劉自鑫，鐘守銘

(1. 貴州財(cái)經(jīng)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 貴陽 550004; 2. 電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 成都 611731)

相對(duì)于傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)互連控制系統(tǒng)而言, 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)[1](networked control systems，NCS)具有成本低、靈活性高、易于擴(kuò)展與維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)[2]，廣泛應(yīng)用于制造系統(tǒng)、工業(yè)過程控制、航空航天等領(lǐng)域[3]。由于有限的通訊帶寬和承載能力，網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延、丟包、數(shù)據(jù)錯(cuò)序等現(xiàn)象不可避免，繼而嚴(yán)重影響網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的性能和穩(wěn)定性。因此，時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)成為了當(dāng)前一個(gè)研究熱點(diǎn)[4-7]。針對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[8]、網(wǎng)絡(luò)擁塞控制[9]、魯棒控制[10-13]、H∞控制[14-15]等方面的研究已取得了許多重要成果。由于系統(tǒng)中的元器件經(jīng)常會(huì)發(fā)生失效故障，用傳統(tǒng)方法設(shè)計(jì)的控制器不僅不能保證閉環(huán)系統(tǒng)的性能，甚至?xí)瓜到y(tǒng)不穩(wěn)定[16]，因此系統(tǒng)容錯(cuò)控制研究具有現(xiàn)實(shí)意義。容錯(cuò)控制是在執(zhí)行器、傳感器或某元器件發(fā)生故障時(shí)，仍然能使閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定的控制技術(shù)。以往的文獻(xiàn)對(duì)于系統(tǒng)的容錯(cuò)控制大多局限于非隨機(jī)情況。事實(shí)上，由于控制器、執(zhí)行器以及某些元器件的失效故障現(xiàn)象本質(zhì)上具有隨機(jī)性[17]，每個(gè)元器件的平均失效概率可以通過統(tǒng)計(jì)得到，而且元器件只存在失效與否兩種可能，所以Bernoulli分布是描述元器件隨機(jī)失效的理想選擇之一。

基于此，本文通過引入具有Bernoulli分布獨(dú)立隨機(jī)序列開關(guān)矩陣，研究一類網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的隨機(jī)容錯(cuò)控制問題。運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論以及線性矩陣不等式技術(shù)，針對(duì)傳感器、執(zhí)行器分別存在隨機(jī)失效故障，以及二者同時(shí)存在隨機(jī)失效故障的情況，給出了均方指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，并基于該穩(wěn)定條件，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的隨機(jī)容錯(cuò)控制器。

1 問題描述

考慮如圖1所示的單回路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)?？紤]到網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)滯、數(shù)據(jù)丟包及錯(cuò)序等因素，圖1中的被控對(duì)象可以采用如下離散線性系統(tǒng)加以描述[14]：

圖1 網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

注2 為保證閉環(huán)系統(tǒng)式(3)在傳感器或執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)仍然穩(wěn)定，文獻(xiàn)[5-7,11-12,16]研究了上述時(shí)滯系統(tǒng)的容錯(cuò)控制問題，并給出了相應(yīng)的控制器設(shè)計(jì)算法。值得指出的是，以往這些容錯(cuò)控制都是通過在反饋增益矩陣和狀態(tài)向量之間加一個(gè)常數(shù)開關(guān)矩陣來實(shí)現(xiàn)。事實(shí)上，由于控制器和執(zhí)行器的失效具有隨機(jī)性[17]，因此以往這些常數(shù)開關(guān)矩陣難以客觀地描述該現(xiàn)象。

下面針對(duì)傳感器和控制器存在隨機(jī)失效故障的情況，分別討論閉環(huán)系統(tǒng)式(3)的隨機(jī)容錯(cuò)控制問題。為進(jìn)一步討論需要，首先需要引入如下定義、引理及假設(shè)。

假設(shè) 1 傳感器與執(zhí)行器的失效與否與網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)變量相互獨(dú)立。

假設(shè) 2 傳感器之間、執(zhí)行器之間以及傳感器

與執(zhí)行器之間的失效與否相互獨(dú)立。

2 主要結(jié)果

2.1 傳感器存在失效故障情況

2.2 執(zhí)行器存在失效故障情況

2.3 傳感器、執(zhí)行器同時(shí)存在失效故障情況

3 仿真例子

考慮離散化網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)式(1)，其參數(shù)矩陣為：

考慮控制系統(tǒng)只存在執(zhí)行器失效情況，并假定執(zhí)行器的失效概率數(shù)學(xué)期望矩陣L=diag(0.9,0.9)，在上述參數(shù)條件下，容易驗(yàn)證系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

在上述反饋增益下，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)如圖3所示，由圖3可知閉環(huán)系統(tǒng)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

圖3 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

4 結(jié) 束 語

通過引入具有Bernoulli分布的隨機(jī)開關(guān)矩陣，研究了控制器和執(zhí)行器存在隨機(jī)失效故障的容錯(cuò)控制問題。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出了上述情況下系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，并基于該條件設(shè)計(jì)了反饋控制器。本文結(jié)論包含了一般反饋控制及容錯(cuò)控制的結(jié)果。仿真例子表明，該設(shè)計(jì)方法是有效的。

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