劉忠會 李長福

1 概述

地基承載力是巖土力學(xué)領(lǐng)域最為普遍的工程問題，其承載能力如何涉及到建筑工程的安全。經(jīng)典土力學(xué)中地基承載力計算，一般基于剛體假設(shè)的極限分析方法，該方法求解巖土工程問題時對于應(yīng)力分布、土體變形采用了與實際不符合的簡化，無法反映更為復(fù)雜的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系(如彈塑性、粘彈塑性等)，因此其適應(yīng)性受到限制。地基承載力現(xiàn)場荷載試驗?zāi)軌颢@得較為可靠的結(jié)果，但是現(xiàn)場試驗需要消耗較多的人力和物力。

計算科學(xué)與計算機技術(shù)的發(fā)展使土力學(xué)的內(nèi)容和方法發(fā)生了很大的變革，很多復(fù)雜巖土工程問題，都可望通過有限元、有限差分等方法求解。但因為巖土材料是迄今最為復(fù)雜的一種介質(zhì)，表現(xiàn)為碎散性、多相性和非均質(zhì)性，“參數(shù)給不準(zhǔn)”已成為制約數(shù)值計算的瓶頸問題。如何結(jié)合監(jiān)測信息推求巖土參數(shù)即所謂的反分析成為巖土工程領(lǐng)域的一個重要問題。

反分析方法本質(zhì)上是優(yōu)化問題，數(shù)值模擬反映的是隱式非線性的關(guān)系，難以進(jìn)行求導(dǎo)，傳統(tǒng)優(yōu)化方法受到限制。差異進(jìn)化算法(Difference Evoluation，DE)是Rainer Storn和Ken.Price 1995年提出的一種新型直接全局優(yōu)化算法，與遺傳算法比，該算法不進(jìn)行編碼和解碼操作，使用上大為簡化。DE算法對初始值無要求，收斂速度快，對各種非線性函數(shù)適應(yīng)性強，具有并行運算特性，尤其適應(yīng)于多變量復(fù)雜問題的尋優(yōu)。本文引入該算法，結(jié)合面向?qū)ο蟮挠邢拊椒?，建立了地基加載的仿真優(yōu)化系統(tǒng)。在介紹系統(tǒng)構(gòu)建的基礎(chǔ)上，通過一個地基加載與識別的例子，介紹了該系統(tǒng)的應(yīng)用。

2 差異進(jìn)化算法介紹

差異進(jìn)化算法(Differential Evolution，簡稱DE)是由美國加州大學(xué)伯克利大學(xué)的Kenneth Price和Rainer Storn提出的一種新型無約束直接尋優(yōu)算法。差異進(jìn)化算法是一種基于群體的優(yōu)化算法，采用的是隨機方向搜索的辦法，在優(yōu)化過程中不需要利用目標(biāo)函數(shù)的梯度信息，對函數(shù)的非線性程度不做要求。在 DE算法中，所有的新個體以相同的幾率被選為父代，并不依賴于個體適應(yīng)度。

DE算法采用貪婪選擇過程，也就是在新個體及其父代個體中挑選較優(yōu)的作為下一代，與遺傳算法相比，具有更快收斂速度。DE算法依然保留著類似遺傳算法的三種遺傳操作，包括雜交、變異和選擇，但無須編碼解碼。在構(gòu)造新個體方面，遺傳算法主要依靠雜交操作，而DE算法依靠變異操作。

令第G代種群中向量的個數(shù)為NP，第G代中向量可以表示為xi，G，i=1，2，…，NP，每個向量個體包含D個分量，DE算法過程如下:

1)產(chǎn)生初始種群。在D維空間里隨機產(chǎn)生滿足自變量上下界約束的NP個染色體，公式如下:

2)變異操作。在DE算法中，縮放種群中任意兩個目標(biāo)向量個體之間的差值并疊加到種群中的第 3個向量個體上，形成新的變量，此過程稱為變異。對于第 G代每個目標(biāo)向量，其變異向量第j分量為:

其中，下標(biāo)r1，r2，r3為[1，NP]中的隨機整數(shù)且互不相同;F為縮放因子，用來調(diào)節(jié)向量差異的步長幅值，在 0～2內(nèi)取值。式(2)是基本的變異模式，被稱作DE/rand/1模式，其在二維解空間的擾動向量見圖 1。隨著該公式的改變，尚能形成其他模式，如DE/best/1，DE/best/2，DE/rand/2等[4]。

3)交叉操作。將目標(biāo)向量xi，G與變異向量 vi，G+1按照如下規(guī)則雜交，生成新的試樣向量ui，G+1:

其中，rj∈[0，1]為與向量第j個分量對應(yīng)的隨機數(shù);CR∈[0，1]為雜交概率常數(shù);rni為在1，2，…，D中隨機挑選一個整數(shù)，以確保變異向量Vi(G+1)中，至少有一個分量被試樣向量ui(G+ 1)采用。

4)選擇。采用貪婪搜索方法進(jìn)行選擇操作。將試樣向量ui(G+1)與目標(biāo)向量xi(G)比較，如果ui(G+1)對應(yīng)較小的目標(biāo)函數(shù)值，則選擇向量ui(G+1);反之如果xi(G)對應(yīng)較小的目標(biāo)函數(shù)值，則保留向量xi(G)。

3 基于差異進(jìn)化的EEOS系統(tǒng)

在對于巖土材料的彈塑性計算中，材料的應(yīng)力應(yīng)變與加載路徑有關(guān)，因此在非線性有限元分析中，通常采用增量形式迭代法表示，通過分段線性解來逼近非線性解。把總荷載 f化為若干個增量段 Δfi，逐級施加進(jìn)行求解。有限元增量方程為:

總位移:

總荷載:

對于每一個增量步的計算，可以歸結(jié)為求解一個非線性方程:

當(dāng)物體中某一點開始產(chǎn)生塑性應(yīng)變時，其應(yīng)力或應(yīng)變必須滿足的條件叫做屈服條件，亦即是初始彈性條件下的界限，將其表示為應(yīng)力的函數(shù)為:

本文非線性有限元的屈服準(zhǔn)則采用Von-Mise塑性準(zhǔn)則。

地基參數(shù)識別本質(zhì)上是優(yōu)化問題。根據(jù)模型參數(shù)的特定物理意義，可設(shè)定上下限，如果區(qū)域內(nèi)有m個觀測值，有約束的優(yōu)化問題為:

4 算例研究

以下通過兩個地基算例，分別驗證本系統(tǒng)的仿真和識別的正確性。

4.1 彈塑性有限元仿真結(jié)果分析

地基加載的網(wǎng)格見圖 2。

用平面應(yīng)變條件下的Mise準(zhǔn)則，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整才能得到摩爾—庫侖準(zhǔn)則下相同的極限承載力:

其中，t=1;γ=0;φ=0得到Nc=5.711，然后得到:qu=cNc= 17.13 kN/m。

圖3表明了結(jié)點 12的豎向位移隨時間的變化曲線。第 17步以后的變化趨勢較之前完全不同。

4.2 地基參數(shù)的差異進(jìn)化識別

以下進(jìn)行地基加載的材料參數(shù)識別(見圖 4)，考慮彈性平面應(yīng)變的矩形地基模型，由兩種材料組成，材料 1的彈性模量E= 30MPa，材料2的彈性模量為8MPa，泊松比都是0.3。模型寬度為60m，高度為30m，荷載寬度為30m，已知荷載是0.1MPa，在地基的表面設(shè)置 2個測點，測點位移見表 1?，F(xiàn)由監(jiān)測的位移進(jìn)行兩種材料的彈性模量的識別。

表1 測點的監(jiān)測信息

設(shè)置差異進(jìn)化算法的最大迭代步數(shù) 2 000，種群數(shù) 30，縮放因子F=0.8，交叉因子CR=0.7，以式(4)為適應(yīng)值函數(shù)，進(jìn)行參數(shù)的搜索(見表2)。

表2 識別的參數(shù)與實際的參數(shù)對比

5 結(jié)語

本文基于有限元和差異進(jìn)化算法研制了地基荷載試驗的仿真和參數(shù)識別程序，并通過算例進(jìn)行驗證。通過與普朗德爾的解析公式對比，采用的Von-Mise塑性準(zhǔn)則計算的極限承載力與解析解一致，地基加載仿真計算的位移分布規(guī)律合理。說明本文有限元方法的計算是正確可靠的。本文利用測點監(jiān)測位移，提出了一種地基土參數(shù)識別的差異進(jìn)化優(yōu)化算法。通過算例對含兩個土層材料的彈性模量進(jìn)行識別，獲得了很高的識別精度和良好的收斂性能。在差異進(jìn)化搜索過程中，變異因子和交叉因子取值不同將會對收斂性產(chǎn)生影響，在本文計算中，這兩個參數(shù)分別取 0.7～0.9，都能夠快速地收斂到最優(yōu)值。本文工作對于進(jìn)一步研究復(fù)雜地基的承載力和力學(xué)行為分析具有重要的意義。

[1] 陳祖煜，高 峰.地基承載力的數(shù)值分析方法[J].巖土工程學(xué)報，1997，19(5):6-13.

[2] 羅曉輝.用遺傳算法確定地基承載力[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報，2001，20(3):394-398.

[3] 楊小禮，郭乃正，李 亮.非線性破壞準(zhǔn)則與巖土材料地基承載力研究[J].巖土力學(xué)，2005，26(8):1177-1183.

[4] Rainer Storn，Kenneth Price.Differential Evolution-A Simple and Efficient Heuristic for Global Optimization over Continuous Spaces[J].Journal of Global Optimization，1997(11):341-369.