姚 娟，萬 瑤，李麗芳，張 謙

(中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，山西太原030051)

0 引言

傳統(tǒng)的信號(hào)處理理論和技術(shù)基本上是基于高斯分布和二階統(tǒng)計(jì)量的，其重要原因之一是當(dāng)時(shí)缺乏對(duì)更復(fù)雜信號(hào)噪聲模型進(jìn)行分析和處理的工具。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和信號(hào)處理理論的迅速發(fā)展，人們已有能力對(duì)更復(fù)雜的模型進(jìn)行分析和處理，非高斯信號(hào)處理的理論和技術(shù)得到了迅速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用。本文將以α穩(wěn)定分布和信道編碼理論為基礎(chǔ)，采用α穩(wěn)定分布噪聲模型，對(duì)脈沖噪聲環(huán)境下編碼信道的抗噪聲性能進(jìn)行研究。

1 信道編碼

信道編碼［1］是在信息碼中增加一定數(shù)量的可控制冗余碼元(稱為監(jiān)督碼元)，使信息碼元和冗余碼元之間滿足一定的約束關(guān)系，當(dāng)傳輸過程中出現(xiàn)差錯(cuò)時(shí)約束關(guān)系被破壞，在接收端按照既定的規(guī)則校驗(yàn)，恢復(fù)出正確的數(shù)據(jù)序列，從而達(dá)到糾錯(cuò)的目的。

分組碼［2］是一組固定長(zhǎng)度的碼組，可表示為(n，k)。在編碼時(shí)，k個(gè)信息位被編為n位碼組長(zhǎng)度，而n－k個(gè)監(jiān)督位的作用就是實(shí)現(xiàn)檢錯(cuò)與糾錯(cuò)。信息碼元與監(jiān)督碼元成線性關(guān)系時(shí)的分組碼稱為線性分組碼。循環(huán)碼就是一類重要的線性分組碼，因其代數(shù)構(gòu)造和線性反饋移位寄存器的數(shù)學(xué)構(gòu)造相同，使其編譯碼器可以由線性反饋移位寄存器實(shí)現(xiàn)，常將碼長(zhǎng)為n的碼組表示為代數(shù)形式

卷積碼［3］是由連續(xù)輸入的信息序列得到連續(xù)輸出的已編碼序列。卷積碼至今尚未找到嚴(yán)密的數(shù)學(xué)手段，把糾錯(cuò)性能與碼的結(jié)構(gòu)十分有規(guī)律地聯(lián)系起來，目前大多采用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行編碼。卷積碼編碼后的n個(gè)碼元不僅與當(dāng)前段的k個(gè)信息有關(guān)，而且還與前面N段的信息有關(guān)。卷積碼編碼器一般由N個(gè)1位的移位寄存器及n個(gè)模2和加法器組成。

2 α穩(wěn)定分布

α穩(wěn)定分布的概念最先是由利維(Levy)于1925年給出的。近年來，α穩(wěn)定分布和相應(yīng)分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量理論研究和應(yīng)用為不同領(lǐng)域的許多現(xiàn)象提供了非常有用的模型。

2.1 α穩(wěn)定分布的定義

如果對(duì)于任何正數(shù)A和B，存在正數(shù)C和一個(gè)實(shí)數(shù)D，滿足

則隨機(jī)變量X是穩(wěn)定分布的。式中，X1和X2為X的獨(dú)立樣本，符號(hào)“=d”表示分布相同。α穩(wěn)定分布［4］沒有統(tǒng)一的封閉的概率密度函數(shù)，通常用其特征函數(shù)式(3)來描述

式中:(1)α∈(0，2］為特征指數(shù)，表示α穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)拖尾的厚度;(2)γ＞0為分散系數(shù)，表示分布的分散程度;(3)β∈［－1，1］為對(duì)稱參數(shù)，當(dāng)β=0時(shí)稱為對(duì)稱α穩(wěn)定分布，記為SαS;(4)a∈(－∞，∞)為位置參數(shù)，對(duì)于SαS，a表示分布的均值或中值。

α穩(wěn)定分布隨機(jī)變量的概率密度存在且連續(xù)，但除了少數(shù)例外之外，它們沒有封閉的形式。這種例外包括高斯分布N(μ，2σ2)(其中 μ =α，σ2=γ/2)，其密度函數(shù)為:

由式(3)可知，當(dāng)α=2時(shí)，α穩(wěn)定分布與高斯分布的特征函數(shù)完全相同，因此認(rèn)為α穩(wěn)定分布是廣義的高斯分布，并定義0＜α＜2的α穩(wěn)定分布為分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布。

α穩(wěn)定分布作為建模工具非常靈活，主要原因在于它的特征指數(shù)α可以用于控制概率密度函數(shù)拖尾的厚度。α值越小，表明所對(duì)應(yīng)的信號(hào)噪聲中有越顯著的尖峰脈沖;α越接近2，則更接近高斯特性;當(dāng)α=2時(shí)，則為高斯分布。

2.2 α穩(wěn)定分布隨機(jī)變量的算法

假定我們要產(chǎn)生階數(shù)為α(0＜α≤2)的α穩(wěn)定分布序列x(n)，滿足a=0和－1＜β＜1。定義:

這樣，滿足給定α值的分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布的隨機(jī)變量X［5］由式(18)給出

2.3 分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布噪聲條件下混合信噪比的設(shè)定

在分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布噪聲條件下，由于不存在有限的二階矩，致使噪聲的方差變得沒有意義，因此需要采用混合信噪比。混合信噪比定義為:

式中，s(n)為按照給定信噪比調(diào)整幅度后的信號(hào)，Var［s'(n)］表示信噪比設(shè)定之前信號(hào)的方差。按照式(21)調(diào)整給定信號(hào)s'(n)的幅度，就可以實(shí)現(xiàn)設(shè)定信噪比的目的。

3 α穩(wěn)定分布噪聲下編碼信道抗噪聲性能分析

3.1 α穩(wěn)定分布噪聲的產(chǎn)生

在使用分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布作脈沖噪聲模型時(shí)，不失一般性的，常設(shè)參數(shù)μ=0，α=1，β=0。由式(18)可獲得一個(gè)包含參數(shù)α、β、γ、μ的隨機(jī)變量 X，循環(huán)便得到 x(n)序列。當(dāng)給定混合信噪比m時(shí)，若已知信號(hào)方差，根據(jù)式(19)即可求得γ，

將以上各參數(shù)代入式(18)，即可獲得脈沖噪聲。以下是β=0、γ=1、μ=0的不同α下的噪聲波形。

圖1 α=0.9時(shí)的噪聲波形

圖2 α=1.5時(shí)的噪聲波形

圖3 高斯噪聲(α=2)

3.2 信道編碼與譯碼的實(shí)現(xiàn)

MATLAB中進(jìn)行信道編譯碼非常方便，循環(huán)編碼時(shí)可以應(yīng)用函數(shù) encode，譯碼則應(yīng)用decode，并根據(jù)需要設(shè)置為“cyclic”編碼方式。卷積編碼時(shí)先應(yīng)用函數(shù)poly2trellis定義一個(gè)trellis矩陣，再用convenc進(jìn)行編碼，譯碼時(shí)使用維特比譯碼方法，可應(yīng)用函數(shù)vitdec。譯碼后可以直接應(yīng)用函數(shù)symerr計(jì)算出誤碼率，并進(jìn)行抗噪聲性能的比較。

3.3 抗噪聲性能分析

當(dāng)信息碼元一致時(shí)，在循環(huán)碼編碼信道條件下，分別加入α穩(wěn)定分布噪聲和高斯噪聲，譯碼后對(duì)誤碼率進(jìn)行比較。由圖4可知:當(dāng)0＜MSNR＜20 dB時(shí)，高斯噪聲誤碼率小于脈沖噪聲的誤碼率，且脈沖噪聲α=1.5時(shí)的誤碼率小于α=0.9時(shí)的誤碼率;當(dāng)誤碼率開始為0時(shí)，高斯噪聲，α=1.5和 α =0.9 的脈沖噪聲的MSNR 分別為6 dB，9.2 dB，16.4 dB。由此可知，相同條件下，脈沖噪聲所造成的誤碼影響比高斯噪聲所造成的誤碼影響大得多，且脈沖噪聲的α越小，誤碼率越大。

圖4 循環(huán)碼編碼信道下的誤碼率比較(β=0，μ=0)

圖5 卷積碼編碼信道下的誤碼率比較(β=0，μ=0)

同樣的，當(dāng)信息碼元一致時(shí)，在卷積碼編碼信道條件下，分別加入α穩(wěn)定分布噪聲和高斯噪聲，譯碼后對(duì)誤碼率進(jìn)行比較。由圖5可知:當(dāng)0＜MSNR＜20 dB時(shí)，高斯噪聲誤碼率小于脈沖噪聲的誤碼率，且脈沖噪聲α=1.5時(shí)的誤碼率小于α=0.9時(shí)的誤碼率;當(dāng)誤碼率開始為0時(shí)，高斯噪聲，α=1.5和 α=0.9的脈沖噪聲的 MSNR 分別為 5.2 dB，9.2 dB，16 dB。由此可知，相同條件下，脈沖噪聲所造成的誤碼影響比高斯噪聲所造成的誤碼影響大得多，且脈沖噪聲的α越小，誤碼率越大。此結(jié)論與圖5得出的結(jié)論相同。

4 結(jié)論

本文分析總結(jié)了編碼信道及α穩(wěn)定分布的基礎(chǔ)理論，并以α穩(wěn)定分布噪聲為脈沖噪聲模型，研究了脈沖噪聲環(huán)境下編碼信道的抗噪聲性能，并同高斯噪聲下的編碼信道性能相比較。仿真結(jié)果表明，相同條件下，高斯噪聲所造成的誤碼影響比脈沖噪聲所造成的誤碼影響小得多;且當(dāng)脈沖噪聲的參數(shù)β、γ、μ相同，α越小時(shí)，拖尾越長(zhǎng)，脈沖噪聲所造成的誤碼率越大;高斯噪聲所造成的誤碼率在信噪比較小的情況下即可達(dá)到零，遠(yuǎn)小于脈沖噪聲所要求的信噪比。

［1］趙曉群.現(xiàn)代編碼理論［M］.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2008.

［2］樊昌信，曹麗娜.通信原理［M］.第6版.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2008.

［3］王育民，李暉，梁傳甲.信息論與編碼理論［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［4］羅鵬飛.統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2009.

［5］邱天爽，張旭秀，李小兵，等.統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理——非高斯信號(hào)處理及其應(yīng)用［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2004.