張波

(陜西理工學(xué)院土建系,陜西漢中723001)

我們實際生活中遇到的很多材料常同時具有彈性和粘性兩種不同機理的形變,如塑料、橡膠、混凝土和巖石等材料,然而從粘彈性材料這個角度出發(fā)來研究問題的人較少[1-2]。本文在前人研究成果的基礎(chǔ)之上,將軸向流動中的圓柱體視為粘彈性材料,并取微單元進行受力分析,運用D' Alembert原理建立其運動微分方程,并引入Kelvin模型的微分算子,得到了軸向流動中Kelvin模型粘彈性圓柱體的運動微分方程。

1 粘彈性圓柱體的運動方程

軸向流動中兩端簡支的粘彈性圓柱體如圖1所示。設(shè)y為圓柱體撓度,m為圓柱體單位長度質(zhì)量,ma為圓柱體單位長度附加質(zhì)量(ma= ρ VCm,其中,ρ為流體密度,V是圓柱體的體積,Cm為附加質(zhì)量系數(shù)),u為沿圓柱體軸向的流動速度,EI為抗彎剛度,l為圓柱體長度,D為圓柱體直徑。

對于單位長度上的阻力FN和FL有

拉力T可以表示為

粘性阻尼影響力FD可以表示為

式中 CT—圓柱體縱向阻力系數(shù);CN—圓柱體橫向阻力系數(shù);Cv—有效粘性阻力系數(shù);γ—常數(shù)(圓柱體下游受支承時 γ=1,下游端自由或彈性支承時γ=0),C′T—自由端的形狀阻力系數(shù);T0—初始軸向拉力。

根據(jù)達(dá)朗伯原理[4],對微元分別列出x、y方向力的平衡方程,并考慮到當(dāng) θ→0時,有sinθ≈0,cosθ≈1,則有

如果忽略轉(zhuǎn)動慣量,則x-y平面上的轉(zhuǎn)動平衡方程為

對于粘彈性材料,應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系為

式中P、Q—微分算子。

彎矩M(x,t)和撓度y(x,t)有如下的微分關(guān)系

根據(jù)式(6)、式(7)、式(8)、式(9)、式(10),得到粘彈性圓柱體在橫向流動中的運動微分方程

把式(1)、式(2)、式(3)、式(4)、式(5)代入式(11)可以得到粘彈性圓柱體的運動微分方程

2 Kelvin模型的運動微分方程

假定圓柱體的材料服從Kelvin模型[5],則有

式中σ—正應(yīng)力;e—線應(yīng)變;E—彈性模量;η—粘性系數(shù)。

將式(14)代入式(12),并略去二階小量,即可得到Kelvin模型粘彈性圓柱體在軸向流動中的運動微分方程

引入下列無量綱量

將方程(15)化為無量綱方程

式中β—質(zhì)量比;τ—無量綱時間;v—無量綱流動速度;α—無量綱延滯時間。

3 結(jié)束語

運用D'Alembert原理,引入Kelvin模型的微分算子,得到了軸向流動中Kelvin模型粘彈性圓柱體的運動微分方程,最后再引入無量綱量將Kelvin模型粘彈性圓柱體的微分方程化為無量綱方程,為軸向流動中粘彈性圓柱體的動力特性分析奠定了基礎(chǔ)。

[1]GRIFFIN O M,SKOP R A,KOOPMANN G H.The vortex -excited resonant vibrations of circular cylinder[J].Journal of Sound and Vibration,1973(31)：235-249.

[2]ZHOU C Y,SO R M C,LAM K.Vortex-induced vibration of an elastic circular cylinder[J].Journal of Fluids and Structure,1999(13)：165-189.

[3]CHEN S S(美),圓柱結(jié)構(gòu)的流體誘發(fā)振動[M].馮振宇,張希農(nóng),譯.北京：石油工業(yè)出版社,1988.

[4]倪振華.振動力學(xué)[M].西安：西安交通大學(xué)出版社, 1989.

[5]楊挺青.粘彈性力學(xué)[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社, 1990.