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        兩點(diǎn)電荷電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)的極值點(diǎn)與單調(diào)性

        2011-03-20 03:41:42李新良
        物理通報(bào) 2011年8期
        關(guān)鍵詞:中垂線點(diǎn)電荷等量

        李新良

        (泰興中學(xué) 江蘇 泰興 225400)

        《物理通報(bào)》2010年第9期《兩等量同號(hào)點(diǎn)電荷中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的極大點(diǎn)》一文,通過(guò)逼近法找出了場(chǎng)強(qiáng)極大點(diǎn).筆者認(rèn)為雖然實(shí)踐中可操作,但理論上不精確,而且不能反映場(chǎng)強(qiáng)變化的單調(diào)性.本文對(duì)幾種電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)的極值點(diǎn)和單調(diào)性的判斷進(jìn)行了完整的數(shù)學(xué)推導(dǎo),并用幾何畫(huà)板作圖研究場(chǎng)強(qiáng)隨空間位置的變化,使人們對(duì)單調(diào)性有直觀感受.

        1 等量同號(hào)點(diǎn)電荷中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)

        如圖1所示,點(diǎn)電荷A,B帶電荷量均為+Q,相距2L,連線AB中點(diǎn)為O.中垂線上某點(diǎn)P的合場(chǎng)強(qiáng)為

        圖1

        先討論極值,令f(α)=sinαcos2α,求導(dǎo)可得

        令f′(α)=0,則有

        查三角函數(shù)表知α=35.264°,即α=0.196π時(shí)中垂線上場(chǎng)強(qiáng)出現(xiàn)極值.再討論單調(diào)性,由

        可知,f′(α)的正負(fù)僅取決于(cosα-槡2 sinα)的正負(fù).所以當(dāng)0≤α<35.264°時(shí),f′(α)>0,場(chǎng)強(qiáng)E單調(diào)遞增;當(dāng)35.264°<α<90°時(shí),f′(α)<0,場(chǎng)強(qiáng)E單調(diào)遞減;當(dāng)α=35.264°時(shí),f′(α)=0,場(chǎng)強(qiáng)出現(xiàn)極大值.以上結(jié)論具有普適性.如圖2,利用幾何畫(huà)板作出函數(shù)f(x)=sin x cos2x的圖像,在0~區(qū)間可以直觀驗(yàn)證上述普適結(jié)論.

        圖2 幾何畫(huà)板1

        2 等量異號(hào)點(diǎn)電荷連線之間的場(chǎng)強(qiáng)

        如圖3所示,點(diǎn)電荷A,B帶電荷量分別為+Q和-Q,相距2L,連線AB中點(diǎn)為O,連線AB之間有一點(diǎn)P,設(shè)PO=l(0≤l<L),則P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為

        圖3

        經(jīng)分析,AO之間場(chǎng)強(qiáng)E將隨l的增大而單調(diào)增大.根據(jù)對(duì)稱性,連線AB之間O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)最小,離O越遠(yuǎn),場(chǎng)強(qiáng)越大,這一結(jié)論也能由電場(chǎng)線疏密定性得出.如圖4,以L為一個(gè)長(zhǎng)度單位,利用幾何畫(huà)板作出函數(shù)的圖像,在0~1區(qū)間單調(diào)遞增,也能驗(yàn)證上述結(jié)論.

        圖4 幾何畫(huà)板2

        3 不等量異號(hào)點(diǎn)電荷連線之外的場(chǎng)強(qiáng)

        如圖5所示,點(diǎn)電荷A,B帶電荷量分別為+Q,-q,相距L.現(xiàn)討論直線AB上B點(diǎn)右側(cè)各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).B點(diǎn)右側(cè)取一點(diǎn)P,以水平向右為正方向,則P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為

        圖5

        引入函數(shù)

        求導(dǎo)可得

        分別令f(x1)=0,f′(x2)=0.解得

        因?yàn)閚>1,所以x2>x1>0,通過(guò)討論f(x)、f′(x)的正負(fù),并考慮到函數(shù)的單調(diào)性與矢量單調(diào)性的聯(lián)系與區(qū)別,就能得到場(chǎng)強(qiáng)E的方向及單調(diào)性,結(jié)論見(jiàn)表1.

        表1

        由表1可知,場(chǎng)強(qiáng)極大值出現(xiàn)在x=x2處.同樣,以L為一個(gè)長(zhǎng)度單位,取n=4,則

        如圖6,利用幾何畫(huà)板作出函數(shù)f(x)的圖像,能夠?qū)ι鲜鼋Y(jié)論進(jìn)行枚舉法驗(yàn)證.

        圖6 幾何畫(huà)板3

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