潘小春，朱翼雋

(江蘇大學(xué)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

0 前言

近年來，Servi和Finn［1］引入了一類半休假策略，服務(wù)員在假期并未完全停止工作而是以較低的速率為顧客服務(wù)，這種休假策略稱為工作休假。田乃碩［2］分析了離散時(shí)間Geom/Geom/1單重工作休假排隊(duì)，得到了系統(tǒng)中的顧客數(shù)和任意顧客的逗留時(shí)間的穩(wěn)態(tài)分布，并闡明了隊(duì)長(zhǎng)和逗留時(shí)間的隨機(jī)分解性質(zhì)。爾后，李繼紅等［3－4］研究了M/M/1休假可中止的工作休假排隊(duì)。朱翼雋等［5］研究了休假可中止的M/G/1工作休假排隊(duì)。2009年，汪文飛［6］運(yùn)用矩陣幾何解的方法求得到達(dá)時(shí)刻隊(duì)長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)分布，而且證明了其可以分解為三個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的分布的和。

本文在文獻(xiàn)［2］的基礎(chǔ)上引入關(guān)閉和啟動(dòng)期并把工作休假擴(kuò)展為休假可中止的工作休假。如果休假期間的服務(wù)速率退化為零，就得到經(jīng)典的帶關(guān)閉和啟動(dòng)期的Geom/Geom/1的單重休假排隊(duì)。休假可中止考慮了生產(chǎn)實(shí)際中某些指標(biāo)達(dá)到一定的值時(shí)有必要轉(zhuǎn)入正常服務(wù)這一客觀事實(shí)。例如在分析通信網(wǎng)中信息流與信道，傳送的數(shù)據(jù)和中央處理單元之間的關(guān)系時(shí)，如果信息或者數(shù)據(jù)達(dá)到的一定的數(shù)量，這時(shí)信道或數(shù)據(jù)處理單元即使處在低速服務(wù)期也必須返回正常服務(wù)。

1 模型描述

帶關(guān)閉和啟動(dòng)期的休假可中止Geom/Geom/1單重工作休假排隊(duì)模型可描述如下:

到達(dá)間隔T、服務(wù)時(shí)間Sb與Sν、啟動(dòng)時(shí)間U、休假時(shí)間V相互獨(dú)立分別服從參數(shù)為p，μb，μν，γ，θ的幾何分布。潛在的顧客到達(dá)發(fā)生在時(shí)隙末端(n，n)，服務(wù)的開始和結(jié)束都發(fā)生在時(shí)隙分點(diǎn)t=n上，啟動(dòng)時(shí)間U開始和結(jié)束也只發(fā)生在時(shí)隙分點(diǎn)t=n處。為確定起見，假設(shè)休假的開始與結(jié)束都發(fā)生在時(shí)隙末端(n，n)上。

有兩種可能的方式從工作休假轉(zhuǎn)入正規(guī)忙期:(1)工作休假期內(nèi)以速率μν完成一個(gè)服務(wù)，并且系統(tǒng)中有顧客等待，則中止正在進(jìn)行的工作休假轉(zhuǎn)入正規(guī)忙期，若服務(wù)完成時(shí)系統(tǒng)中無顧客，則關(guān)閉系統(tǒng)。新到達(dá)的顧客不能立即接受服務(wù)，而是需經(jīng)歷一個(gè)啟動(dòng)期，啟動(dòng)期結(jié)束后進(jìn)入一個(gè)正規(guī)忙期以速率μb接受服務(wù)，正規(guī)忙期結(jié)束后進(jìn)入工作休假。(2)若某次工作休假結(jié)束時(shí)系統(tǒng)內(nèi)有顧客在場(chǎng)，正在進(jìn)行的服務(wù)速率由μν轉(zhuǎn)換到μb，開始一個(gè)正規(guī)忙期;一次工作休假結(jié)束時(shí)系統(tǒng)內(nèi)無顧客，也關(guān)閉系統(tǒng)，新到達(dá)的顧客也必須經(jīng)歷一個(gè)啟動(dòng)期，啟動(dòng)期結(jié)束后進(jìn)入正規(guī)忙期接受服務(wù)，一個(gè)正規(guī)忙期結(jié)束后進(jìn)入工作休假。稱這樣的休假機(jī)制為休假可中止的工作休假策略。

根據(jù)文獻(xiàn)［7］，本文討論的是晚到有延遲入口的離散時(shí)間排隊(duì)模型。

其中，狀態(tài)(k，0)，k≥0表示系統(tǒng)處于工作休假期且系統(tǒng)中有k個(gè)顧客;狀態(tài)(k，1)，k≥1表示系統(tǒng)處于啟動(dòng)期且系統(tǒng)中有k個(gè)顧客;狀態(tài)(0，1)表示系統(tǒng)處于關(guān)閉期;(k，2)，k≥1表示系統(tǒng)處于正規(guī)忙期且系統(tǒng)中有k個(gè)顧客。

的最小非負(fù)解R起著重要作用，稱為率陣，為表出R，記c=。

定理1 當(dāng)c＜1時(shí)，即p＜μb，矩陣方程(1)有最小非負(fù)解

證明 由于A，B，C均為上三角陣，那么R也是上三角的，即

將R2和R代入式(1)，得到下述方程組

計(jì)算結(jié)果見a，b，c，d，f。

2 穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布

當(dāng)c＜1時(shí)，設(shè)(L+，J)表示(L，Jn)的穩(wěn)態(tài)極限，平穩(wěn)分布記為

定理3 c＜1時(shí)，(L+，J)的聯(lián)合概率分布為

證明 用矩陣幾何解方法(見文獻(xiàn)［9］)，得到

把B［R］代入上述方程中，得到方程組

取π00=K，

把(π1，0，π1，1，π1，2)和Rk1代入式(5)，得到式(4)。最后，常數(shù)因子π00=K由正規(guī)化條件π00+π01+π1(IR)－1e=1確定。

3 隊(duì)長(zhǎng)和逗留時(shí)間的隨機(jī)分解結(jié)構(gòu)

定理4 當(dāng)c＜1且μν＜μb時(shí)，穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)L+可分解成兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和L+=L+Ld，其中L是經(jīng)典無休假的Geom/Geom/1排隊(duì)中穩(wěn)態(tài)下的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)且服從參數(shù)為1－c的幾何分布，由單重休假可中止的工作休假引起的附加隊(duì)長(zhǎng)Ld服從修正的幾何分布，有概率母函數(shù)。

證明 由式(4)知，L+的概率母函數(shù)可寫成

容易驗(yàn)證，γ1+γ2+γ3+γ4=1，因此Ld(z)確是一個(gè)PGF。由定理4中的分解結(jié)構(gòu)，有下列均值公式

以W和W(s)表示穩(wěn)態(tài)下顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間及其PGF。注意到對(duì)應(yīng)的無休假Geom/Geom/1排隊(duì)中顧客逗留時(shí)間W0有PGF:

定理5 當(dāng)c＜1且μν＜μb時(shí)，逗留時(shí)間W可分解成兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和:W=W0+Wd，W0是對(duì)應(yīng)無休假系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)逗留時(shí)間，有上式所給的PGF;由休假可中止的工作休假引起的附加延遲有PGF:

其中，

證明 使用穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)L+與逗留時(shí)間W之間的經(jīng)典關(guān)系

在L+(z)的表達(dá)式

這樣得到

容易得到下列均值公式

［1］ Servi L D，F(xiàn)inn SG.M/M/1 Queue with Working Vacations(M/M/1/WV)［J］.Perform Evaluation，2002，50:41－52.

［2］ Li J，Tian N.Analysis of the Discrete Time Geo/Geo/1 Queue with Single Working Vacation［J］.Quality Technology and Quantitative Management，2008，5(1):77－89.

［3］ Li Jihong，Tian Naishuo.The M/M/1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruptions［J］.Syst Sci Syst Eng，2007，16(1):121－127.

［4］ Li Jihong，Tian Naishuo，Ma Zhanyou.Performance Analysis of GI/M/1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruption［J］.Applied Mathematical Modeling，2008，32(12):2715－2730.

［5］ 朱翼雋，石秀闖.M/G/1工作休假和休假中止排隊(duì)［J］.運(yùn)籌與管理，2008，17(4):67－71.

［6］ 汪文飛，李俊平.帶單重指數(shù)工作休假和休假中斷的GI/M/1的排隊(duì)系統(tǒng)［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2009，29(3):94－97.

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［8］ 田乃碩，徐秀麗，馬占友.離散時(shí)間排隊(duì)論［M］.北京:科學(xué)出版社，2008.

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