李飛祥

（1.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系，鄭州 450001；2.安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南安陽 455000）

不確定非完整系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時(shí)間鎮(zhèn)定

李飛祥1，2

（1.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系，鄭州 450001；2.安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南安陽 455000）

研究了一類具有非線性參數(shù)化鏈?zhǔn)椒峭暾到y(tǒng)自適應(yīng)有限控制問題.基于參數(shù)分離技術(shù)，input-state-scaling變換技巧和backstepping設(shè)計(jì)方法構(gòu)造連續(xù)時(shí)變反饋有限時(shí)間自適應(yīng)控制律.通過切換策略有效克服系統(tǒng)在x0(t0)=0不能控的現(xiàn)象，該控制律保證閉環(huán)系統(tǒng)同Lyapunov穩(wěn)定和有限時(shí)間收斂.

自適應(yīng)；有限時(shí)間穩(wěn)定；非完整系統(tǒng)；非線性參數(shù)化

近幾年來，非完整系統(tǒng)的控制問題引起了廣泛關(guān)注.這些已有結(jié)果大多是通過時(shí)變或非光滑狀態(tài)反饋控制律來完成系統(tǒng)的漸近（指數(shù)）鎮(zhèn)定.由于系統(tǒng)在復(fù)雜的工作環(huán)境中，受各種干擾因素的影響，具有不確定性是不可避免的.本文研究了一類具有非線性參數(shù)化的鏈?zhǔn)椒峭暾到y(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題.通過參數(shù)分離技術(shù)解決了參數(shù)的非線性化問題，并通過input-state-scaling[1]和backstepping[2]技術(shù)顯示設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器.

1 問題描述

本文考慮如下一類不確定鏈?zhǔn)椒峭暾到y(tǒng)

其中(x0,x)=(x0,x1,…,xn)∈Rn+1，(u0,u1)∈R2分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)和控制輸入，fi,i=0,1,…,n為其相應(yīng)變量的連續(xù)函數(shù)，θ∈Rm為未知參數(shù)向量，di為未知虛擬控制系數(shù)，fi,i=0,1,…,n為其相應(yīng)變量的C1函數(shù)且滿足fi(0,θ)=0.控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)魯棒自適應(yīng)控制器

使閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間調(diào)節(jié)到零點(diǎn).

為此，在本文中對(duì)系統(tǒng)（1）作如下假設(shè)：

假設(shè)1存在正數(shù)ci1和ci2使得ci1≤di≤ci2.

假設(shè)2存在非負(fù)光滑函數(shù)fˉi滿足

在系統(tǒng)分析之前，我們首先介紹有限時(shí)間穩(wěn)定的概念和一些引理.

其中f:U0→Rn在包含原點(diǎn)x=0的一個(gè)開鄰域U0內(nèi)關(guān)于x連續(xù).如果系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x=0是Lyapunov穩(wěn)定，

并且在一個(gè)U?U0鄰域內(nèi)是有限時(shí)間收斂的，則稱x=0是局部有限時(shí)間穩(wěn)定的.

引理1對(duì)以系統(tǒng)（1）存在光滑函數(shù)γ0(x0)≥1和γi(x0,x1,…,xi,u0)≥1使得

其中Θ≥1是一個(gè)依賴θ的不確定常數(shù).

引理2[3]對(duì)于任意實(shí)數(shù)xi, i=1,…,n和0＜b＜1，有

當(dāng)b=p/q＜1,其中p＞0和q＞0都為奇數(shù)，則

2 有限時(shí)間自適應(yīng)控制

在這部分我們利用backstepping方法設(shè)計(jì)系統(tǒng)的自適應(yīng)有限控制器.首先處理x0(0)≠0，然后再討論x0(0)≠0的情形.系統(tǒng)的下三角結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含了u0和u1可以分離設(shè)計(jì).

2.1 x0(0)≠0時(shí)的系統(tǒng)分析

對(duì)于x0-子系統(tǒng)，我們?cè)O(shè)計(jì)控制律如下

其中k0是一個(gè)正的設(shè)計(jì)常數(shù)，0是Θ第一次估計(jì)，選取Lyapunov函數(shù)

定理1x0-子系統(tǒng)在控制律（8）作用下有限時(shí)間自適應(yīng)穩(wěn)定.

因此，對(duì)于任意給定的有限時(shí)刻ts＞0，都有x0(ts)≠0，故（8）式中的u0(t)≠0, ?t≥ts.從而控制設(shè)計(jì)的input-state-scaling變換能夠執(zhí)行.當(dāng)t∈[0, ts)時(shí)，采用（36）式定義的u0以及產(chǎn)生的新的控制律u1，當(dāng)t≥ts切換輸入u0，u1到（8）,（33），從而得到本文的主要結(jié)果.

定理2在假設(shè)1-2下，存在狀態(tài)反饋控制律（8），（33）和自適應(yīng)律（11）和（34），并應(yīng)用上述切換控制策略，使不確定非完整系統(tǒng)（1）到狀態(tài)全局有限時(shí)間調(diào)節(jié)到原點(diǎn).

令α=2n/(2n+1)∈(0,1)，則由引理3有

3 結(jié)論

本文考慮一類帶有非線性參數(shù)化鏈?zhǔn)椒峭暾到y(tǒng)的有限時(shí)間自適應(yīng)鎮(zhèn)定問題.基于參數(shù)分離技術(shù)處理非線性參數(shù)，利用input-state-scaling變換技巧和backstepping設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器.該控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)同時(shí)是Lyapunov穩(wěn)定和有限時(shí)間收斂的.

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Adaptive Finite-Time Stabilization of Nonholonomic Systems with Uncertainties

LI Fei-xiang1,2
(1.Department of Mathematics,Zhengzhou University,Zhengzhou 450001,China; 2.School of Mathematics and Statistics,Anyang Normal University,Anyang 455000,China)

In this paper,adaptive finite-time control is presented for a class of uncertain nonholonomic systems in chained form with nonlinear parameterization.Using parameter separation,state scaling and backstepping,an adaptive finite-time control law is obtained in the form of continuous time-invariant feedback.Both Lyapunov stability and finite time convergence are guaranteed by appropriately choosing the design parameters.An adaptive control based switching strategy is used to overcome the uncontrollability problem associated withx0(t0)=0.

adaptive;finite-time stability;nonholonomic systems;input-state-scaling;nonlinear parameterization

O231

A

1008-2794（2011）10-0048-05

2011-09-02

國家自然科學(xué)基金（61073065）；河南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃資助項(xiàng)目（[2011]-JKGHAD-0199）.

李飛祥（1981—），男，河南洛陽人，安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué).