李四偉，張金良

(河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南洛陽(yáng)471003)

0 前言

由于非線性微分－差分方程(組)在非線性光學(xué)、原子物理、凝聚態(tài)物理、生物物理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如脈沖在光纖中的傳播、等離子體物理中Langmuir波的自聚焦和爆破等，因此，非線性微分－差分方程(組)已引起眾多學(xué)者廣泛的興趣。對(duì)于非線性微分－差分方程(組)，已有很多研究方法如雙線性方法［1］、達(dá)布變換法［2］、Backlund變換法［3］、廣義的微分變換法［4］、離散的Sine－Gordon方程展開(kāi)法［5］、指數(shù)函數(shù)展開(kāi)法［6］、Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法［7］、擴(kuò)展的雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法［8］、G'/G－展開(kāi)法［9－11］等。到目前為止，沒(méi)有一種統(tǒng)一的方法能求解出非線性微分－差分方程(組)的所有精確解。

文獻(xiàn)［12］研究了(2+1)維Ablowitz－Ladik(AL－NLS)方程

文獻(xiàn)［13］證明了方程(1)是不完全可積的，并對(duì)其孤波性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)分析，得到對(duì)于任意小的格子空間△x，此方程均有穩(wěn)定的孤子解;求解出了方程(1)的精確線孤子解(不穩(wěn)定):

由于方程(1)的精確解具有很重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值，因此，本文利用G'/G－展開(kāi)法求解方程(1)的精確解，并成功得到它的三種類型的精確行波解。

1 (2+1)維Ablow itz-Ladik方程的精確解

由于un，m(t)為復(fù)函數(shù)，設(shè)

把式(2)代入方程(1)，令實(shí)部和虛部等于零，得

依據(jù)齊次平衡原則，令

其中，a0、a1為待定常數(shù);G (ξn，m)滿足

λ、μ為任意常數(shù)。

其中，△1=;ζ1、ζ2、d2和h2為任意常數(shù);d1和h1為滿足cos(d1)cos(h1)＞0的任意常數(shù);耦合強(qiáng)度ε=1/△x2。

利用方程(7)的解，可導(dǎo)出方程(1)的精確解:

情形2 當(dāng)λ2－4μ＜0時(shí)，類似于情形1，可得出方程(1)的精確解:

情形3 當(dāng)λ2－4μ=0時(shí)，類似于情形1，可得方程(1)的解為:

2 結(jié)論

本文將G'/G－展開(kāi)法應(yīng)用于(2+1)維Ablowitz－Ladik(AL－NLS)方程的求解中，當(dāng)耦合強(qiáng)度ε= 1/△x2，σ=1(散焦)時(shí)，得到了該方程的雙曲函數(shù)形式的精確解、三角函數(shù)形式的周期波解和有理函數(shù)形式的行波解，這些精確解含有較多的任意參數(shù)。利用Mathematica軟件，驗(yàn)證了所得精確解的正確性。可見(jiàn)，在求解非線性微分－差分方程(組)精確解方面，G'/G－展開(kāi)法是一個(gè)非常有效、直接、簡(jiǎn)便的方法。

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