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        基于三次樣條函數(shù)的數(shù)控插補算法研究

        2011-05-12 02:47:26孫旭霞
        關(guān)鍵詞:坐標值樣條表達式

        孫旭霞,張 英

        (西安理工大學 自動化與信息工程學院,陜西 西安710048)

        隨著微電子技術(shù)、計算機技術(shù)、自動控制技術(shù)和通信技術(shù)的不斷進步,現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)的發(fā)展趨向高性能化。其中性能的完善主要體現(xiàn)在高速度、高精度、高可靠性、多功能化、網(wǎng)絡(luò)化、小型化、多樣化、智能化和開放性等方面。插補技術(shù)是數(shù)控系統(tǒng)的核心,為使高檔數(shù)控系統(tǒng)能發(fā)揮其功能,高精度、高速度、高效率的插補算法成為目前研究需要突破的難點[1]。

        在數(shù)控插補裝置上,針對船身外放樣時的樣條曲線,汽車、飛機及各種產(chǎn)品的外形曲線等無法用標準代數(shù)方程描述的復(fù)雜曲線,一般都采用直線逼近或圓弧逼近的方法來實現(xiàn)其插補,然而這種方法所編寫的算法較為復(fù)雜,且在計算過程中還會產(chǎn)生計算誤差及誤差的累積,降低了插補的精度。而三次樣條函數(shù)基于可使曲線各分段處保持一定程度的光滑性,其具有很好的保凸性和光順性,且能保持曲線的連續(xù)性。同時三次樣條函數(shù)的應(yīng)用范圍廣泛,特別是在給定型值點的曲線擬合方面,如在插補裝置中實現(xiàn)凸輪、汽車外輪廓等曲線。因此對于某些復(fù)雜零件,采用三次樣條函數(shù)的插補方法描述其輪廓是一種極為有效的手段。基于三次樣條函數(shù)的上述特性,本文描述了三次樣條曲線形成曲線輪廓并在數(shù)控插補裝置上實現(xiàn)插補的過程。該方法既能提高插補精度,又使計算不太復(fù) 雜[2,3]。

        1 三次樣條函數(shù)的定義

        三次樣條函數(shù)的定義如下:設(shè)有n個離散點,分別為 p1(x1,y1)、p2(x2,y2)、…、pn(xn,yn),且 x1<x2<…<xn,若曲線 S(x)滿足以下幾個條件則稱 S(x)為區(qū)間[x1,xn]上以xj(j=1,2,…,n)為型值的三次樣條函數(shù)。

        (1)S(x)通過所有型值點,且 S(xj)=yj(j=1,2,…,n);

        (2)S(x)在區(qū)間[x1,xn]內(nèi),存在連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù);

        (3)S(x)在 每 個 子 區(qū) 間[xj,xj+1]內(nèi) , 均 可 采 用 三 次 多項式來表示,即 Sj(x)=aj+bj(x-xj)+cj(x-xj)2+dj(x-xj)3,(j=1,2,…,n-1)。

        下文將利用型值點處二階導(dǎo)數(shù)相等的邊界條件來求得三次樣條函數(shù),并給出具體的推導(dǎo)過程。

        2 三次樣條曲線輪廓的擬合原理

        利用三次樣條函數(shù)解決復(fù)雜曲線插補問題的思路是:在被插補的復(fù)雜曲線上找到一定數(shù)量的型值點,采用三次樣條求出插補中間點,然后利用相鄰兩端曲線交點處的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)相等這一條件,實現(xiàn)整段曲線連續(xù)且在曲線連接處平滑過渡的效果。

        首先構(gòu)造滿足條件的三次樣條函數(shù)S(x)的表達式。假定 S′j(x)=mj(j=1,2,…,n),則由分段三次埃爾米特插值公式[4]可得:

        其中 αj(x)、βj(x)是插值基函數(shù)。 顯然,表達式中 S(x)及S′(x)在 整 個 區(qū) 間[a,b]上 連 續(xù) ,且 滿 足 S(xj)=yj(j=1,2,…,n),只要求得mj,三次樣條函數(shù)就可以構(gòu)造成功。下面是mj的求解過程。

        利用插值基函數(shù)需滿足的條件求出 αj(x)、βj(x),即可得出 S(x)在[xj,xj+1]上的表達式為:

        其中 hj=xj+1-xj。 對 S(x)在[xj,xj+1]上求二次導(dǎo)數(shù)得:

        由式(3)可推導(dǎo)出:

        同理可得 S″(x)在區(qū)間[xj-1,xj]的表達式為:

        則:

        由條件 S″(xj+0)=S″(xj-0)(j=2,3,…,n-1),可得:

        其中:

        若邊界條件為 S″(x1)=S″(xn)=0,即滿足自然邊界條件[3,5],則得兩端的方 程為:

        式(8)、式(10)用矩陣形式表示為 Am=g,即:

        將上式中的A分解為下三角矩陣L及單位上三角矩陣U的乘積,即A=LU,其中 L、U如式(12)所示。

        利用矩陣乘法公式及追趕法求得mj(j=1,…,n)。

        最終由式(2)計算出 S(x)。

        3 基于三次樣條函數(shù)的插補算法

        根據(jù)以上的擬合原理,結(jié)合插補算法原理,可以生成基于三次樣條函數(shù)的插補算法,步驟如下:

        (1)根據(jù)曲線選出 n個型值點,其坐標值為(xj,yj),(j=1,2,…,n),并使得 x1<x2…<xn。

        (2)求 mj(j=1,…,n)的值。

        令 hj=xj+1-xj;μj=hj-1/(hj-1+hj);

        λj=hj/(hj-1+hj);mj=yj′;

        求得:

        取 μ1=1,λn=1;

        得:g1=3(y2-y1)/h1,gn=3(yn-yn-1)/hn-1;

        利用矩陣乘法公式[6-8]得:

        利用追趕法根據(jù)LR=g得:

        由Um=R得:

        (3)求三次樣條函數(shù)的系數(shù)。經(jīng)過上面一系列的計算之后,可得該函數(shù)的系數(shù)如下:

        (4)求三次樣條函數(shù)的表達式。將式(17)代入式(18)中即可得出三次樣條函數(shù)的表達式:

        以[xj,xj+1]為例,該算法的插補過程如下:此為三次樣條曲線中第j段的插補,x軸以xj為起點坐標,x每次累加△x,再根據(jù)函數(shù)表達式計算出Sj(x)的值,照此循環(huán)計算,就可算出每一段函數(shù)每一點x所對應(yīng)的函數(shù)值,最終得到插補點X、Y軸的坐標值,并輸出每一點的坐標值,直到x=xj+1,整段的插補即完成了。其中△x為正整數(shù),且其所取值必須使得(xj+1-xj)/△x為整數(shù),并確保Y坐標值的變化量大于1。其他段按上述原理繼續(xù)進行相應(yīng)的插補計算。

        4 在數(shù)控裝置上的實現(xiàn)

        4.1 數(shù)控裝置的介紹

        本文使用以S3C2410為主芯片的ARM開發(fā)板作為數(shù)控裝置。ARM采用RISC結(jié)構(gòu),能在一個機器周期內(nèi)執(zhí)行一條指令。此開發(fā)板屬于ARM9處理器系列,具有ICache和DCache,提高了存儲器訪問的效率,具有64 MB NAND Flash和64 MB SDRAM的儲存容量。其晶振頻率為12 MHz,而時鐘控制邏輯能夠產(chǎn)生4倍晶振頻率的PCLK時鐘信號,即為48 MHz。用該PCLK值計算所得的定時器輸入頻率高,從而使得定時時間能設(shè)定得很短。以上特性使此插補算法能在該裝置上得以運行,且具有較高的插補速度,以實現(xiàn)三次樣條曲線的插補。

        在ARM開發(fā)板上外接兩個步進電機,分別用于實現(xiàn)X軸和Y軸方向的插補。通過改變定時計數(shù)器的初值,使得脈沖輸出速度不同,從而實現(xiàn)步進電機以不同速度沿X軸和Y軸運行。

        三次樣條曲線的插補算法流程如圖1所示。

        圖1 插補算法的流程

        4.2 實驗結(jié)果及分析

        為了驗證三次樣條函數(shù)插補方法的可行性,取一組滿足三次樣條函數(shù)的型值點,根據(jù)三次樣條函數(shù)的擬合原理編程,擬合出如圖2所示的三次樣條曲線。

        圖2是整個三次樣條曲線的輪廓,為了把這種方法應(yīng)用在數(shù)控插補上,還必須在此基礎(chǔ)上取適當?shù)牟逖a點,在ADS1.2集成環(huán)境下,用ARM開發(fā)板進行調(diào)試,在此裝置上運行之后,使得步進電機依插補結(jié)果運轉(zhuǎn),運行結(jié)果如圖3所示。

        按照以上兩圖的實現(xiàn)結(jié)果進行如下分析:圖2是按照擬合原理擬合出來的完整三次樣條曲線的輪廓,該曲線相鄰兩端交點處一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)相等,具有很好的光順性,且保持良好的連續(xù)性。圖3是在三次樣條曲線基礎(chǔ)上取適當?shù)牟逖a點進行插補的結(jié)果,取的插補點越密集,插補結(jié)果就越接近真實曲線,精度也就越高。由插補算法可知Y坐標值是根據(jù)X坐標值計算所得,最終求得y的變化量,因此x所對應(yīng)的I/O每輸出一個脈沖,y對應(yīng)的I/O輸出的脈沖數(shù)根據(jù)計算結(jié)果而變化。由于插補的每個點都確保在此三次樣條曲線上,比起用直線或圓弧逼近曲線的方法,插補效果在準確度和精確度上明顯提高。

        在數(shù)控裝置上,利用三次樣條函數(shù)不僅能夠進行簡單曲線的插補計算,對于無法通過直線、圓弧以及其他二次曲線來描述其輪廓的復(fù)雜零件,同樣能實現(xiàn)其插補,同時具有很好的保凸性和光順性,且保證了插值函數(shù)的連續(xù)性及插補的精度,增加了數(shù)控裝置的曲線應(yīng)用范圍。本文以ARM開發(fā)板作為數(shù)控裝置,對此插補算法進行了驗證,該方法算法簡單,易實現(xiàn),精度較高,插補效果好。

        [1]盧勝利,王睿鵬,祝玲.現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)—原理、構(gòu)成與實例[M].北京:機械工業(yè)出版社,2007.

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