劉翠紅, 吳 畏, 蔣 暉, 朱旭忠, 王建永

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電容器教學(xué)中的兩個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論

劉翠紅, 吳 畏, 蔣 暉, 朱旭忠, 王建永

(河海大學(xué) 數(shù)理部, 江蘇 常州, 213022)

在部分教材和文獻(xiàn)中, 出現(xiàn)了關(guān)于電容器的兩個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論: a.電容器的電容與除有效表面之外的另外兩個(gè)表面有關(guān); b.電容器的電容與接地?zé)o關(guān). 為了解決這兩個(gè)問(wèn)題, 使用導(dǎo)體系的部分電容理論分析了兩個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論產(chǎn)生的原因, 并給出了正確的結(jié)論, 所得結(jié)論對(duì)電容器的教學(xué)和使用具有較大的參考價(jià)值. 此外分析過(guò)程還表明導(dǎo)體系的部分電容理論是分析電容器有關(guān)問(wèn)題的一個(gè)有力而簡(jiǎn)捷的工具.

電容器; 有效表面; 接地; 導(dǎo)體系

電容器是大學(xué)物理的基本內(nèi)容之一. 這部分內(nèi)容表面上看起來(lái)簡(jiǎn)單, 實(shí)則內(nèi)容非常豐富. 也正是由于這個(gè)原因, 在部分教材和文獻(xiàn)中出現(xiàn)了兩個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論, 這給教師講授、學(xué)生學(xué)習(xí)和技術(shù)人員使用電容器造成了很大影響. 已有一些作者研究了這兩個(gè)問(wèn)題[1-6], 但他們使用的方法是通常的電場(chǎng)法、電勢(shì)法、能量法等方法, 分析過(guò)程往往不夠簡(jiǎn)便和清楚, 甚至有個(gè)別作者還支持這兩個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論.

基于這一現(xiàn)狀, 我們也開(kāi)展了對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的研究. 但和以往的作者不同, 我們使用的方法是導(dǎo)體系的部分電容理論[7], 因?yàn)檫@一理論具有分析問(wèn)題簡(jiǎn)便、物理意義清楚等優(yōu)點(diǎn). 此外還因?yàn)檫@一理論在目前的文獻(xiàn)中使用得還比較少, 很有必要對(duì)這一理論做廣泛推介.

1 導(dǎo)體系的部分電容理論簡(jiǎn)介

設(shè)導(dǎo)體系有個(gè)導(dǎo)體, 空間其它帶電體距離導(dǎo)體系足夠遠(yuǎn), 各導(dǎo)體帶電量分別為1,2, …,q,電勢(shì)分別為1,2, …,(取無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)0點(diǎn)), 則各導(dǎo)體的電勢(shì)可表示為:

或?qū)懗删仃囆问?

或?qū)懗删仃囆问?

式(3)可進(jìn)一步改寫(xiě)為:

電勢(shì)系數(shù)、電容系數(shù)和部分電容都只決定于導(dǎo)體系中各導(dǎo)體的形狀、各導(dǎo)體的相對(duì)位置以及空間的介質(zhì), 與其它因素?zé)o關(guān).

導(dǎo)體系中任二導(dǎo)體可以看成一個(gè)電容器, 其電容的計(jì)算方法很多, 導(dǎo)體系的部分電容理論提供了一種新算法.

這種算法的具體做法是: 根據(jù)對(duì)偶原理把導(dǎo)體系轉(zhuǎn)化為一電容網(wǎng)絡(luò), 導(dǎo)體系中的每一導(dǎo)體對(duì)應(yīng)電容網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn), 大地對(duì)應(yīng)電容網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)0, 導(dǎo)體系中的每一互電容或自電容對(duì)應(yīng)電容網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)電容器. 這樣, 導(dǎo)體系中任二導(dǎo)體間電容的計(jì)算就轉(zhuǎn)化為電容網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)二節(jié)點(diǎn)間等效電容的計(jì)算.

圖 1 一導(dǎo)體系

圖 2 電容網(wǎng)絡(luò)A

2 兩個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論

2.1 電容器的電容和除有效表面之外的另外兩個(gè)表面有關(guān)

通常的平板電容器、柱形電容器和球形電容器都有兩個(gè)相對(duì)的表面, 這兩個(gè)表面在有的文獻(xiàn)中被稱(chēng)為有效表面. 為簡(jiǎn)潔起見(jiàn), 本文也做此處理. 目前有一些文獻(xiàn)認(rèn)為電容器的電容和除有效表面之外的另外兩個(gè)表面有關(guān), 我們分析后認(rèn)為這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的. 下面舉例說(shuō)明這一錯(cuò)誤并分析其產(chǎn)生的原因.

例2: 球形電容器的二球殼的4個(gè)半徑從內(nèi)到外依次為1、2、3和4,求電容器的電容.

圖 3 電容網(wǎng)絡(luò)B

進(jìn)一步的分析表明: 內(nèi)球殼的厚度對(duì)球形電容器的電容也沒(méi)有影響, 甚至除有效表面之外的另外兩個(gè)表面的形狀對(duì)球形電容器的電容也沒(méi)有影響.

2.2 電容器的電容與接地?zé)o關(guān)

目前還有一些文獻(xiàn)認(rèn)為電容器的電容與極板的接地?zé)o關(guān). 我們分析后發(fā)現(xiàn)這種觀點(diǎn)同樣是錯(cuò)誤的, 正確的觀點(diǎn)應(yīng)該是: 外極板接地時(shí)電容不變, 內(nèi)極板接地時(shí)電容增加, 且增量為22(設(shè)內(nèi)極板為導(dǎo)體1, 外極板為導(dǎo)體2). 下面我們以球形電容器為例, 用導(dǎo)體系的部分電容理論來(lái)分析這一問(wèn)題.

圖4 電容網(wǎng)絡(luò)C

圖5 電容網(wǎng)絡(luò)D

另外, 平板電容器是最簡(jiǎn)單的一類(lèi)電容器, 但又是一類(lèi)較為特殊的電容器, 其特殊之處在于它的兩個(gè)極板的形狀完全相同, 這一點(diǎn)與柱形電容器和球形電容器是不一樣的. 也正是由于平板電容器的這一特殊性, 導(dǎo)致了在把以上正確結(jié)論應(yīng)用到平板電容器時(shí), 還需解決兩個(gè)問(wèn)題: a. 如何選取平板電容器的內(nèi)極板和外極板？b. 內(nèi)極板或外極板接地時(shí), 各個(gè)部分電容分別是多少？

對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題, 我們認(rèn)為平板電容器的兩極板是相同的, 因此把哪個(gè)極板取為內(nèi)極板(相應(yīng)的把另一極板取為外極板)都是可以的.

對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題, 由于內(nèi)、外極板的選取是任意的, 換句話說(shuō), 當(dāng)某一極板接地時(shí), 既可以認(rèn)為是內(nèi)極板接地, 也可以認(rèn)為是外極板接地, 所以不需要內(nèi)極板接地和外極板接地兩種情況都討論, 只要討論其中一種情況就可以了.

3 結(jié)論

用導(dǎo)體系的部分電容理論分析并糾正了目前部分教材和文獻(xiàn)中關(guān)于電容器的兩個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論, 所得正確結(jié)論對(duì)教師講授、學(xué)生學(xué)習(xí)和技術(shù)人員使用電容器具有較大的參考價(jià)值. 分析過(guò)程表明導(dǎo)體系的部分電容理論是分析電容器有關(guān)問(wèn)題的一個(gè)有力而簡(jiǎn)捷的工具, 值得廣泛推介.

附錄: 球形電容器各個(gè)部分電容的推導(dǎo)

設(shè)球形電容器的二球殼的四個(gè)半徑從內(nèi)到外依次為1、2、3和4, 求各個(gè)部分電容.

解: 設(shè)內(nèi)球殼為導(dǎo)體1, 外球殼為導(dǎo)體2, 另設(shè)內(nèi)球殼帶電, 外球殼不帶電, 有:

設(shè)外球殼帶電內(nèi)球殼不帶電, 有:

求電勢(shì)系數(shù)矩陣的逆矩陣, 有:

進(jìn)一步計(jì)算得:

另: 文中還涉及到了一些類(lèi)似的其它推導(dǎo), 限于篇幅, 此處從略.

[1] 張白珊, 劉啟能. 接地對(duì)導(dǎo)體系統(tǒng)電容的影響[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 1995, 18(3): 79-82.

[2] 房建州. 與電容有關(guān)的兩個(gè)問(wèn)題的討論[J]. 常州技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報(bào), 1998, 4(4): 19-25.

[3] 張弢, 張曉茹, 孫建剛, 等. 任意形狀導(dǎo)體系統(tǒng)電容量計(jì)算方法的理論探討[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(bào): 工學(xué)版, 2002, 32(4): 375-377.

[4] 李炘琪. 一道電磁學(xué)習(xí)題引出的問(wèn)題[J]. 物理教學(xué)探討, 2005, 23(6): 245-246.

[5] 鄧書(shū)卷. 電容器教學(xué)中不容忽視的幾個(gè)問(wèn)題[J]. 科技信息, 2008(35): 686-687.

[6] 楊俊秀, 趙文來(lái), 夏海霞. 關(guān)于電容器及電容教學(xué)思考[J]. 電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 31(4): 44-46.

[7] 王家禮, 朱滿座, 路宏敏. 電磁場(chǎng)與電磁波[M]. 2版, 西安: 西安電子科技大學(xué)出版社, 2004: 35-39.

Two wrong conclusions in the teaching about capacitors

LIU Cui-hong, WU Wei, JIANG Hui, ZHU Xu-zhong, WANG Jian-yong

( Department of Mathematics & Physics, Hehai University, Changzhou 213022, China )

There are two wrong conclusions about capacitors in some books and papers, and the conclusions are as follow: a. The capacitance of a capacitor is relevant to the non-valid surfaces of the capacitor. b. The capacitance of a capacitor is irrelevant to earth connection of the capacitor. In order to solve the two problems, the wrong conclusions are analyzed and the corresponding correct conclusions are given using the theory of the partition capacitance of the system of conductors. The correct conclusions have much reference value for the teaching and use about capacitors. In addition, the analytic process indicates that the theory of the partition capacitance of the system of conductors is powerful and simple for the analysis of the problems about capacitors.

capacitor; valid surface; earth connection; the system of conductors

10.3969/j.issn.1672-6146.2011.03.016

O 444

1672-6146(2011)03-0058-04

2011-09-12

劉翠紅(1974-), 女, 講師, 碩士, 研究方向?yàn)楣こ屉姶艌?chǎng). E-Mail: liuch@hhuc.edu.cn

(責(zé)任編校: 劉剛毅)