盧振花, 劉錫平, 沈 立

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

1 問題的提出

微分方程組理論是研究高階微分方程相關(guān)問題的重要基礎(chǔ),近年來,常微分方程組的理論研究受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-3].文獻(xiàn)[2]利用Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理研究了一類二階微分方程組兩點(diǎn)邊值問題解的存在性,得到了非負(fù)解存在的充分條件.眾所周知,脈沖微分方程在電子工程和生物工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用背景,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)脈沖微分方程邊值問題進(jìn)行了大量研究[4-5].文獻(xiàn)[4]利用Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理研究了一類二階脈沖微分方程三點(diǎn)邊值問題非負(fù)解的存在性.文獻(xiàn)[5]研究了一類二階脈沖微分方程積分邊值問題的存在性和唯一性.

本文研究二階脈沖微分方程組四點(diǎn)邊值問題

非負(fù)解的存在性.其中,fi∈C([0,1]×R+×R+,R+),Ii k∈C(R+×R+,R+),R+=[0,+∞),0＜t1＜t2＜…＜tm＜(tk).xi(tk),xi(t+k)分別為xi(t)在t=tk處的左、右極限,關(guān)于x′i(t)有類似的定義,i=1,2.

令J=[0,1],J′=J{t1,t2,…,tm},PC[J, R]={x∶J→R∶x(t)在t≠tk連續(xù),x(tk), x(t+k)均存在,且滿足x(tk)=x(tk),k=1,2,…,m}.

設(shè)E=PC(J,R),‖x‖0=supt∈[0,1]｜x(t)｜,則(E,‖?‖0)是Banach空間.設(shè)X=E×E,并取范數(shù)‖(x1,x2)‖=‖x1‖0+‖x2‖0,則(X,‖?‖)為Banach空間.

2 預(yù)備知識(shí)

引理1 設(shè)y∈C(J),0＜a＜1,則脈沖微分方程邊值問題

的解x(t)當(dāng)且僅當(dāng)滿足積分方程

其中

證明 假設(shè)x(t)是方程(2)的解,則存在ξk∈(tk-h,tk),使得

其中,0＜h＜tk-tk-1.

設(shè)x′(tk)=x′(tk),k=1,2,…,m.易得對(duì)任意t∈J,有

于是

當(dāng)t≤ξ時(shí)

當(dāng)t≥ξ時(shí)

那么任意t∈J,有

另一方面,若x∈PC[J,R]是積分方程的解,那么很容易得到x∈PC[J,R]∩C2[J′,R]是邊值問題(2)的解.證畢.

定義算子T1,T2∶X→E.

其中

根據(jù)Gi(t,s)的定義,不難證明Gi(t,s)具有下面引理2的性質(zhì).

引理2 函數(shù)Gi(t,s)∈C([0,1]×[0,1]),i =1,2,并且

現(xiàn)給出Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理.

設(shè)常數(shù)d,L,r＞0,記

引理3[6]設(shè)E是一個(gè)Banach空間,K?X是X上的錐,c＞0,c為常數(shù),若存在K上的非負(fù)連續(xù)凹泛函w,對(duì)任意x∈有w(x)≤‖x‖,并設(shè)是全連續(xù)算子,如果存在常數(shù)r,L和d滿足0＜r＜L＜d≤c,使得下列條件成立:

a.{x∈K(w,L,d)∶w(x)＞L}≠?,并且對(duì)任意x∈K(w,L,d),有w(Tx)＞L;

c.對(duì)任意x∈K(w,L,c),當(dāng)‖Tx‖＞d時(shí),有w(Tx)＞L.

3 主要結(jié)論及其證明

令K={(x1,x2)∈X∶xi(t)≥0,t∈[0,1],i= 1,2},則K為X上的錐.定義

其中,1＞δ＞max{tm,ξ1,ξ2},x∈K.那么易得w是K上的非負(fù)連續(xù)凹泛函.

記D=[0,1]×[0,+∞)×[0,+∞),a0= min{a1,a2},ξ0=min{ξ1,ξ2}.

定理1 若存在正常數(shù)r,L,d,c,λi,λ′i,μi,μ′i,i =1,2,滿足λ1+λ2=1,λ′1+λ′2=1,μ′1+μ′2=1,r＜并且下列條件成立:

a.對(duì)任意(t,u,v)∈{(t,u,v)∈D∶u+v≤c},有

b.對(duì)任意(t,u,v)∈{(t,u,v)∈D∶u+v≤r},有

c.對(duì)任意(t,u,v)∈{(t,u,v)∈D∶L≤u+ v≤d,t∈[δ,1]},有i=1,2.

則邊值問題(1)至少存在3個(gè)非負(fù)解,x*= (x*1(t),x*2(t)),y*=(y*1(t),y*2(t)),z*= (z*1(t),z*2(t)),且滿足

且

且

證明 設(shè)T∶X→X,T(x1,x2)=(T1(x1, x2),T2(x1,x2)).首先證明算子是全連續(xù)算子.

任意x=(x1,x2)∈K,由算子定義易得(Tix)(t)≥0,t∈[0,1],即Tx∈K,則T(K)?K.

由于定理限定條件λ1+λ2=1,λ′1+λ′2=1,則對(duì)任意x=(x1,x2)∈,有

現(xiàn)證明T滿足引理3的條件.

類似于上面的證明過程,由定理1的條件b可得,對(duì)任意x=(x1,x2)∈,有‖Tx‖＜r.即引理3的條件b滿足.

注意到 0＜a1,a2＜1,0＜ξ0＜1,則 0＜max{a1,a2}ξ0＜1,于是,有

即y0∈{x∈K(w,L,d)∶w(x)＞L}≠?.

對(duì)任意x=(x1,x2)∈K(w,L,d)有w(x)≥L,‖x‖≤d,即 L≤x1(t)+x2(t)≤d,t∈[δ,1]

由定理1的條件c,有

由引理2,任意x=(x1,x2)∈K(w,L,d)且‖T x‖＞d時(shí)

因此,任意x∈K(w,L,d)且‖Tx‖＞d時(shí),有 w(Tx)＞L.則引理3的條件c滿足.

于是,邊值問題(1)至少存在3個(gè)非負(fù)解x*= (x*1(t),x*2(t)),y*=(y*1(t),y*2(t)),z*= (z*1(t),z*2(t)),且滿足定理結(jié)論.證畢.

[1] AGARWAL R P,O'REGAN D.A coupled system of differential equations[J].Math Comput,2000,114(1): 39-49.

[2] AGARWAL R P,O'REGAN D.A multiplicity result for second order impulsive differential equations via the Leggett Williams fixed point theorem[J].Appl Math Comput,2005,161(2):433-439.

[3] 席守亮,賈梅,紀(jì)慧鵬.二階常微分方程組邊值問題正解的存在性[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào),2009,31(4): 318-321.

[4] JIA Mei,LIU Xi-ping.Three nonnegative solutions of three-po intb oundary value problem forsecond-order impulsive differential equantions[J].Jo urnal of Mathematical Research and Exposition,2008,28(3): 567-574.

[5] JIA Mei,LIU Xi-ping.Existenceofsolutionsfor second-order impulsive differentialequations with integral boundary conditions[C]//Proceedings of the 7th Conference on Biological Dynamic System and Stability ofDifferentialEquation.Liverpool:World Academic Press,2009:2880-2886.

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