鄧理平, 邢世奇, 張志讓

(成都信息工程學院數(shù)學學院,四川成都610225)

1 引言

1972年Tang[1]得到了一個關于群的帶循環(huán)融合子群的自由積的Frattini子群的定理,當時考慮的是兩個子群的帶循環(huán)融合子群的自由積的情形,后來Azarian[2]將其推廣到任意多個子群的帶循環(huán)融合子群的自由積的情形,并提出了兩個公開的問題。

郭欽等[3]利用Frattini子群是群的所有極大子群的交構成的特征子群回答了第一個公開問題。

Kappe和Kirtland[4]給出了nFrat(G)和cFrat(G)定義并研究了相關的性質。王英和張志讓[5]給出了 fn-Frattini子群和fcFrattini子群的定義,并研究了它的基本性質。文中首先從群的 fnFrattini子群等于它的 fn-非生成元組成的集合這一特征性質出發(fā),考慮了任意多個子群的帶循環(huán)融合子群的自由積的 fnFrattini子群,推廣了Azarian的相關定理;然后從 fnFrattini子群是群的所有具有有限指數(shù)的極大正規(guī)子群的交這一定義從另一角度證明了相應的定理,進一步推廣了郭欽等[3]關于這類問題的結果。同樣地,考慮了任意多個子群的帶循環(huán)融合子群的自由積的 fcFrattini子群,也從兩個角度分別用兩種方法證明了相應定理。

2 fnFrattini子群、fcFrattini子群和群的融合自由積的概念

2.1 fnFrattini子群

定義1[5]在群G中,設如果 N?L?G,那么N=L或L=G}。當N≠?時,定義;當N=?時,稱為群G 的fnFrattini子群。

定義2[5]在群G中,設元素x∈G,如果對 G的任意滿足子集∞且 G=〈x,S〉G,都有 G=SG,稱 x為群G的fn-非生成元。

群G的fnFrattini子群等于它的fn-非生成元組成的集合[5]。

2.2 fcFrattini子群

定義3[5]在群G中,設如果 K char L char G,那么 K=L或L=G}。當K≠?時,定義;當K=?時,定義稱為群G的fcFrattini子群。

定義4[5]在群G中,設元素 x∈G,如果對G的任意滿足子集∞且 G=〈x,S〉Aut(G),都有 G=SAut(G),稱 x為群G的fc-非生成元。

群G的fcFrattini子群等于它的 fc-非生成元組成的集合[5]。

2.3 群的融合自由積

Neumann[6]給出的群的融合自由積[7]的概念。假設令 Γ為基數(shù)大于1的指數(shù)集合,G是群,并且S是它的生成元集合。假設 S=∪γ∈ΓSγ為群G 的一些子集Sγ的并,對每一個 γ∈ Γ,記 Gγ=〈Sγ〉,Rγ是Gγ的定義關系集合。如果R=∪γ∈ΓRγ是群G的定義關系集合,那么就稱G為子群簇的廣義自由積。因為沒有事先假設 Sα和Sβ是不相交的,那么可以設 Gα∩Gβ=Hαβ=Hβα≠1。如果對于所有的 α≠β,都有 Hαβ=1,那么稱 G為子群簇的自由積。如果假設所有的交 Hαβ都是同一個子群H,即對于所有的 α≠β(α,β∈ Γ)都假設Gα∩Gβ=H,那么稱 G 為子群簇的帶融合子群H 的自由積,并將 G 表示為G=Frγ∈Γ(Gγ;Hγ),其中對于所有的γ∈Γ,Hγ都同構于H。

3 主要結果

引理[8]設G是群且H≤G,K≤G,那么其中為H在子集KH中左陪集的個數(shù)。特別地,如果有限,那么有限,且;當且僅當 G=HK時,等號成立。

3.1 關于 fnFrattini子群的結果

Azarian給出了任意多個群的帶循環(huán)融合子群的自由積的Frattini子群的結果。下面從 fnFrattini子群是由群的 fn-非生成元組成的特征子群這一特征性質出發(fā),將Azarian這一結果推廣到 fnFrattini子群的情形。

定理1 設 G=Frγ∈Γ(Gγ;Hγ)是任意子群簇帶循環(huán)融合子群H的自由積。如果 N≤H且N?G,那么對任意γ∈Γ,都有

從fnFrattini子群是群G的所有具有有限指數(shù)的極大正規(guī)子群的交證明定理1。這推廣了郭欽等相關定理。

3.2 關于 fcFrattini子群的結果

定理2 設 G=Frγ∈Γ(Gγ;Hγ)是任意子群簇帶循環(huán)融合子群H的自由積。如果 N≤H且NcharG,那么對任意 γ∈ Γ,都有

[1]Tang C Y.On the Frattini subgroups of generalized free products with cyclic amalgamations[J].Canad.Math.Bull.,1972,15：569-573.

[2]Azarian M K.On the lower near Frattini subgroups of amalgamated free product of groups I[J].Missouri J.Math.Sci.,1990,2：105-144.

[3]郭欽,張志讓,王英,等.群的融合自由積的幾種廣義Frattini子群[J].數(shù)學年刊,2008,29A(1)：67-70.

[4]Kappe L C,Kirtland J.Some Analogues of the Frattini Subgroup[J].Algebra Colloq.,1997,4(4)：419-426.

[5]Wang Ying,Zhang Z R.Some Generalized Frattini Subgroup[J].Journal of Mathematics,2009,29：609-612.

[6]Neumann B H.An essay on free products of groups with amalgamations[J].Philos.Trans.Roy.Soc.London Ser.,1954,246(A)：503-554.

[7]Robinson D J S.A Course in the Theory of Groups 2nd ed[M].New York：Springer Verlag,1996.

[8]Derk K,Hawkes T.Finite Soluble Groups[M].Berlin：Walter de Gruyter,1992.