吳開信，牟瑞芳

(西南交通大學(xué) 交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，四川 成都 610031)

交通網(wǎng)絡(luò)可靠性最早由 Asakura Y 和 Kashiwadani M 于 1991年提出[1]，其后各國(guó)學(xué)者從不同側(cè)面對(duì)其進(jìn)行了研究，其中，行程時(shí)間可靠性一直是研究的熱點(diǎn)。行程時(shí)間和行程時(shí)間可靠性不僅是用戶關(guān)心的路網(wǎng)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，也是交通規(guī)劃和管理部門為用戶提供服務(wù)的質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)。對(duì)于用戶，希望在一定的出行時(shí)間范圍內(nèi)到達(dá)目的地；作為管理者，希望提供更多可靠的服務(wù)，使用戶出行時(shí)間波動(dòng)性較小[2]。OD (origin-destination) 需求量會(huì)受到網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營(yíng)狀況的影響。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的擁擠程度增加時(shí)，部分用戶可能會(huì)因廣義出行費(fèi)用的增加而改變自己的出行目的地或放棄出行；當(dāng)通過(guò)投資使路段通行能力提高，OD 需求量也會(huì)明顯改變。為了精確描述出行者和路網(wǎng)狀況之間的交互作用，引入彈性需求表示用戶的路徑選擇行為將更加符合實(shí)際。為此提出基于行程時(shí)間可靠性的彈性需求隨機(jī)用戶平衡 (Stochastic User Equilibrium，SUE) 配流模型，給出與其等價(jià)的變分不等式形式，并分析相應(yīng)的算法。

1 行程時(shí)間可靠性和廣義出行費(fèi)用

1.1 路段行程時(shí)間和路徑行程時(shí)間

交通網(wǎng)絡(luò)G＝(N,A)，N為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)集合，A為網(wǎng)絡(luò)中的路段集合。W為 OD 對(duì)集合，w為W中的一個(gè)元素，Pw為所有有效路徑集合。假設(shè)路段a的設(shè)計(jì)容量為，通行能力是一個(gè)非負(fù)的連續(xù)隨機(jī)變量，而且服從于區(qū)間[]上的均勻分布，ρa(bǔ)表示路段a由于突發(fā)交通事故、自然災(zāi)害等原因而造成的實(shí)際容量下降程度，ρa(bǔ)∈[0,1)。路段上的實(shí)際行程時(shí)間會(huì)隨路段通行能力的變化而變化，因而也是一個(gè)隨機(jī)變量，在此采用 BPR (Bureau of Public Roads) 函數(shù)確定路段上的實(shí)際行程時(shí)間：

式中：ta、ta0、xa和xa/Ya分別表示路段a上的實(shí)際行程時(shí)間、自由行程時(shí)間、交通流量和飽和度；α和β為 BPR 函數(shù)中的確定性參數(shù)，可從統(tǒng)計(jì)資料中獲得。假設(shè)路段通行能力的隨機(jī)變化獨(dú)立于路段上的交通流量，可以求得路段a上的行程時(shí)間均值[3]：

當(dāng)交叉口的延誤忽略時(shí)，路徑行程時(shí)間Tkz是由組成路徑的各路段行程時(shí)間ta決定的，即

式中：表示路段a和路徑k的關(guān)聯(lián)系數(shù)，如果a∈k，則＝1；否則，＝0。根據(jù)中心極限定理，可知Tk服從正態(tài)分布，并且有：

1.2 路段行程時(shí)間可靠性和廣義出行費(fèi)用

定義路段行程時(shí)間可靠性為出行者在某一路段上完成一次出行所需時(shí)間在規(guī)定時(shí)間范圍內(nèi)的概率。

路段時(shí)間可靠性用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為：ra＝P(ta≤ta0＋Δa)，即實(shí)際行程時(shí)間小于自由行程時(shí)間加上出行者可接受延誤 Δa的概率。顯然，路段不同，Δa的值也會(huì)不同，可根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料進(jìn)行確定。

出行者在選擇路徑時(shí)一般需考慮兩個(gè)指標(biāo)：行程時(shí)間和行程時(shí)間可靠性。這兩個(gè)指標(biāo)具有以下 3個(gè)特點(diǎn)。

（1）不可公度性，即量綱不同，不便于相互之間進(jìn)行運(yùn)算。

（2）變化范圍不同。

（3）矛盾性，即一種方案能使某個(gè)指標(biāo)值得到改善，但可能以另一個(gè)指標(biāo)值的變壞為代價(jià)。

根據(jù)出行者對(duì)行程時(shí)間和行程時(shí)間可靠性所持的不同態(tài)度，定義出行者在路段a上的廣義出行費(fèi)用：

式中：αa為路段a上的行程時(shí)間費(fèi)用系數(shù)，表示將行程時(shí)間轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的出行費(fèi)用；βa為路段a上的行程時(shí)間可靠性費(fèi)用系數(shù)，表示將行程時(shí)間的不可靠性轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的出行費(fèi)用。

由此，確定了一個(gè)綜合意義上的具有相同量綱的阻抗值。費(fèi)用系數(shù)αa和βa分別反映出行者對(duì)行程時(shí)間和行程時(shí)間可靠性的態(tài)度。αa越大、βa越小則出行者越傾向于以行程時(shí)間作為擇路標(biāo)準(zhǔn)；反之，則越傾向于以行程時(shí)間可靠性作為擇路標(biāo)準(zhǔn)。在此規(guī)定：路段上的廣義出行費(fèi)用是該路段交通流量的嚴(yán)格增函數(shù)，即 dca/dxa＞0，?a∈A；路段上的廣義出行費(fèi)用只與組成該路段的交通流量有關(guān)，與其他路段的交通流量無(wú)關(guān)，即 dca/dxb＝0，?a、b∈A，a≠b。由路徑和路段之間的相互關(guān)系，出行者在路徑k上的廣義出行費(fèi)用為所包含路段的廣義出行費(fèi)用之和，即

2 基于行程時(shí)間可靠性的彈性需求SUE模型

2.1 建立模型

研究行程時(shí)間可靠性應(yīng)考慮出行者的路徑選擇行為，目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)行程時(shí)間可靠性的研究大多是基于 Logit 模型或 Probit 模型。Chen 等考慮了出行者對(duì)行程時(shí)間的意識(shí)誤差和行程時(shí)間本身的隨機(jī)性，將用戶選擇進(jìn)行了分類，利用 Monte Carlo 技術(shù)，計(jì)算了不同路徑選擇模型下的行程時(shí)間可靠性[4]。Lam 等通過(guò)交通流模擬仿真估計(jì)行程時(shí)間可靠性[5]。通過(guò)比較可知，Logit 模型簡(jiǎn)單易于理解，因此研究采用此模型評(píng)價(jià)行程時(shí)間可靠性。對(duì)研究的有關(guān)假設(shè)如下。

（1）路徑k上的交通流量滿足 Logit 模型：

式中：隨機(jī)變量與路徑行程時(shí)間及其可靠性有關(guān)；qw表示第w個(gè) OD 對(duì)之間的交通需求量；θ是一個(gè)非負(fù)系數(shù)，可理解為出行者對(duì)路網(wǎng)的熟悉程度，θ越大，說(shuō)明出行者對(duì)出行費(fèi)用的認(rèn)識(shí)越準(zhǔn)確，估計(jì)的阻抗方差越小。

（2）Sw(cw) 是關(guān)于cw的凹函數(shù)。Sw(cw) 和cw分別表示第w個(gè) OD 對(duì)之間的期望最小估計(jì)廣義出行費(fèi)用和廣義出行費(fèi)用。由定義可知：

式中：表示估計(jì)路徑出行費(fèi)用；為服從 Gumbel 分布的隨機(jī)變量。

一般情況下，OD 矩陣隨廣義出行費(fèi)用矩陣的變化而變化，為了更好地描述需求量的可變性和用戶選擇行為的隨機(jī)性，現(xiàn)假設(shè)qw是Sw(cw) 的連續(xù)單調(diào)下降函數(shù)，并有上確界Qw，即

在實(shí)際運(yùn)用中，需求函數(shù)可采用線性形式[5]：

式中：表示路網(wǎng)處于理想狀態(tài)時(shí)第w個(gè) OD 對(duì)之間最大交通量；常數(shù)ψ表示需求量對(duì)期望最小估計(jì)廣義出行費(fèi)用的靈敏度。

基于行程時(shí)間可靠性的彈性需求SUE配流問(wèn)題可用以下數(shù)學(xué)規(guī)劃模型表示：

模型中為第w個(gè) OD 對(duì)之間交通量需求函數(shù)的反函數(shù)。

2.2 解的惟一性與等價(jià)性證明

2.2.1 惟一性證明

將約束條件⑵代入目標(biāo)函數(shù)⑴，可得：

此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的第三項(xiàng)是xa的嚴(yán)格凸函數(shù)，但相對(duì)于路徑流量來(lái)說(shuō)是凸函數(shù)，其余3項(xiàng)是關(guān)于的嚴(yán)格凸函數(shù)。因此，目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于的嚴(yán)格凸函數(shù)，又由于約束條件都是線性的，此數(shù)學(xué)規(guī)劃模型有惟一最優(yōu)解。

2.2.2 等價(jià)性證明

構(gòu)造模型⑴的Lagrange 函數(shù)：

由于此數(shù)學(xué)規(guī)劃模型是一個(gè)凸規(guī)劃模型，因此有惟一的路徑流量最優(yōu)解，并且 K-T 條件是惟一解的充分必要條件。K-T 條件如下。

式中：uw、和xw分別是公式⑵、公式⑷和公式⑸的 Lagrange 算子。

設(shè)Pw是第w個(gè) OD 對(duì)之間所有有效路徑集合，即＞0，?k∈Pw，從而有＝0，此時(shí)由公式⑹可得：

說(shuō)明路徑k上流量的最優(yōu)解滿足 SUE 平衡條件。當(dāng)qw＞0時(shí)，xw＝0，此時(shí)由公式⑺可得：

由于exp[?(qw)]＝()，因此，qw＝。此式是彈性需求函數(shù)關(guān)系式的具體表達(dá)式。

2.3 變分不等式模型

在城市交通網(wǎng)絡(luò)G＝(N，A) 中，假設(shè)uw表示第w個(gè) OD 對(duì)之間最小出行費(fèi)用。對(duì)于 ?k∈Pw，當(dāng)＞0 時(shí)，uw－＝0；當(dāng)＝0 時(shí)，uw－≤0，則稱路徑流量為平衡流[6]。

變分不等式模型：

根據(jù)文獻(xiàn)[7]的結(jié)論，如果變分不等式⑼有解，則必然存在Lagrange算子uw、和xw，使得：

3 彈性需求 SUE 模型的算法

模型的具體求解步驟如下。

步驟 1：確定有效路徑集合。

步驟 2：初始化。在沒(méi)有交通量的情形下，算出有效路徑的廣義出行費(fèi)用(0) 及期望最小估計(jì)廣義出行費(fèi)用，利用交通量需求函數(shù)得到相應(yīng)的交通流量，基于(0) 和進(jìn)行隨機(jī)分配，計(jì)算初始路段流量{xa,1}和有效路徑流量{}，令n＝1。

步驟 3：令ta,n＝ta(xa,n)，根據(jù)當(dāng)前路段流量{xa,n}和有效路徑流量{}計(jì)算出路段廣義出行費(fèi)用ca,n、有效路徑廣義出行費(fèi)(n)和，再由交通量需求函數(shù)得出新的交通量，并對(duì)在網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行重新分配，得出新的有效路徑流量{}。

步驟 5：收斂性檢驗(yàn)。收斂準(zhǔn)則：(－)/＜ε，?w∈W。當(dāng)誤差ε達(dá)到預(yù)定誤差時(shí)，結(jié)束循環(huán)；否則，令n＝n＋1，轉(zhuǎn)回步驟 3。

4 結(jié)束語(yǔ)

基于出行者根據(jù)行程時(shí)間和行程時(shí)間可靠性選擇路徑，路徑上的交通流量滿足 Logit 模型，建立彈性需求交通網(wǎng)絡(luò) SUE 配流模型，并給出與其等價(jià)的變分不等式形式，提出相關(guān)模型的算法。模型假定路段之間是相互獨(dú)立的，但是在實(shí)際路網(wǎng)中，路段上的廣義出行費(fèi)用是相互影響的。下一步研究的方向是在路段之間相互影響的情況下，進(jìn)行出行時(shí)間可靠性分析和平衡配流，以及基于時(shí)間可靠性的彈性需求交通網(wǎng)絡(luò)平衡配流問(wèn)題的靈敏度分析，并在交通網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行測(cè)試。

[1] Asakura Y，Kashiwadani M.. Road network reliability caused by daily fluctuation of traffic flow[C]// Proceedings of the 19th PTRC Summer Annual Meeting. Brighton，1991：73-84.

[2] 許 良，高自友. 基于出行時(shí)間可靠性的城市交通網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2008，20(2)：494-498.

[3] Lo H.K.，Tung Y.K.. Network with degradable links：capacity analysis and design[J]. Transportation Research Part B，2003，37(4)：345-363.

[4] Chen A.，Yang H.，Lo H.K.，et al. Capacity Reliability of a Road Network：An Assessment Methodology and Numerical Results [J]. Transportation Research Part B，2002，36(3)：225-252.

[5] Lam W.H.K.，Xu G.. A traffic flow simulator for network reliability assessment[J]. Journal of Advanced Transportation，1999，33(2)：159-182.

[6] Ben-Akiva M.，Leman S.R..Discrete choice analysis：Theory and application to travel demand [M]. Cambridge，MA：M IT Press，1985.

[7] 高自友. 城市交通連續(xù)平衡網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)：理論與方法[M]. 北京：中國(guó)鐵道出版社，2000.