王群英

(肇慶科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)研究部，廣東肇慶 526110)

1 矩陣分解的概述

矩陣是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究及應(yīng)用的一個(gè)重要工具。矩陣是線性代數(shù)中最為重要的核心內(nèi)容，很多問(wèn)題都可以歸結(jié)為矩陣并最終通過(guò)矩陣解決。在近代數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、信息處理、經(jīng)濟(jì)理論管理科學(xué)中，也大量涉及到矩陣?yán)碚摰闹R(shí)，矩陣分解是實(shí)現(xiàn)大規(guī)模數(shù)據(jù)處理和分析的一種有效工具，在工程計(jì)算中具有重要的實(shí)際意義。矩陣?yán)碚撟匀痪褪菍W(xué)習(xí)和研究上述學(xué)科必不可少的基礎(chǔ)之一。另一方面，矩陣?yán)碚摪l(fā)展到今天已經(jīng)形成了一整套的理論和方法，內(nèi)容非常豐富。矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)矩陣的乘積或者一些矩陣之和，矩陣分解對(duì)矩陣?yán)碚摷敖?jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展起了關(guān)鍵的作用。尋求矩陣各種意義下的分解形式，是對(duì)與矩陣有關(guān)的數(shù)值計(jì)算和理論都有著極為重要的意義。因?yàn)檫@些分解式的特殊形式，一是能明顯地反映出原矩陣的某些特征;二是分解的方法與過(guò)程提供了某些有效的數(shù)值計(jì)算方法和理論分析依據(jù)。這些分解在數(shù)值代數(shù)和最優(yōu)化問(wèn)題的解決中都有著十分重要的角色以及在其它領(lǐng)域方面也起著必不可少的作用。

2 矩陣的分解方法

2.1 矩陣LU分解

LU分解，設(shè)A=(aij)是n階可逆矩陣，如果A的對(duì)角線下(上)方的元素全為零，即對(duì)i＞j，aij =0(對(duì)i＜j，aij=0)，則稱矩陣A為上(下)三角矩陣，上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣。如果有下三角矩陣L和上三角矩陣U，使得A= LU，則稱A能做三角分解，并且稱A=LU為A的三角分解或者LU分解[1]。LU分解的定理:設(shè)A是n階非奇異矩陣，則存在唯一的單位下三角矩陣L和上三角矩陣U，使得A=LU的充分必要條件是A的所有順序主子式均非零，即

LU分解可以用直接法導(dǎo)出A=LU的分解公式，將A=LU寫(xiě)成

比較等式兩端的第i行和第j列元素，可得

上式利用了lii=1，從而

當(dāng)j=i+1，i+2，…，n時(shí)

從而

LU分解的初等變換消元法:設(shè)可逆矩陣A的n個(gè)順序主子式非零，則存在可逆矩陣P，使PA=U，A=P-1U=LU，其中P是一系列初等行矩陣之積(對(duì)應(yīng)于初等行變換)，L=P-1是下三角矩陣，U為上三角矩陣，求P，U可用如下做法:

例1:求矩陣

的LU分解。

解:對(duì)矩陣(A|I)做初等行變換

可得

即得A=LU。

2.2 矩陣的QR分解

矩陣的QR分解(正交三角分解)在解決最小二乘問(wèn)題、特征值計(jì)算、廣義逆矩陣的計(jì)算方面，都是十分重要的[2]。以下為矩陣的QR分解:設(shè)A是n階可逆實(shí)矩陣，則A可惟一分解為

其中，Q為正交矩陣(QTQ=QQT=1，或Q-1= QT)，R是主對(duì)角元素都是正數(shù)的上三角矩陣，稱該分解為對(duì)A的正交三角分解。A是m×n矩陣，且A為列滿秩，即r(A)=n，則有

其中，Q m×n的n個(gè)列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交的，R為正對(duì)角元的n階上三角矩陣。

我們看QR分解是不是唯一的。記A= [a1，a2，…，an]，ai是矩陣A的第i個(gè)列向量，因?yàn)榫仃嘇非奇異，所以向量組a1，a2，…，an線性無(wú)關(guān)，應(yīng)用Gram-Schmidt正交化方法將線性無(wú)關(guān)向量組a1，a2，…，an化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組q1，q2，…，qn，則可得

則Q為正交(酉)矩陣，R為非奇異實(shí)(復(fù))上三角矩陣，由Gram-Schmidt正交分解式，有A=QR，這就證明了QR分解的存在性。

設(shè)矩陣A有兩個(gè)QR分解

其中，Q，Q1為正交(酉)矩陣，R，R1為非奇異上三角矩陣，則

其中，D=R1R-1為非奇異上三角矩陣，于是

這說(shuō)明D為酉矩陣，比較等式

的對(duì)角元，可導(dǎo)出D為對(duì)角矩陣，并且對(duì)角元的模全等于1，于是

如果在非奇異矩陣A的QR分解中規(guī)定上三角矩陣R的各個(gè)對(duì)角元的符號(hào)(例如全為正數(shù))，則A的QR分解是惟一的。

矩陣的QR分解有多種。常見(jiàn)的有Schm idt (施密特)正交分解法、Givens(吉文斯)正交分解法和Household(豪斯霍德)正交分解法。

施密特正交分解法:設(shè)可逆矩陣(或列滿秩)A的列向量為α1，α2，…，αn，施以Schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化使β1，β2，…，βn為正交組。

得

因?yàn)棣?，ε2，…，εn為標(biāo)準(zhǔn)正交組，Q=(ε1，ε2，…，εn)為正交陣。

例2:用Schmidt正交化方法求矩陣

的QR分解。

解:令

由Schm idt正交化公式，得

因而可得

求解公式

得到

即得

吉文斯方法:利用初等旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)，即用Rij左乘矩陣A時(shí)，僅影響A的第i行和第j行，且選適當(dāng)?shù)腞ij，就可以消去A的一個(gè)非零元素。一般地說(shuō)，作一次旋轉(zhuǎn)可以消去一個(gè)非零元素。如果在作下一次旋轉(zhuǎn)時(shí)不會(huì)影響前面已化為零的元素，即不會(huì)重新又變?yōu)榉橇?，那么，借助于初等旋轉(zhuǎn)陣將A約化成上三角陣就有希望。事實(shí)上，只要注意運(yùn)算順序，完全能辦到。

2.3 矩陣的譜分解[3]

2.3.1 單純矩陣的譜分解

n階單純矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，不妨設(shè)λ1，λ2，…，λn是A的n個(gè)特征值;x1，x2，…，xn是A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，且有

令

則A=PVP-1兩邊取轉(zhuǎn)置得AT=(PT)-1VPT，這表明AT也與對(duì)角矩陣相似。因此，設(shè)y1，y2，…，yn是AT的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即

把上式兩端取轉(zhuǎn)置得

根據(jù)上式，我們稱yTi是A的左特征向量，稱xi是A的右特征向量。由式AT=(PT)-1VPT知

兩端轉(zhuǎn)置得

代入

得

此即

比較兩端即有

與式

代入A=PVP-1得

令

則得

上式稱為單純矩陣A的譜分解。即A分解成n個(gè)矩陣Gi之和的形式，其線性組合系數(shù)是A的譜(所有的特征值)。

2.3.2 譜分解的相關(guān)定理[4]

定理1 設(shè)A是n階單純矩陣，λ1，λ2，…，λr是A的r個(gè)相異的特征值，則A可以進(jìn)行滿足下列性質(zhì)的譜分解[7]。

有

其中

根據(jù)式

得

再由

得

即所有的式子得證。

例3:求矩陣

的譜分解。

故A的特征值為

對(duì)于λ1=-2，由

得

特征向量

對(duì)于λ1=-2，由

得

特征向量

所以

取

則

2.4 矩陣的奇異值分解

1)m×n矩陣A的奇異值的個(gè)數(shù)等于列數(shù)n (因AHA的階數(shù)為n);

2)A的非零奇異值的個(gè)數(shù)等于 rank A(因rank AHA=rank A)。

以下給出矩陣A的奇異值分解定理。

定理2 設(shè)A∈Cm×nr ，則存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，使得

其中E=diag(σ1，σ2，…，σr)，而σi(i=1，2，…，r)為A的正奇異值，稱

為A的奇異值分解[6]。

由正規(guī)矩陣的充要條件存在n階酉矩陣使得

記V=(V1，V2)。其中V1∈Cn×r，V2∈Cn×(n-r)代入上式

于是

上面第2式說(shuō)明AV2=0，令U1=AV1 E-1。則由第1式得U1=I說(shuō)明U1為次酉矩陣，它的r個(gè)列向量是兩兩正交的單位向量，取U2∈Cm×(n-r)，使U =(U1，U2)為m階酉矩陣，即

再注意到AV=U1 E，AV2=0，最后有

例4:求矩陣

的奇異值分解。

解:因?yàn)?/p>

所以ATA得特征值為3，1，0，于是A的奇異值為σ1=，σ2=1且ATA的正交單位特征向量分別為

令

則

從而可得A的奇異值分解為

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