宋艷榮，王興平，姚立強，張術(shù)東

（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東 煙臺 264001）

在復(fù)雜的控制工程中，往往會同時出現(xiàn)連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)和離散事件動態(tài)系統(tǒng)，這兩種系統(tǒng)相互混雜和作用，形成統(tǒng)一的動態(tài)系統(tǒng)——混雜系統(tǒng)。隨著計算機(jī)科學(xué)和控制理論結(jié)合以及控制系統(tǒng)的智能化發(fā)展，混雜系統(tǒng)的概念越來越重要，成為新的研究熱點。切換系統(tǒng)是一類重要的混雜系統(tǒng)，可以看作是由一組子系統(tǒng)和一個切換策略組成的。其特點是系統(tǒng)離散動態(tài)行為表現(xiàn)為系統(tǒng)在一組連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行切換的切換策略。切換系統(tǒng)在生產(chǎn)過程中是廣泛存在的，傳統(tǒng)的繼電器控制是典型的切換系統(tǒng)問題，最優(yōu)控制中著名的bang—bang 控制問題也是切換系統(tǒng)的一個特例。在復(fù)雜的化工系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、交通控制系統(tǒng)中都涉及到切換系統(tǒng)。近些年，對切換系統(tǒng)的研究引起了國內(nèi)外控制界的關(guān)注。

對切換系統(tǒng)的研究包含很多典型的控制問題，如文獻(xiàn)[1]利用共同Lyapunov函數(shù)方法研究了一類切換線性廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題；文獻(xiàn)[2]基于線性矩陣不等式，研究了一類不確定線性切換系統(tǒng)的H∞魯棒控制問題；文獻(xiàn)[3]則研究了不確定線性切換系統(tǒng)在任意切換規(guī)則下的極點配置和H∞魯棒控制問題。作為重要的濾波問題，也有文獻(xiàn)研究。文獻(xiàn)[4]研究了一類不確定時滯離散切換系統(tǒng)在任意切換規(guī)則下的H∞濾波問題；文獻(xiàn)[5]利用切換Lyapunov函數(shù)方法，研究了時滯離散切換系統(tǒng)的H∞濾波器的設(shè)計問題。

系統(tǒng)的濾波問題就是研究如何在受干擾的系統(tǒng)輸出信號中檢測出系統(tǒng)狀態(tài)的問題，這是控制系統(tǒng)中一個重要的問題[6-7]。目前，用來研究狀態(tài)估計問題的許多方法中，Kalman濾波方法和H∞濾波方法是比較常用的方法。Kalman濾波方法的特點是要求系統(tǒng)的干擾具有已知的統(tǒng)計特征，相較之下，H∞濾波方法則不要求系統(tǒng)的干擾信號的統(tǒng)計特性，只要求干擾的能量有界，同時，H∞濾波方法還對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不確定具有較好的魯棒性。正是由于H∞濾波方法的這兩個優(yōu)點，使得人們對H∞濾波產(chǎn)生了極大的興趣[8-9]。從文獻(xiàn)看，切換系統(tǒng)的H∞濾波問題主要集中在離散切換系統(tǒng)，對于連續(xù)切換系統(tǒng)的H∞濾波器問題，較少有人研究。

本文主要研究一類連續(xù)線性切換系統(tǒng)的H∞濾波器的設(shè)計問題。由于濾波器是建立在系統(tǒng)的輸出端的，無法實現(xiàn)對系統(tǒng)的切換規(guī)則的要求。因此，濾波器的設(shè)計是在切換系統(tǒng)是任意切換這一前提下進(jìn)行的。本文首先基于共同Lyapunov函數(shù)方法，給出了切換系統(tǒng)存在H∞濾波器的充分條件；其次，利用線性矩陣不等式技術(shù)，把這個條件變成一組線性矩陣不等式(LMIs)的可行解存在問題，進(jìn)而根據(jù)LMIs的可行解給出了H∞濾波器的一個構(gòu)造性的設(shè)計方法；最后，給出的實例驗證了用這一方法設(shè)計H∞濾波器的有效性和可行性。

1 問題描述及準(zhǔn)備工作

考慮如下切換系統(tǒng)

式中：x ∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)；w ∈Rp且w∈ L2(0,+∞)為能量有限的外部擾動；y ∈Rq為測量輸出；z ∈Rm為待估計的信號向量，σ∶[0,+∞) →Λ={1,2,…,N}為切換信號，σ (t)的每一次取值的變化表示一次切換，σ (t)=i ∈Λ表示在t時刻切換系統(tǒng)的第i個子系統(tǒng)在運行；Ai、Bi、Ci、Di、Li(i ∈Λ)為第i個子系統(tǒng)對應(yīng)的系數(shù)矩陣，它們具有相應(yīng)的維數(shù)。

一般系統(tǒng)的H∞濾波問題的提法是：根據(jù)系統(tǒng)的測量輸出y，給出待估計的信號向量z的估計值z?，使得系統(tǒng)在無外部干擾的情況下穩(wěn)定；在干擾存在，零初始狀態(tài)條件下，從干擾能量w到估計誤差 z?的信號能量的增益小于預(yù)先給定的正數(shù)γ。對于切換系統(tǒng)(1)，由于系統(tǒng)的狀態(tài)在不同時刻可能服從不同的動態(tài)方程，對系統(tǒng)狀態(tài)的估計是和各個子系統(tǒng)相關(guān)的，所以對系統(tǒng)(1)進(jìn)行濾波器設(shè)計應(yīng)該對每個子系統(tǒng)都進(jìn)行濾波器設(shè)計，這些濾波器連接在對應(yīng)子系統(tǒng)的輸出端，保證系統(tǒng)在切換時能有效地給出系統(tǒng)的狀態(tài)估計。

于是對切換系統(tǒng)(1)，本文的目的就是對每一個子系統(tǒng)設(shè)計濾波器

使得式(1)、(2)組成的復(fù)合系統(tǒng)在任意切換規(guī)則下滿足：

1)w=0時，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；

設(shè)計切換系統(tǒng)(1)的濾波器(2)的問題，其實就是確定式(2)中的系數(shù)矩陣Afi、Bfi、Cfi、Dfi，使得設(shè)計目標(biāo)中的條件1)、2)成立。

將系統(tǒng)(1)和濾波器(2)組合起來，可得如下濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)

這樣，濾波的目的改變?yōu)樵O(shè)計恰當(dāng)?shù)臑V波器(2)，即尋求合適的使得濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)(3)滿足如下性能：

1)w=0時，系統(tǒng)(3)漸近穩(wěn)定；

為了方便后面的敘述及證明，引入下面的定義、假設(shè)和引理。

定義：如果且則稱序列是由切換策略 σ(t) 生成的切換序列。

假設(shè)：切換系統(tǒng)的每個子系統(tǒng)總是運行一段時間后才切換到其他的子系統(tǒng)，即每個運行的子系統(tǒng)總有一定的駐留時間。

引理1：[10](Schur 補引理)對于給定的對稱陣其中 S11和S22是方陣，以下3個條件是等價的：

1) S＜0；

引理2：[11]設(shè)M1和M2是具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣，則對任意正數(shù)β，均有

2 主要結(jié)論

下面給出關(guān)于切換系統(tǒng)(1)的H∞濾波器(2)存在的充分條件。

定理1：對于給定的正數(shù)γ，如果存在對稱正定陣P，使得下列N個矩陣不等式成立

則切換系統(tǒng)(1)存在濾波器(2)，使得濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)(3)滿足性能1)和2)。

證明：根據(jù)引理1，式(4)可以整理為

即

根據(jù)切換序列的定義、假設(shè)，可知在時間段[tk,tk+1)上，系統(tǒng)(3)的第ik個子系統(tǒng)運行，即系統(tǒng)(3)的切換策略 σ (t)在該時間段上恰好選擇第ik個子系統(tǒng)運行。不妨令 ik=i，也就是σ(t)=i,t ∈ [tk,tk+1)。則在時間段 [tk,tk+1)上，當(dāng)w=0，由式(6)，有

由式(5)可知，在時間段 [tk,tk+1)上，

總結(jié)上面的推導(dǎo)，可以看到當(dāng)w=0時，在時間段 [tk,tk+1)上，由切換策略 σ (t)選擇運行的子系統(tǒng)i對應(yīng)的同理，在其他的時間段上，由切換策略 σ(t)選擇運行的子系統(tǒng)也能保證使得成立。因此，當(dāng)w=0時，在時間段[0,+∞)上，總是成立，即濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)(3)滿足性能1)。

下面證明濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)(3)滿足性能2)。

在零初始狀態(tài)條件下，有

根據(jù)式(6)，上式整理為

這說明濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)(3)滿足性能2)。結(jié)論得證。

注：本定理提出的條件是基于切換系統(tǒng)具有共同Lyapunov 這一前提給出的，根據(jù)文獻(xiàn)[12]中的結(jié)論，一個線性切換系統(tǒng)如果在任意切換策略下是一致指數(shù)漸進(jìn)穩(wěn)定的，則所有切換子系統(tǒng)存在一個齊次的共同Lyapunov函數(shù)。這就是說，為了保證濾波器能滿足性能指標(biāo) 1)，假定系統(tǒng)具有一個共同Lyapunov函數(shù)是合理的。

定理中的不等式(4)是關(guān)于矩陣變量 P、Afi、Bfi、Cfi的一個非線性矩陣不等式，很難求出可行解。為了克服這一困難，我們提出定理2。定理2借助于線性矩陣不等式(LMIs)給出了一個與定理1等價的濾波器存在的充分條件。

定理2：對于給定的正數(shù)γ，如果存在對稱正定陣X、R和矩陣 Zi、Mi、Ni，使得矩陣不等式(8)和(9)成立，則系統(tǒng)(1)存在H∞濾波器(2)。

式中：i ∈Λ={1,2,…,N}；?表示對稱位置矩陣的轉(zhuǎn)置。

證明：由定理1可知，如果存在對稱正定陣P使得(4)成立，則系統(tǒng)(1)存在H∞濾波器(2)，即濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)(3)滿足性能1)和2)。

根據(jù)P是對稱正定陣，有

由于PP?1=I，可得

令

將式(13)代入，得到

令

將式(15)代入式(14)，則式(14)整理為式(8)。

另一方面，由于定理1 中的P是正定陣，即P＞0，有

根據(jù)式(10)、式(15)和式(16)知道P＞0與式(9)等價。結(jié)論得證。

上面的推導(dǎo)表明定理2是與定理1 等價的濾波器存在的充分條件。

進(jìn)一步，若X、R、Zi、Mi、Ni(i ∈Λ)是線性矩陣不等式(8)和(9)的可行解，根據(jù)式(11)和式(15)，利用I?R?1X的奇異值分解得到滿秩矩陣 P12、S12，由式(13)和式(15)即可求得H∞濾波器(2)的系數(shù)矩陣為

3 仿真實例

考慮如系統(tǒng)(1)的切換系統(tǒng)(N=2)

選取γ=0.2，采用本文方法設(shè)計H∞濾波器。

首先，利用Matlab的LMI 工具箱求解線性矩陣不等式(8)和(9)得：

然后，通過滿秩分解求得：

最后，利用式(17)得到構(gòu)造H∞濾波器所需的系數(shù)矩陣為：

根據(jù)求得的濾波器參數(shù)，進(jìn)一步通過仿真來驗證本文定理的正確性。

具體做法是，將上面求得的各種參數(shù)代入系統(tǒng)中，選取強度為5的白噪聲作為能量有限的干擾w，采樣時間為0.1 s，在10 s時間內(nèi)，任意選取切換策略，這里選取的切換策略是

由該切換策略 σ(t)生成的切換序列是{(0,1),(3,2),(8,1)}，即切換系統(tǒng)在初始時刻進(jìn)入子系統(tǒng)1 運行，運行3 s后切換到子系統(tǒng)2 運行，子系統(tǒng)2 運行5 s后又切換回到子系統(tǒng)1，運行2 s。

分析得到的待估計信號z和估計信號?z的變化曲線，可得如圖1所示的切換系統(tǒng)(1)的濾波跟蹤圖，圖中，虛線表示切換系統(tǒng)(1)的待估計信號z的變化曲線，實線表示估計信號?z的變化曲線。

圖1 切換系統(tǒng)(1)的濾波跟蹤圖

通過仿真實例結(jié)合得到的仿真圖形可以知道，當(dāng)切換系統(tǒng)(1)在我們隨意選取的切換策略下運行時，H∞濾波器(2)可以很好地跟蹤估計信號向量。事實上，可以驗證對于任意的切換策略，設(shè)計的濾波器都能很好地跟蹤估計信號向量。因此，本文設(shè)計的H∞濾波器符合要求并且性能良好。

4 結(jié)束語

本文針對一類連續(xù)線性切換系統(tǒng)研究了H∞濾波問題，給出了H∞濾波器存在的充分條件并將該條件轉(zhuǎn)化為一組線性矩陣不等式的可行解問題。同時，借助線性矩陣不等式的可行解，給出了H∞濾波器的設(shè)計方法。最后通過仿真實例說明用該方法設(shè)計H∞濾波器的可行性。

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