王景海，劉春彥

(1.北京市門(mén)頭溝區(qū)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)委員會(huì)，北京 102300； 2.北京市市政一建設(shè)工程有限責(zé)任公司，北京 100083)

緩和曲線加寬段路幅邊緣線長(zhǎng)度的計(jì)算

王景海1?，劉春彥2

(1.北京市門(mén)頭溝區(qū)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)委員會(huì)，北京 102300； 2.北京市市政一建設(shè)工程有限責(zé)任公司，北京 100083)

推導(dǎo)出緩和曲線加寬段路幅邊緣線長(zhǎng)度計(jì)算的數(shù)值積分表達(dá)式，指出現(xiàn)有文獻(xiàn)計(jì)算公式錯(cuò)誤之處，澄清了錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。給出了卡西歐fx－4800P計(jì)算器程序及步長(zhǎng)自適應(yīng)驗(yàn)證程序清單，結(jié)合工程實(shí)例，驗(yàn)證所推公式正確性。

緩和曲線；邊緣線；長(zhǎng)度計(jì)算；程序；算例

1 引 言

公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范規(guī)定[1]:當(dāng)平曲線半徑等于或小于250m時(shí)，路面內(nèi)側(cè)應(yīng)加寬，路基也隨之加寬。加寬過(guò)渡的設(shè)置根據(jù)道路性質(zhì)和等級(jí)可采用不同的方法，比例加寬過(guò)渡法和高次拋物線加寬過(guò)渡法是常采用的方法。

加寬過(guò)渡后，求取道路緩和曲線段內(nèi)側(cè)路幅邊緣線的長(zhǎng)度，不但具有理論上的意義，而且也有著實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值，如計(jì)算、放樣、計(jì)量位于該部分工程構(gòu)筑物問(wèn)題就涉及需先知道該部分長(zhǎng)度。文獻(xiàn)[2，3]分別就采用比例加寬過(guò)渡法和高次拋物線加寬過(guò)渡法兩種情況下內(nèi)側(cè)路幅邊緣線長(zhǎng)度計(jì)算公式進(jìn)行了推導(dǎo)，得出了加寬段邊緣線長(zhǎng)度計(jì)算公式。但在公式推導(dǎo)時(shí)由于把加寬邊緣線長(zhǎng)度微元與轉(zhuǎn)角微元、半徑之間關(guān)系式列立錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致了邊緣線長(zhǎng)度計(jì)算公式的錯(cuò)誤。該公式在緩和曲線段長(zhǎng)度較長(zhǎng)、圓曲線半徑較大、加寬值不大時(shí)誤差尚不明顯，但在緩和曲線段長(zhǎng)度較短、圓曲線半徑較小、加寬值較大時(shí)誤差明顯。本文由路幅邊緣線坐標(biāo)參數(shù)方程入手，根據(jù)微積分中參數(shù)方程弧長(zhǎng)公式，得出路幅邊緣線長(zhǎng)度計(jì)算積分表達(dá)式，分析了現(xiàn)有文獻(xiàn)的錯(cuò)誤與不足，給出了卡西歐fx－4800P計(jì)算器程序及步長(zhǎng)自適應(yīng)驗(yàn)證程序，又結(jié)合工程實(shí)例，驗(yàn)證了公式的正確性。

2 公式推導(dǎo)

由于高等級(jí)道路一般僅在內(nèi)側(cè)加寬，所以本文僅討論內(nèi)側(cè)路幅加寬邊緣線長(zhǎng)度計(jì)算問(wèn)題。

建立如圖1所示的獨(dú)立坐標(biāo)系。緩和曲線全長(zhǎng)L0，緩和曲線參數(shù)為A，圓曲線半徑R，半幅路寬D，全加寬W。

圖1 中線、加寬邊緣線關(guān)系圖

中線長(zhǎng)度L處點(diǎn)P(X，Y)對(duì)應(yīng)路幅加寬邊緣線處點(diǎn)P1(X1，Y1)的加寬值為Wx，則針對(duì)線性與高次拋物線加寬兩種形式，Wx的表達(dá)式分別為:

中線點(diǎn)P(X，Y)、路幅加寬邊緣線處點(diǎn)P1(X1，Y1)坐標(biāo)有如下關(guān)系[1]:

式中β為緩和曲線轉(zhuǎn)角，β＝L2/2A2

式(3)、式(4)分別對(duì)L求導(dǎo)得:

由微積分中參數(shù)方程弧長(zhǎng)公式，路幅邊緣線長(zhǎng)度L1的表達(dá)式為:

將式(5)、式(6)代入式(7)并整理得:

式(8)即為路幅邊緣線長(zhǎng)度精確計(jì)算之積分表達(dá)式。當(dāng)全加寬值W＝0時(shí)，Wx＝0，式(8)即變?yōu)榈葘挄r(shí)內(nèi)側(cè)邊線計(jì)算公式[4]:

3 現(xiàn)有文獻(xiàn)錯(cuò)誤與不足之處

文獻(xiàn)[2，3]都犯了同樣一個(gè)錯(cuò)誤，即都認(rèn)為加寬邊緣線長(zhǎng)度微元dL1與轉(zhuǎn)角微元dβ、半徑之間存在如下關(guān)系:

實(shí)際上式(10)是錯(cuò)誤的，因?yàn)橹行木€上任一點(diǎn)的法線與加寬邊緣線并不垂直，法線僅與中心線或等寬邊線垂直，因而式(10)等式關(guān)系并不成立，在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出的邊緣線長(zhǎng)度計(jì)算公式必然是錯(cuò)誤的。

文獻(xiàn)[5]給出的是邊緣線長(zhǎng)度計(jì)算的近似公式，該公式與加寬邊線方程式?jīng)]有實(shí)質(zhì)上的聯(lián)系，在理論上缺陷是明顯的，只能作為近似的公式使用。

4 卡西歐fx－4800P計(jì)算器程序及驗(yàn)證程序

卡西歐fx－4800p計(jì)算器是日本卡西歐公司生產(chǎn)的一種科學(xué)計(jì)算器，它除了具有一般科學(xué)計(jì)算功能外，還具有數(shù)值積分計(jì)算和程序功能。它利用復(fù)化辛普生法進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算，且有4500字節(jié)的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)容量，可滿足一般工程測(cè)量計(jì)算需要。

路幅邊緣線長(zhǎng)度精確計(jì)算式(8)為數(shù)值積分表達(dá)式，無(wú)法求得其原函數(shù)，不能用牛頓－萊布尼茨公式求解，但可以利用卡西歐fx－4800p計(jì)算器的數(shù)值積分計(jì)算功能對(duì)其進(jìn)行求解計(jì)算。

驗(yàn)證方法采用以弦代曲方法。具體說(shuō)就把曲線分成適當(dāng)長(zhǎng)度的小段，若每段弧長(zhǎng)與弦長(zhǎng)之差小于一給定小值，則可以以弦長(zhǎng)代替弧長(zhǎng)。由于加寬段路幅邊緣線曲率半徑大于相應(yīng)的圓曲線段曲率半徑，因此若圓曲線段給定弧長(zhǎng)與弦長(zhǎng)之差小于一給定小值，則以該給定弧長(zhǎng)均分加寬緩和段中線，得到每個(gè)均分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的路幅邊緣線點(diǎn)坐標(biāo)，將相鄰點(diǎn)間的弦線長(zhǎng)度累加求和，即可作為路幅邊緣線的實(shí)際長(zhǎng)度。

如圖2所示，設(shè)圓曲線半徑為R，圓心角為α，相應(yīng)的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)，弦長(zhǎng)為C，則弧長(zhǎng)與弦長(zhǎng)之差為:

圖2 弧長(zhǎng)與弦線關(guān)系圖

將sinα/2展開(kāi)，略去高次項(xiàng)并顧及α＝L/R，代入式(11)整理得:

取ε＝0.001，代入(12)式得:

即當(dāng)加寬緩和段中線上分段長(zhǎng)度滿足式(13)，對(duì)應(yīng)的路幅邊緣線上相鄰點(diǎn)一定滿足以弦代曲要求。

程序清單:

該程序?qū)⒕€性與高次拋物線加寬兩種形式的路幅邊緣線長(zhǎng)度計(jì)算統(tǒng)一到一個(gè)主程序中，自適應(yīng)步長(zhǎng)驗(yàn)證程序作為子程序供主程序調(diào)用。

運(yùn)行主程序，輸入緩和曲線全長(zhǎng)L0，中心線長(zhǎng)度L，半幅路寬D，全加寬W，緩和曲線參數(shù)A，中心線圓曲線半徑R，提示選擇加寬形式:o＝1表示選擇線性加寬，o＝2表示選擇高次拋物線加寬，選擇1或2輸入，程序顯示出路幅邊緣線長(zhǎng)度計(jì)算結(jié)果L1，按回車(chē)鍵顯示出驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果L2。

5 工程算例

先舉文獻(xiàn)[2]中算例。路幅邊緣線按線性加寬，L0＝200 m，D＝12.25 m，A＝300，R＝450 m，全加寬W值分別按0.75 m，1.25 m，1.75 m，2.5 m計(jì)算。按數(shù)值積分法、以弦代曲法驗(yàn)證及文獻(xiàn)[2，5]計(jì)算結(jié)果如表1所示。

線性加寬計(jì)算結(jié)果(單位/m) 表1

若按高次拋物線加寬，則數(shù)值積分法、以弦代曲法驗(yàn)證及文獻(xiàn)[5]計(jì)算結(jié)果如表2所示。

高次拋物線加寬計(jì)算結(jié)果(單位/m) 表2

再舉文獻(xiàn)[5]中算例。路幅邊緣線按線性加寬，L0＝50 m，D＝6.0 m，A＝66.332，R＝88 m，全加寬W值分別按0.75 m，1.25 m，1.75 m，2.5 m計(jì)算。按數(shù)值積分法、以弦代曲法驗(yàn)證及文獻(xiàn)[2，5]計(jì)算結(jié)果如表3所示。

線性加寬計(jì)算結(jié)果(單位/m) 表3

表1～表3中驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果L2與計(jì)算結(jié)果L1之差別可以認(rèn)為是以弦代曲誤差所引起。表1、表3中文獻(xiàn)[2]部分結(jié)果雖然與計(jì)算結(jié)果也很接近，是因?yàn)樗憷谢蚓徍颓€段長(zhǎng)度較長(zhǎng)、或圓曲線半徑較大、或加寬值不大的緣故，不能就此認(rèn)為文獻(xiàn)[2]所給公式正確。由上表也可看出，當(dāng)緩和曲線段長(zhǎng)度較短、或圓曲線半徑較小、或加寬值較大時(shí)文獻(xiàn)[5]的近似計(jì)算誤差也較大。

6 結(jié) 語(yǔ)

本文所推導(dǎo)的緩和曲線加寬段路幅邊緣線長(zhǎng)度計(jì)算公式及相應(yīng)的程序，可以廣泛應(yīng)用到位于該部位構(gòu)筑物的計(jì)算、放樣與工程量計(jì)量工作中。

[1] 張志清.道路勘測(cè)設(shè)計(jì)[M].北京:科學(xué)出版社，2005

[2] 趙新華，楊金保，丁偉.關(guān)于緩和曲線段路幅邊緣線長(zhǎng)度的精確計(jì)算[J].交通科技，2008(5):38～39

[3] 陳翠麗，丁建明.緩和曲線加寬內(nèi)外邊線的計(jì)算方法[J].交通標(biāo)準(zhǔn)化，2006(9):104～106

[4] 王景海.道路平曲線平行線弧長(zhǎng)通用公式及應(yīng)用[J].城市勘測(cè)，2009(2):121～123

[5] 彭飛，劉齊軍.平曲線加寬緩和段內(nèi)側(cè)邊線長(zhǎng)度的近似計(jì)算[J].工程勘察，2008(1):66～68

The Calculation of Widend Sideline Length for Transition Curve Route

Wang JingHai1，Liu ChunYan2
(1.Beijing Mentougou District Municipal Commission of Housing and Urban－Rural Development，Beijing 102300，China；2.Beijing No.1 Municipal Construction Engineering Co.，Ltd.Beijing 100083，China)

The paper deduced the numerical integration calculation formula of widend sideline length for transition curve route and analysed the existent documents′error and shortage，then the the Casio－fx 4800p computer program、step－size proved program and engineering examples are also be given respectively.

Transition curve；Sideline；Length calculation；Program；Example

1672－8262(2011)02－150－03

P209，P258

B

2010—07—13

王景海(1970—)，男，高級(jí)工程師，主要從事工程測(cè)量技術(shù)與管理工作。