應(yīng)用最普遍的裂紋擴(kuò)展模型，其表達(dá)式為:

式中 da/dN——裂紋擴(kuò)展速率

a——裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度

N——裂紋擴(kuò)展壽命(循環(huán)次數(shù))

C，n——材料常數(shù)

ΔK——應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值

將式(1)積分，可得裂紋擴(kuò)展壽命的估算公式為:

式中 a0，ac——初始裂紋長(zhǎng)度和臨界裂紋長(zhǎng)度

對(duì)于表面裂紋，利用線彈簧模型計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值，式(2)不易直接積分，于是可將裂紋擴(kuò)展的過(guò)程離散成為s個(gè)裂紋擴(kuò)展段，則式(2)可寫成如下的分段形式:

式中 ai——第i段裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度

ΔKi，Ni——與 ai對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值和裂紋擴(kuò)展壽命

對(duì) N，C和 n隨機(jī)性的研究已有很多［5-6］，一般認(rèn)為C和n分別服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布，且統(tǒng)計(jì)相關(guān);裂紋擴(kuò)展壽命N服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

2 線彈簧模型

線彈簧模型法是進(jìn)行表面裂紋斷裂分析的一種解析方法，最初是由 Rice和 Levy［7］基于 Kirchoff板理論提出的，Delale等［8］代之以 Reissner板理論求解，使得線彈簧模型的解更加精確。之后，袁杰紅等［9-11］將線彈簧模型的理論和適用范圍進(jìn)行了推廣。用其求解表面裂紋問(wèn)題具有精度、效率高，適用性強(qiáng)的特點(diǎn)。

如圖1(a)所示，在無(wú)窮遠(yuǎn)處單位寬度上作用有外力N∞和外力矩M∞半橢圓形表面裂紋(a，c分別為裂紋深和半長(zhǎng))，可以等效地轉(zhuǎn)化為裝有線彈簧、長(zhǎng)度為2c的穿透裂紋(見圖1(b))，而線彈簧的本構(gòu)關(guān)系可由相應(yīng)位置的平面應(yīng)變邊裂紋板條所受的廣義力和由于裂紋存在引起的附加廣義位移的關(guān)系來(lái)確定(見圖1(c))。表面裂紋前緣各點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子等于相應(yīng)位置的邊裂紋板條的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

圖1 表面裂紋線彈簧模型

由積分變換方法，可獲得穿透裂紋平板無(wú)量綱形式的性能積分方程［9］為:

E——彈性模量

c——裂紋半長(zhǎng)

h——板厚

μ1(t)，μ2(t)——未知位錯(cuò)密度函數(shù)

σM()，(σB()——未知應(yīng)力

其中:

但是技術(shù)變革的速度還是令消費(fèi)者和環(huán)保組織感到震驚，因?yàn)樗麄冋J(rèn)為新的基因編輯技術(shù)尚未通過(guò)充分的審查就已經(jīng)上市，他們已經(jīng)請(qǐng)求監(jiān)管組織進(jìn)一步加強(qiáng)基因編輯食品安全性審查。

線彈簧本構(gòu)關(guān)系由圖1(c)所示的平面應(yīng)變邊裂紋板條所受廣義力和由于裂紋存在引起的附加廣義位移之間的關(guān)系來(lái)確定，其表達(dá)式［9］為:

式中 υ——泊松比

［γij］——矩 陣，［γij］ = ［αij］-1，αij=，其中 gi(ξ)為已知函數(shù)(i，j=M，B)

如圖1(c)所示，邊裂紋板條應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式［10］為:

其中，ξ=l(x)/h，l(x)為板條邊裂紋的尖端至橢圓長(zhǎng)軸軸線之間的距離(見圖1(c))，σM()，σB()，gM(ξ)和gB(ξ)均如前所指。

將式(5)代入平板性能方程(4)，可得到一Cauchy型奇異積分方程。利用Gauss-Chebyshev方法［12］求解。之后，通過(guò)式(4)和(6)就可求得坐標(biāo)為k(k為Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn))點(diǎn)處的線彈簧內(nèi)力和裂紋前緣對(duì)應(yīng)點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子。為能得到裂紋前緣任意點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子，可對(duì)所得對(duì)應(yīng)k的應(yīng)力強(qiáng)度因子作多項(xiàng)式擬合。

3 拉丁超立法抽樣

LHS方法由 Mckay等［13］于1979年提出的，是一種多維分層抽樣方法。與直接Monte Carlo法相比，它具有樣本記憶功能，避免了大量反復(fù)的抽樣工作，并且能使變量分布的尾部參與抽樣。因此，對(duì)均值和方差的估計(jì)效果顯著改善。

假設(shè)對(duì)n維隨機(jī)變量 x=(x1，x2，…，xn)T進(jìn)行N次抽樣，其基本過(guò)程為:首先將［0，1］區(qū)間劃分為N個(gè)互不重疊的區(qū)間間隔，在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)對(duì)所有輸入變量按各自概率分布進(jìn)行獨(dú)立的隨機(jī)抽樣。為了確保抽取的隨機(jī)數(shù)屬于各子區(qū)間，則第i個(gè)子區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)為:

式中 U——［0，1］區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)

Ui——屬于第i個(gè)子區(qū)間的隨機(jī)數(shù)

由于存在下列關(guān)系式:

因而，每個(gè)子區(qū)間僅能產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)。然后利用反變換法，由N個(gè)子區(qū)間產(chǎn)生N個(gè)服從某一概率密度函數(shù)的隨機(jī)變量值;再對(duì)x1的N個(gè)取值隨機(jī)地與x2的N個(gè)取值組成x1x2的N個(gè)配對(duì);然后，這 N個(gè)配對(duì)再與 x3的 N個(gè)取值配對(duì)為x1x2x3。依次類推，可得一組N個(gè)抽樣的n維變量組值 x1x2…xn。

4 算例及結(jié)果分析

4.1 算例1

某天然氣管道由X射線探傷結(jié)果發(fā)現(xiàn)縱向半橢圓形表面裂紋，原始數(shù)據(jù)取自文獻(xiàn)［3］。初始裂紋尺寸a0、管道交變應(yīng)力幅值Δσ和疲勞參數(shù)C的統(tǒng)計(jì)特性為lga0～N(0.3875，0.122)，lgΔσ ～N(1.8231，0.092)，lgC ～ N(-12.78，0.232)。在裂紋擴(kuò)展過(guò)程中裂紋形狀比a/c=0.1786保持不變，裂紋臨界尺寸 ac=5.5 mm、管壁厚h=8 mm和疲勞參數(shù)n=3.72為定值。

應(yīng)用拉丁超立方抽樣103次，然后進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，求得裂紋疲勞擴(kuò)展壽命的分布規(guī)律為lg N～N(3.9459，0.44162)。與文獻(xiàn)［3］的結(jié)果對(duì)比見表1，可以看出兩者計(jì)算結(jié)果一致，表明了本文方法的正確性。

表1 算例1計(jì)算結(jié)果

4.2 算例2

以含表面裂紋、在遠(yuǎn)場(chǎng)作用有交變拉伸載荷的16MnR鋼平板為例進(jìn)行分析。疲勞參數(shù)采用文獻(xiàn)［14］中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，ln C～N(-22.3849，1.13232)，n～N(4.0080，0.33812)，C和n的相關(guān)關(guān)系為 ln C=-8.8829-3.3688 n+N(0，0.11822);假定材料的泊松比υ=0.3為定值，在擴(kuò)展過(guò)程中，裂紋的形狀比a/c=0.4保持不變。其他參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性見表2。

應(yīng)用拉丁超立法抽樣法進(jìn)行103次抽樣，表2列出了在5種參數(shù)分布情形下裂紋擴(kuò)展壽命的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。

從表3可以看出，在相同的可靠度下，初始裂紋尺寸和交變應(yīng)力幅值均值的變化對(duì)疲勞壽命的影響遠(yuǎn)大于臨界裂紋尺寸和板厚均值的變化;從表4也可以看出，經(jīng)歷4×106次交變載荷作用后，若初始裂紋尺寸增加1 mm(情形1至情形2)，則可靠度下降53.6%;若交變應(yīng)力幅值增加10 MPa(情形1至情形5)，則可靠度下降46%。而其他兩種情形的變化對(duì)可靠度的影響要遠(yuǎn)小于情形2和5。因此，對(duì)承受一定交變載荷的構(gòu)件，嚴(yán)格控制初始裂紋尺寸對(duì)提高疲勞壽命的可靠性是十分重要的。

表2 算例2參數(shù)統(tǒng)計(jì)特性及計(jì)算結(jié)果

表3 給定可靠度下的疲勞壽命

5 結(jié)論

(1)將線彈簧模型法與拉丁超立法抽樣法相結(jié)合，建立了表面裂紋疲勞擴(kuò)展壽命可靠性分析的新方法，通過(guò)算例驗(yàn)證了本文方法的正確性;

表4 給定疲勞壽命下的可靠度

(2)對(duì)于承受一定交變載荷的構(gòu)件，初始裂紋尺寸均值的變化對(duì)于疲勞壽命可靠性的影響遠(yuǎn)大于其他變量;

(3)該方法具有計(jì)算程序簡(jiǎn)單、編程方便、計(jì)算量小等特點(diǎn)，結(jié)果精度高，適用于工程中疲勞壽命擴(kuò)展的可靠性分析。

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