孫旭霞，張 英

(西安理工大學(xué) 自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，陜西 西安710048)

隨著微電子技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)、自動(dòng)控制技術(shù)和通信技術(shù)的不斷進(jìn)步，現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)的發(fā)展趨向高性能化。其中性能的完善主要體現(xiàn)在高速度、高精度、高可靠性、多功能化、網(wǎng)絡(luò)化、小型化、多樣化、智能化和開(kāi)放性等方面。插補(bǔ)技術(shù)是數(shù)控系統(tǒng)的核心，為使高檔數(shù)控系統(tǒng)能發(fā)揮其功能，高精度、高速度、高效率的插補(bǔ)算法成為目前研究需要突破的難點(diǎn)[1]。

在數(shù)控插補(bǔ)裝置上，針對(duì)船身外放樣時(shí)的樣條曲線，汽車、飛機(jī)及各種產(chǎn)品的外形曲線等無(wú)法用標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)方程描述的復(fù)雜曲線，一般都采用直線逼近或圓弧逼近的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)其插補(bǔ)，然而這種方法所編寫的算法較為復(fù)雜，且在計(jì)算過(guò)程中還會(huì)產(chǎn)生計(jì)算誤差及誤差的累積，降低了插補(bǔ)的精度。而三次樣條函數(shù)基于可使曲線各分段處保持一定程度的光滑性，其具有很好的保凸性和光順性，且能保持曲線的連續(xù)性。同時(shí)三次樣條函數(shù)的應(yīng)用范圍廣泛，特別是在給定型值點(diǎn)的曲線擬合方面，如在插補(bǔ)裝置中實(shí)現(xiàn)凸輪、汽車外輪廓等曲線。因此對(duì)于某些復(fù)雜零件，采用三次樣條函數(shù)的插補(bǔ)方法描述其輪廓是一種極為有效的手段?；谌螛訔l函數(shù)的上述特性，本文描述了三次樣條曲線形成曲線輪廓并在數(shù)控插補(bǔ)裝置上實(shí)現(xiàn)插補(bǔ)的過(guò)程。該方法既能提高插補(bǔ)精度，又使計(jì)算不太復(fù) 雜[2，3]。

1 三次樣條函數(shù)的定義

三次樣條函數(shù)的定義如下：設(shè)有n個(gè)離散點(diǎn)，分別為 p1(x1，y1)、p2(x2，y2)、…、pn(xn，yn),且 x1＜x2＜…＜xn，若曲線 S(x)滿足以下幾個(gè)條件則稱 S(x)為區(qū)間[x1，xn]上以xj(j=1，2，…，n)為型值的三次樣條函數(shù)。

（1）S(x)通過(guò)所有型值點(diǎn)，且 S(xj)=yj(j=1，2，…，n)；

（2）S(x)在區(qū)間[x1,xn]內(nèi)，存在連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)；

（3）S(x)在 每 個(gè) 子 區(qū) 間[xj，xj+1]內(nèi) ， 均 可 采 用 三 次 多項(xiàng)式來(lái)表示，即 Sj(x)=aj+bj(x-xj)+cj(x-xj)2+dj(x-xj)3，(j=1，2，…，n-1)。

下文將利用型值點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)相等的邊界條件來(lái)求得三次樣條函數(shù)，并給出具體的推導(dǎo)過(guò)程。

2 三次樣條曲線輪廓的擬合原理

利用三次樣條函數(shù)解決復(fù)雜曲線插補(bǔ)問(wèn)題的思路是：在被插補(bǔ)的復(fù)雜曲線上找到一定數(shù)量的型值點(diǎn)，采用三次樣條求出插補(bǔ)中間點(diǎn)，然后利用相鄰兩端曲線交點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)相等這一條件，實(shí)現(xiàn)整段曲線連續(xù)且在曲線連接處平滑過(guò)渡的效果。

首先構(gòu)造滿足條件的三次樣條函數(shù)S(x)的表達(dá)式。假定 S′j(x)=mj(j=1，2，…，n)，則由分段三次埃爾米特插值公式[4]可得：

其中 αj(x)、βj(x)是插值基函數(shù)。 顯然，表達(dá)式中 S(x)及S′(x)在 整 個(gè) 區(qū) 間[a，b]上 連 續(xù) ，且 滿 足 S(xj)=yj(j=1，2，…，n)，只要求得mj，三次樣條函數(shù)就可以構(gòu)造成功。下面是mj的求解過(guò)程。

利用插值基函數(shù)需滿足的條件求出 αj(x)、βj(x)，即可得出 S(x)在[xj，xj+1]上的表達(dá)式為：

其中 hj=xj+1-xj。 對(duì) S(x)在[xj，xj+1]上求二次導(dǎo)數(shù)得：

由式(3)可推導(dǎo)出：

同理可得 S″(x)在區(qū)間[xj-1，xj]的表達(dá)式為：

則：

由條件 S″(xj+0)=S″(xj-0)(j=2，3，…，n-1)，可得：

其中：

若邊界條件為 S″(x1)=S″(xn)=0，即滿足自然邊界條件[3，5]，則得兩端的方 程為：

式(8)、式(10)用矩陣形式表示為 Am=g，即：

將上式中的A分解為下三角矩陣L及單位上三角矩陣U的乘積，即A=LU，其中 L、U如式(12)所示。

利用矩陣乘法公式及追趕法求得mj(j=1，…，n)。

最終由式(2)計(jì)算出 S(x)。

3 基于三次樣條函數(shù)的插補(bǔ)算法

根據(jù)以上的擬合原理，結(jié)合插補(bǔ)算法原理，可以生成基于三次樣條函數(shù)的插補(bǔ)算法，步驟如下：

（1）根據(jù)曲線選出 n個(gè)型值點(diǎn)，其坐標(biāo)值為(xj，yj)，(j=1，2，…，n)，并使得 x1＜x2…＜xn。

（2）求 mj(j=1，…，n)的值。

令 hj=xj+1-xj；μj=hj-1/(hj-1+hj)；

λj=hj/(hj-1+hj)；mj=yj′；

求得：

取 μ1=1，λn=1；

得：g1=3(y2-y1)/h1，gn=3(yn-yn-1)/hn-1；

利用矩陣乘法公式[6-8]得：

利用追趕法根據(jù)LR=g得：

由Um=R得：

（3）求三次樣條函數(shù)的系數(shù)。經(jīng)過(guò)上面一系列的計(jì)算之后，可得該函數(shù)的系數(shù)如下：

（4）求三次樣條函數(shù)的表達(dá)式。將式(17)代入式(18)中即可得出三次樣條函數(shù)的表達(dá)式：

以[xj，xj+1]為例，該算法的插補(bǔ)過(guò)程如下：此為三次樣條曲線中第j段的插補(bǔ)，x軸以xj為起點(diǎn)坐標(biāo)，x每次累加△x，再根據(jù)函數(shù)表達(dá)式計(jì)算出Sj(x)的值，照此循環(huán)計(jì)算，就可算出每一段函數(shù)每一點(diǎn)x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，最終得到插補(bǔ)點(diǎn)X、Y軸的坐標(biāo)值，并輸出每一點(diǎn)的坐標(biāo)值，直到x=xj+1，整段的插補(bǔ)即完成了。其中△x為正整數(shù)，且其所取值必須使得（xj+1-xj）/△x為整數(shù)，并確保Y坐標(biāo)值的變化量大于1。其他段按上述原理繼續(xù)進(jìn)行相應(yīng)的插補(bǔ)計(jì)算。

4 在數(shù)控裝置上的實(shí)現(xiàn)

4.1 數(shù)控裝置的介紹

本文使用以S3C2410為主芯片的ARM開(kāi)發(fā)板作為數(shù)控裝置。ARM采用RISC結(jié)構(gòu)，能在一個(gè)機(jī)器周期內(nèi)執(zhí)行一條指令。此開(kāi)發(fā)板屬于ARM9處理器系列，具有ICache和DCache，提高了存儲(chǔ)器訪問(wèn)的效率，具有64 MB NAND Flash和64 MB SDRAM的儲(chǔ)存容量。其晶振頻率為12 MHz，而時(shí)鐘控制邏輯能夠產(chǎn)生4倍晶振頻率的PCLK時(shí)鐘信號(hào)，即為48 MHz。用該P(yáng)CLK值計(jì)算所得的定時(shí)器輸入頻率高，從而使得定時(shí)時(shí)間能設(shè)定得很短。以上特性使此插補(bǔ)算法能在該裝置上得以運(yùn)行，且具有較高的插補(bǔ)速度，以實(shí)現(xiàn)三次樣條曲線的插補(bǔ)。

在ARM開(kāi)發(fā)板上外接兩個(gè)步進(jìn)電機(jī)，分別用于實(shí)現(xiàn)X軸和Y軸方向的插補(bǔ)。通過(guò)改變定時(shí)計(jì)數(shù)器的初值，使得脈沖輸出速度不同，從而實(shí)現(xiàn)步進(jìn)電機(jī)以不同速度沿X軸和Y軸運(yùn)行。

三次樣條曲線的插補(bǔ)算法流程如圖1所示。

圖1 插補(bǔ)算法的流程

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證三次樣條函數(shù)插補(bǔ)方法的可行性，取一組滿足三次樣條函數(shù)的型值點(diǎn)，根據(jù)三次樣條函數(shù)的擬合原理編程，擬合出如圖2所示的三次樣條曲線。

圖2是整個(gè)三次樣條曲線的輪廓，為了把這種方法應(yīng)用在數(shù)控插補(bǔ)上，還必須在此基礎(chǔ)上取適當(dāng)?shù)牟逖a(bǔ)點(diǎn)，在ADS1.2集成環(huán)境下，用ARM開(kāi)發(fā)板進(jìn)行調(diào)試，在此裝置上運(yùn)行之后，使得步進(jìn)電機(jī)依插補(bǔ)結(jié)果運(yùn)轉(zhuǎn)，運(yùn)行結(jié)果如圖3所示。

按照以上兩圖的實(shí)現(xiàn)結(jié)果進(jìn)行如下分析：圖2是按照擬合原理擬合出來(lái)的完整三次樣條曲線的輪廓，該曲線相鄰兩端交點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)相等，具有很好的光順性，且保持良好的連續(xù)性。圖3是在三次樣條曲線基礎(chǔ)上取適當(dāng)?shù)牟逖a(bǔ)點(diǎn)進(jìn)行插補(bǔ)的結(jié)果，取的插補(bǔ)點(diǎn)越密集，插補(bǔ)結(jié)果就越接近真實(shí)曲線，精度也就越高。由插補(bǔ)算法可知Y坐標(biāo)值是根據(jù)X坐標(biāo)值計(jì)算所得，最終求得y的變化量，因此x所對(duì)應(yīng)的I/O每輸出一個(gè)脈沖，y對(duì)應(yīng)的I/O輸出的脈沖數(shù)根據(jù)計(jì)算結(jié)果而變化。由于插補(bǔ)的每個(gè)點(diǎn)都確保在此三次樣條曲線上，比起用直線或圓弧逼近曲線的方法，插補(bǔ)效果在準(zhǔn)確度和精確度上明顯提高。

在數(shù)控裝置上，利用三次樣條函數(shù)不僅能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單曲線的插補(bǔ)計(jì)算，對(duì)于無(wú)法通過(guò)直線、圓弧以及其他二次曲線來(lái)描述其輪廓的復(fù)雜零件，同樣能實(shí)現(xiàn)其插補(bǔ)，同時(shí)具有很好的保凸性和光順性，且保證了插值函數(shù)的連續(xù)性及插補(bǔ)的精度，增加了數(shù)控裝置的曲線應(yīng)用范圍。本文以ARM開(kāi)發(fā)板作為數(shù)控裝置，對(duì)此插補(bǔ)算法進(jìn)行了驗(yàn)證，該方法算法簡(jiǎn)單，易實(shí)現(xiàn)，精度較高，插補(bǔ)效果好。

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