武 偉， 王宏志

（長春工業(yè)大學(xué)計算機科學(xué)與工程學(xué)院，吉林長春 130012）

0 引 言

基于偏微分方程的圖像處理是近年來研究的一個熱點[1-6]，其來源于物理學(xué)中的熱傳導(dǎo)，結(jié)合變分方法、泛函分析、微分幾何等數(shù)學(xué)工具，建立和偏微分方程相關(guān)的模型，使其在圖像分割、圖像平滑、圖像識別等圖像處理領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。其中非線性擴散方程是圖像去噪領(lǐng)域中應(yīng)用最為廣泛的模型，由Perona和Malik[4]于1990年提出，該非線性擴散模型根據(jù)圖像梯度對圖像進行不同程度的平滑濾波，具有各向異性。隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)經(jīng)典P-M方法雖然在特征保持方面成果顯著，但從數(shù)學(xué)模型的觀點看，其模型卻存在一定缺陷，由于擴散函數(shù)是基于圖像梯度計算出來的，從而對噪聲很敏感，一旦噪聲強度加大，在濾除噪聲的同時，對圖像的視覺破壞也相當(dāng)嚴(yán)重。因此，人們對P-M模型進行了大量的改進。

文獻[7]得到正則化后的P-M擴散方程; Whitaker和 Pizer[8]，Weickert[9]以及 Carmona[10]等改進了P-M 擴散模型;2000年，Chen[11]等得到了較好的非線性擴散模型。在同樣的理論框架下，Osher與 Rudin[12-13]關(guān)于沖擊濾波器（Shock Filter）和Rudin，Osher，F(xiàn)atemi[14]關(guān)于全變差去噪的研究工作顯示了理解偏微分方程在圖像處理中應(yīng)用的必要性與重要性。

雙樹復(fù)小波變換是為克服通常的離散小波變換的缺陷而提出的。當(dāng)對應(yīng)小波基（近似）滿足Hilbert變換關(guān)系時，雙樹復(fù)小波變換能夠極大地減小通常的實小波變換中的平移敏感性，改善方向選擇性。這些優(yōu)點使雙樹復(fù)小波變換在圖像去噪領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

1 雙樹復(fù)小波變換

傳統(tǒng)的離散小波變換存在平移敏感性和缺乏方向選擇性等缺點，為了克服這些缺點，Kingsbury[15-16]等提出了雙樹復(fù)小波變換（DT CWT）。雙樹復(fù)小波變換采用了二叉樹架構(gòu)的兩路DWT，一樹生成變換的實部，一樹生成虛部，如圖1所示。

圖1 雙樹復(fù)小波變換

Kingsbury的思路是:對于第一層分解，如果兩樹濾波器之間的延遲恰是一個采樣間隔，那么就可以確保b樹中第一層的二抽取正好采樣到a樹中因二抽取所丟掉的采樣值（這樣就等價于沒進行二抽取，而且非常易于實現(xiàn)，如在b樹前加一個采樣周期延遲即可）;對于以后的各層分解，為了保證兩樹在該層和所有前層上產(chǎn)生的延遲差的總和相對于原始輸入為一個采樣周期，兩樹對應(yīng)濾波器的相頻響應(yīng)之間應(yīng)有半個采樣周期的群延遲，且兩濾波器的幅頻響應(yīng)相等。為了保證線性相位而采用雙正交小波變換，Kingsbury要求一樹的濾波器為奇數(shù)長，另一樹的濾波器為偶數(shù)長。如果在每樹的不同層次間交替采用奇偶濾波器，那么這兩樹就會呈現(xiàn)好的對稱性。

2 非線性擴散方程

Perona和Malik[4]提出了一種非線性擴散方程，該方程通過時間變化的更新（即迭代）使得圖像逐漸平滑，從而達到去除噪聲的目的。其數(shù)學(xué)表達式為:

式中:

其中，▽u是圖像的梯度，定義為:

div（v）為散度，定義為:

一般情況下，擴散函數(shù)c是圖像的梯度函數(shù)，隨著梯度的增加而單調(diào)下降，見式（2）。該擴散系數(shù)決定了擴散進行的方式，提供了一種局部自適應(yīng)的擴散控制策略，使得擴散盡可能在噪聲的位置進行，而在圖像的邊緣位置停止。

P-M方程的離散形式為:

這樣P-M方程作用于圖像的模板為:

這里像素s的權(quán)值不再是個固定值，而是跟像素s的空間位置有關(guān)，如果像素位于梯度大的位置，由于c（x，y，t）是以|▽u（x，y，t）|為變量的單調(diào)下降函數(shù)，所以其相應(yīng)的權(quán)值就會小，平滑力度就弱;反之，如果像素位于梯度小的位置，其平滑力度就強。而圖像的邊緣通常是梯度較大的，而其它區(qū)域梯度較小，所以，P-M方程能在保留甚至加強邊緣的情況下實現(xiàn)對圖像噪聲的去除。

3 雙樹復(fù)小波變換與非線性擴散結(jié)合去噪

1999年，Kingsbury[15]提出了DT-CWT變換，它具有以下特點:近似平移不變性，良好方向選擇性，有限數(shù)據(jù)冗余，高效計算效率，較好重構(gòu)效果等。DT-CWT變換可以通過2棵離散小波樹（Tree a，Tree b）并行實現(xiàn)實部和虛部運算（見圖1）。2棵樹分別作用于圖像的行和列，產(chǎn)生雙樹結(jié)構(gòu)。每級分解后得到2個低頻帶（低頻部分用于產(chǎn)生下一尺度上的低頻與高頻部分），同時得到6個方向（±15°，±45°，±75°）的高頻子帶，可以更好地描述紋理和邊緣等細節(jié)特征。

利用雙樹復(fù)小波在紋理和邊緣等細節(jié)處理的優(yōu)點，結(jié)合非線性擴散濾波提出了一種新的圖像去噪方法。首先對噪聲圖像進行雙樹復(fù)小波分解，生成6個方向的高頻子帶圖像，然后針對這些子帶圖像復(fù)小波系數(shù)矩陣的不同特點進行非線性擴散。最后進行雙樹復(fù)小波逆變換，得到最終濾波后的圖像。

算法的主要步驟如下:

步驟1:對圖像進行一次雙樹復(fù)小波變換。設(shè)二維圖像 u（x，y）分解后的低頻子帶圖像為AL1，AL2;高頻子帶圖像分別為WH1，WH2，WH3，WH4，WH5，WH6。

步驟2:將得到的高頻子帶圖像分別進行非線性擴散濾波。

步驟3:用非線性擴散濾波處理后的高頻子帶圖像進行雙樹復(fù)小波逆變換重構(gòu)原圖像。

4 實驗分析

實驗選取256×256的灰度圖像作為仿真圖像，以PSNR（peak signal-to noise ration）來評價圖像質(zhì)量。加入均值為0，方差為σ的高斯噪聲，分別采用雙樹復(fù)小波、非線性擴散、文中方法進行去噪，得到的圖像如圖2所示。

圖2 三種方法去噪后的圖像

閾值參數(shù)取0.05，非線性擴散的時間空間步長分別為t=0，h=1，迭代次數(shù)50，這里閾值參數(shù)是根據(jù)多次實驗結(jié)果選取的最佳值，為了體現(xiàn)算法的有效性，同時盡量降低計算復(fù)雜度，所以迭代次數(shù)為50，實驗結(jié)果見表1。

表1 采用三種去噪方法的PSNR比較

5 結(jié) 語

利用雙樹復(fù)小波與非線性擴散的優(yōu)點，將兩者結(jié)合提出了一種混合去噪方法。通過實驗分析，該方法優(yōu)于傳統(tǒng)的雙樹復(fù)小波和非線性擴散法，能更好地去除噪聲并保留圖像的邊緣和細節(jié)等信息。實驗驗證了算法的有效性。

[1] Rudin L，Osher S，F(xiàn)atemi E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J].Phys D，1992，60（1/4）:259-268.

[2] M razek P，Weickert J，Steidl G.Correspondences between wavelet shrinkage and nonlinear diffusion [A].Scale Space Methods in Computer Vision[C]. Berlin:Springer Press，2003:101-116.

[3] Rudin L，Osher S.Total variation based image restoration with free local constraints[A].Proceedings of the IEEE International Conference On Image Processing[C].Piscataway:IEEE Press，1994:31-35.

[4] Perona P，Malik J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].IEEE T rans on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1990，12（7）:629-639.

[5] Qu Tianshu，Dai Yi-song，Wang Shu-xun，et al. Adaptive wavelet thresholdingdenoisingmethod based on SURE estimation[J].Electronic Journal.，2002，30（2）:266-268.

[6] Yuan Zejian，Zhang Nan-ning，Zhang Yuan-lin，et al.A design method for nonlinear diffusion filter and its application[J].Chinese J.Computers，2002，25（10）:1072-1076.

[7] Scherzer O，Weickert J.Relations between regularization and diffusion filtering[J].J.M ath.Image Vision.，2000，12（1）:43-63.

[8] Whitaker R T，Pizer S M.A multi-scale approach to non-uniform diffusion[J].CVIGP;Image Understanding，1993，57（1）:99-110.

[9] Weickert J.Multiscale texture enhancement Computer analysis of images and patterns[J].Lecture Notes in Computer Science，1995，970:230-237.

[10] Carmona R A，Zhong S F.Adaptive smoothing respecting feature directions[J].IEEE Transactions on Image Processing，1998，7（3）:353-358.

[11] Chen Y，Vemuri B，Wang L.Image denoising and segmentation via nonlinear diffusion[J].Computer and Mathematics with Applications，2000，39（5/6）:131-149.

[12] Osher S，Sethian J A.Fronts propagating with curvature-dependent speed;Algorithms based on Hamilton-Jacobiformulations[J].Journalof Computational Physics，1988，79（1）:12-49.

[13] Osher S，Rudin L I.Feature-oriented image enhancement using shock filters[J].SIAM Journal of Numerical Analysis，1990，27（4）:919-940.

[14] Rudin L I，Osher S，F(xiàn)atemi E.Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J]. Physica D.，1992，60:259-268.

[15] Kingsbury N G.Complex wavelets for shift invariant analysis and filtering of signals[J].Appl. Comp.Harmonic Anal.，2000，10（3）:234-253.

[16] Kingsbury N G.The dual-tree complex wavelet transform:A new efficient tool for image restoration and enhancement[A].Proc.European Signal Processing Conf[C].[S.l.]:Rhodes，1998:319-322.