王運(yùn)志，胡耀光，張瑞君

（1. 北京理工大學(xué) 機(jī)械與車(chē)輛工程學(xué)院，北京 100081；2. 中國(guó)人民大學(xué) 商學(xué)院，北京100872）

基于博弈方法的產(chǎn)品組合資源配置決策研究

王運(yùn)志1，胡耀光1，張瑞君2

（1. 北京理工大學(xué) 機(jī)械與車(chē)輛工程學(xué)院，北京 100081；2. 中國(guó)人民大學(xué) 商學(xué)院，北京100872）

0 引言

在制造業(yè)全球化、集群化和信息化的發(fā)展趨勢(shì)下，制造企業(yè)信息化應(yīng)用已從運(yùn)營(yíng)支持層轉(zhuǎn)而向管理和決策層的方向發(fā)展，我國(guó)制造業(yè)在全球市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中也面臨著在快速變化的商務(wù)環(huán)境中合理配置企業(yè)資源、實(shí)現(xiàn)價(jià)值增值的敏捷反應(yīng)與科學(xué)決策的需求。當(dāng)前制造企業(yè)經(jīng)常需要面臨的制造決策問(wèn)題是在產(chǎn)品制造過(guò)程中，通常需要在有限的資金、設(shè)備等資源條件下，使獲得的資源能夠得到最大限度利用以滿(mǎn)足制造要求，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的生產(chǎn)狀態(tài)。

產(chǎn)品組合生產(chǎn)中的制造資源優(yōu)化配置問(wèn)題即是當(dāng)企業(yè)在在不確定的技術(shù)、原材料和市場(chǎng)需求約束下進(jìn)行多種產(chǎn)品制造時(shí)，需要選擇最優(yōu)的產(chǎn)品生產(chǎn)組合，使每一產(chǎn)品的生產(chǎn)都能達(dá)到最理想的資源配置。在傳統(tǒng)最優(yōu)化理論、遺傳算法等研究中通常以企業(yè)整體收益、運(yùn)營(yíng)指標(biāo)、設(shè)備利用率、市場(chǎng)需求滿(mǎn)意度等作為優(yōu)化的目標(biāo)。但在現(xiàn)代制造企業(yè)中，產(chǎn)品不僅需要滿(mǎn)足企業(yè)短期盈利的目標(biāo)，在企業(yè)決策者對(duì)某種產(chǎn)品沒(méi)有偏好的情況下，決策應(yīng)保證各產(chǎn)品在資源競(jìng)爭(zhēng)中都能夠獲得最優(yōu)的資源配置和最大的收益，從企業(yè)的戰(zhàn)略決策角度更能滿(mǎn)足企業(yè)長(zhǎng)期發(fā)展的需要。近來(lái)有很多研究采用新的方法來(lái)更好地解決產(chǎn)品組合資源配置決策問(wèn)題，例如進(jìn)化方法[1]和約束理論方法[2]等。本文采用完全信息下的靜態(tài)博弈的方法，建立多維決策模型，將產(chǎn)品作為資源競(jìng)爭(zhēng)的主體，以每一產(chǎn)品都選擇最優(yōu)的資源配置，最大化本產(chǎn)品的收益為目標(biāo)，選擇在給定的約束條件下資源分配的均衡解，達(dá)到每一產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)狀態(tài)。

1 產(chǎn)品生產(chǎn)函數(shù)及變量

任何產(chǎn)品的生產(chǎn)行為都是在特定的生產(chǎn)條件（如技術(shù)、資源等）下進(jìn)行的，這種特定的生產(chǎn)技術(shù)關(guān)系決定了一個(gè)生產(chǎn)過(guò)程的投入和產(chǎn)出的數(shù)量上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，描述這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的工具就是生產(chǎn)函數(shù)[3]。

生產(chǎn)函數(shù)是一種經(jīng)驗(yàn)研究方法，是以數(shù)據(jù)為樣本，通過(guò)數(shù)學(xué)方法的擬合、檢驗(yàn)和修正得到的。在決策研究中，可以采用生產(chǎn)函數(shù)作為決策效用函數(shù)，以益損值為橫坐標(biāo)，以效用值為縱坐標(biāo)來(lái)表示兩者關(guān)系。同時(shí)，決策的預(yù)見(jiàn)性要求效用曲線能夠反映決策者的偏好和對(duì)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，因此需要根據(jù)決策者對(duì)相同的益損問(wèn)題（獲取收益或避免損失）的反應(yīng)對(duì)生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行修正，把決策戰(zhàn)略者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的變化在此坐標(biāo)系中描點(diǎn)而擬合成一條曲線。效用曲線有保守型、激進(jìn)型、中間型和混合型等類(lèi)型，可以采用指數(shù)擬合、Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)或前沿生產(chǎn)函數(shù)等。

在組合產(chǎn)品生產(chǎn)函數(shù)的構(gòu)建過(guò)程中，首先要識(shí)別決策問(wèn)題中的變量和這些變量與目標(biāo)函數(shù)之間的定量關(guān)系。通常情況下，制造過(guò)程變量包括：資源變量、技術(shù)參數(shù)和決策要素等；變量關(guān)系主要分析決策變量與生產(chǎn)績(jī)效變量的可控制變量之間的關(guān)系。例如，Norden提出一套制造決策定量化分析的方法，將決策分析過(guò)程分為4類(lèi)基本事件：計(jì)數(shù)、分類(lèi)、連接和比較，然后通過(guò)測(cè)量、連接、比較、建模的過(guò)程建立一個(gè)可以描述問(wèn)題的目標(biāo)、約束和其他關(guān)系的模型[4]。

利用企業(yè)已有的制造信息化系統(tǒng)，如ERP系統(tǒng)等，可以表述產(chǎn)品的費(fèi)用-收益函數(shù)如下：

其中：物料成本：ΣC*Cq (C 為物料的標(biāo)準(zhǔn)價(jià)，Cq為該物料的定額用量)

資源消耗費(fèi)用：ΣRr*Rq（Rr為資源標(biāo)準(zhǔn)費(fèi)率，Rq為資源標(biāo)準(zhǔn)用量）

資源管理費(fèi)用（制造費(fèi)用）：ROr （Ror為資源管理費(fèi)用）

物料的管理費(fèi)用：MOr (MOr 為采購(gòu)件的管理費(fèi)用)

外協(xié)費(fèi)用：ΣRPr

對(duì)擬合后的產(chǎn)品收入（效用）和產(chǎn)品成本（資源投入）關(guān)系曲線，在預(yù)測(cè)的最大銷(xiāo)售量 和最小可行產(chǎn)量的決策空間范圍內(nèi)，選擇合理區(qū)間離散處理后，作為一個(gè)有限博弈的策略空間和支付。

2 多維博弈決策模型

博弈論研究存在外部經(jīng)濟(jì)條件下的個(gè)人選擇問(wèn)題，在應(yīng)用博弈論方法進(jìn)行混合產(chǎn)品選擇問(wèn)題的研究中，產(chǎn)品本身作為資源競(jìng)爭(zhēng)的決策主體，參與人主動(dòng)選擇行動(dòng)（或戰(zhàn)略）以最大化產(chǎn)品的效用，即產(chǎn)品的收益水平。博弈論的基本概念包括參與人、行動(dòng)、信息、戰(zhàn)略、支付（效用）、結(jié)果和均衡。

假設(shè)博弈G有N個(gè)博弈方，第n個(gè)博弈方的可行戰(zhàn)略集為Kn(n =1,2,...,N)。記博弈方n 的戰(zhàn)略為kn∈Kn，則博弈G的支付向量u=(u1,u2,...,uN)T可以定義為笛卡兒乘積空間K=K1×K2×...×KN到N維實(shí)數(shù)空間RN上的映射，即u:K→RN，從而博弈方n 在戰(zhàn)略組合為k =(k1,k2,...,kn-1,kn,kn+1,...,kN) 時(shí)的支付為：

式中：[ . ]n表示支付向量的第n個(gè)分量。

在傳統(tǒng)（classic）的博弈描述方式中，博弈的戰(zhàn)略式表述在參與人較多時(shí)難以表示，而擴(kuò)展式表述不適合用于計(jì)算。從表示形式上，博弈G的的支付向量u即為一個(gè)N維實(shí)數(shù)集合，因此可以采用多維數(shù)據(jù)庫(kù)來(lái)表示一個(gè)博弈結(jié)構(gòu)。

在博弈的多維結(jié)構(gòu)描述中，參與人、戰(zhàn)略和支付是描述一個(gè)博弈所需要的必須要素，因此一個(gè)博弈多維模型的基本維度可定義為：

其中：

1）N個(gè)參與人的策略空間維度：每個(gè)參與人作為一個(gè)維度，維度成員為該參與人的策略空間；

2）參與人維度：博弈的參與人集合作為一個(gè)維度，維度成員為每個(gè)參與人；

3）支付維度：表示參與人的效用水平，維度成員可以對(duì)應(yīng)決策者在不同的偏好和對(duì)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度下的效用表示；

4）結(jié)果維度：博弈模型的求解結(jié)果，維度成員可以是不同種類(lèi)型的博弈結(jié)果。

另外，在該模型上擴(kuò)展其他博弈要素可以解決類(lèi)型，例如增加行動(dòng)要素維度，可以通過(guò)決策中的行動(dòng)順序來(lái)解決動(dòng)態(tài)決策問(wèn)題；增加信息集要素維度，可以支持不完全信息決策問(wèn)題的描述。

在應(yīng)用多維博弈模型解決混合產(chǎn)品資源配置問(wèn)題時(shí)，將每一競(jìng)爭(zhēng)資源的產(chǎn)品作為博弈參與人，可選的資源投入作為每一產(chǎn)品的戰(zhàn)略空間，產(chǎn)品效用函數(shù)作為支付維度。在多維數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)，例如ESSBASE中建立博弈模型后，可利用多維數(shù)據(jù)庫(kù)的數(shù)據(jù)挖掘、搜索等技術(shù)對(duì)模型進(jìn)行求解。

3 博弈決策模型的求解

應(yīng)用博弈論進(jìn)行決策的核心問(wèn)題是求解博弈模型，即尋找博弈的均衡。本文在基于多維數(shù)據(jù)模型描述的博弈決策問(wèn)題基礎(chǔ)上，提出均衡結(jié)果的求解方法。

博弈的純策略納什均衡解，可以根據(jù)Nash均衡的存在性定理Ⅱ判定解的存在性：

在n人戰(zhàn)略式博弈中，如果每個(gè)參與人的純戰(zhàn)略空間Si是歐氏空間上一個(gè)非空的、閉的、有界的凸集，支付函數(shù)ui(s)是連續(xù)的且對(duì)si是擬凹的，那么這一對(duì)策中存在純策略納什均衡。

但是Debreu 等給出的純策略納什均衡存在性定理是在十分嚴(yán)格的條件下的充分性定理，對(duì)于制造資源的配置決策問(wèn)題，參與人的支付函數(shù)可能是有限策略組合的離散點(diǎn)集，而且不是連續(xù)且擬凹的。唐小我等給出有限戰(zhàn)略博弈純戰(zhàn)略納什均衡解的搜索算法[5]：

定義函數(shù)fn為博弈方n采用戰(zhàn)略kn時(shí)的支付最大化判別函數(shù)，即給定其他博弈方的戰(zhàn)略k-1= (k1,k2,...,kn-1,kn+1,...,kN)，如果kn∈arg max{Un}，則 fn=1 ,否則 fn=0。

戰(zhàn)略組合k=(k1,k2,...,kN)∈K是純戰(zhàn)略納什均衡的充分必要條件為F(k)=N，因此F(k)= N可以用來(lái)判斷一個(gè)博弈的純戰(zhàn)略納什均衡。如果知道博弈的支付組合，則可以通過(guò)博弈方支付最大化函數(shù)對(duì)可能成為納什均衡的戰(zhàn)略組合作標(biāo)記，然后，檢查支付組合的標(biāo)記次數(shù)是否等于參與博弈的博弈方的個(gè)數(shù)來(lái)判斷相應(yīng)的戰(zhàn)略組合是否是一個(gè)納什均衡。

在基于ESSBASE構(gòu)造的多維數(shù)據(jù)庫(kù)模型中，使用該方法求解純戰(zhàn)略納什均衡的算法腳本可以表示為：

最后，通過(guò)對(duì)每一戰(zhàn)略組合在參與人維度上判斷所有參與人的標(biāo)記次數(shù)F(k)=N，即可判定戰(zhàn)略組合是否為純戰(zhàn)略納什均衡。

4 算法描述及示例

假定某企業(yè)生產(chǎn)A、B、C3種產(chǎn)品，雖然產(chǎn)品的生產(chǎn)規(guī)模和收益不同，但每一種產(chǎn)品對(duì)企業(yè)都非常重要。企業(yè)決策者選擇將一部分資金分配到3中產(chǎn)品中，使每一種產(chǎn)品都盡可能得到達(dá)到最大收益所需的資金，并使企業(yè)有盡可能高的投資收益。

首先，分析企業(yè)現(xiàn)有制造信息系統(tǒng)中的制造數(shù)據(jù)，得到該三種產(chǎn)品在過(guò)去8個(gè)月中的生產(chǎn)成本與收益如表1所示。

表1 過(guò)去8個(gè)月中的產(chǎn)品的費(fèi)用-收益 (單位：百萬(wàn)元)

并考慮未來(lái)市場(chǎng)需求和企業(yè)規(guī)模等因素，預(yù)計(jì)未來(lái)的資金投入量范圍如表2所示。

表2 計(jì)劃投入資金 (單位：百萬(wàn)元)

然后，對(duì)每一產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)采用多項(xiàng)式擬合后，并考慮決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好等因素，修正后的產(chǎn)品效用曲線如圖1所示。

圖1 產(chǎn)品效用曲線

根據(jù)上述產(chǎn)品收益-成本關(guān)系曲線，在預(yù)測(cè)的每一產(chǎn)品最大和最小資源投入范圍內(nèi)，選擇以1 個(gè)單位（百萬(wàn)元）為區(qū)間做離散處理后，3個(gè)產(chǎn)品的資源配置戰(zhàn)略集合和支付如表3所示。

表3 產(chǎn)品戰(zhàn)略和支付(單位：百萬(wàn)元)

建立多維博弈模型，并求解模型的均衡解。分析當(dāng)企業(yè)最大投入資金分別為380和350時(shí)，博弈模型的均衡解及整體投資收益比率如表4所示。

表4 多維博弈模型的均衡解 (單位：百萬(wàn)元)

根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，當(dāng)企業(yè)最大投資為380時(shí)，三種均衡解都是戰(zhàn)略組合(105, 232, 35)，是最優(yōu)資源配置決策；當(dāng)企業(yè)最大投資為350時(shí)，不存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡和重復(fù)剔除的占優(yōu)戰(zhàn)略，存在多個(gè)純策略納什均衡，結(jié)合將整體投資收益比率作為資源配置效率指標(biāo)，戰(zhàn)略組合(105,211,34)是最優(yōu)資源配置決策。

5 結(jié)論

本文研究了使用非合作博弈理論進(jìn)行產(chǎn)品組合資源配置決策研究的方法，將制造資源效用和戰(zhàn)略組合進(jìn)行定量化描述，作為博弈分析的要素來(lái)構(gòu)建多維博弈模型。相比于其他以資源配置整體收益為優(yōu)化目標(biāo)的算法，本文采用求解博弈模型的均衡解作為決策結(jié)果，避免了忽視單一產(chǎn)品收益的缺陷。應(yīng)用示例說(shuō)明了本算法的實(shí)用性。由于純戰(zhàn)略納什均衡解的不唯一性，本研究方法還需要進(jìn)一步研究戰(zhàn)略的混合納什均衡解和非確定環(huán)境下的決策問(wèn)題求解。

[1]Ioannis G.Tsoulos,Pandian Vasant,“Product mix selection using an evolutionary technique,”P(pán)ower Control and Optimization,2009:240-247..

[2]RAINER SOUREN, HEINZ AHN and CHRISTIAN SCHMITZ,“Optimal product mix decisions based on the Theory of Constraints”,International Journal of Production Research,2005,43(2):361-374..

[3]孫巍.生產(chǎn)資源配置效率-生產(chǎn)前沿面理論及其應(yīng)用[M].社會(huì)科學(xué)文獻(xiàn)出版社,北京:2000:83-93.

[4]Norden, P.V.,“Quantitative techniques in strategic alignment,”IBM Systems Journal,1993,32:180-197.

[5]唐小我,倪得兵.有限戰(zhàn)略式博弈純戰(zhàn)略均衡求解的新算法[J].管理工程學(xué)報(bào),2006,20(2):137-140.

A game theoretic approach to product-mix resource allocation

WANG Yun-zhi1, HU Yao-guang1, ZHANG Rui-jun2

本文針對(duì)有限資源下的產(chǎn)品組合資源配置決策問(wèn)題，提出了基于博弈理論的解決方法。應(yīng)用定量化分析方法來(lái)表示制造資源效用和配置戰(zhàn)略，將產(chǎn)品作為資源競(jìng)爭(zhēng)的主體，使用定量化的決策要素作為維度來(lái)構(gòu)造一個(gè)多維博弈模型，求解博弈模型得到資源配置決策的最優(yōu)解。

產(chǎn)品組合資源配置；多維博弈模型；定量化決策

王運(yùn)志（1974 -），男，遼寧大連人，博士，研究方向?yàn)橹圃熨Y源配置、商務(wù)智能。

TP274

A

1009-0134(2011)4(上)-0072-04

10.3969/j.issn.1009-0134.2011.4(上).23

2010-10-29

國(guó)防科技基礎(chǔ)研究基金項(xiàng)目（C172009C001）