程志明，韓兆洲

（暨南大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，廣州 510632）

在推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)中，許多統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)都會(huì)涉及到自由度的概念。然而大多數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)教材介紹自由度時(shí)，往往一筆帶過，沒有給出明確的定義或足夠的解釋。正如一位學(xué)者所說的那樣：自由度，統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)難以捉摸的概念。對(duì)于初學(xué)者來說，自由度就像是一個(gè)黑箱子，很難知道里面究竟是什么。本文將對(duì)自由度的定義作一個(gè)較全面的綜述，在此基礎(chǔ)上，給出自由度的科學(xué)定義。通過列舉自由度在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用，旨在全面認(rèn)識(shí)自由度。

1 自由度的綜述和科學(xué)定義

關(guān)于自由度的定義，大多數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)教材中解釋很少，僅有的文獻(xiàn)對(duì)自由度的定義也顯得晦澀難懂。

（1）從獨(dú)立性方面出發(fā)的定義

James和Glenn(1976)定義自由度為：確定一個(gè)幾何體或系統(tǒng)所必需的獨(dú)立的坐標(biāo)或參數(shù)的個(gè)數(shù)。這個(gè)定義是從幾何和物理的角度出發(fā)的。Mill、Harlow和Essex(1990)指出自由度在統(tǒng)計(jì)中有幾種不同的意思，自由度被Fisher引入統(tǒng)計(jì)學(xué)中，F(xiàn)isher將它看作類似于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的自由度的概念，在這種情況下一組樣本的自由度就是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中可以任意指定數(shù)值的變量的個(gè)數(shù)。Gravetter和Wallnau(2008)認(rèn)為：自由度是指樣本中有多少個(gè)數(shù)是獨(dú)立的，并可以自由變換的。謝啟南、韓兆洲（1991）認(rèn)為自由度是指在一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的個(gè)數(shù)。賈俊平(2007)指出，自由度可以解釋為獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)，還可以解釋為二次型的秩。顯然，上述五種定義都強(qiáng)調(diào)了自由度的“獨(dú)立性”。

（2）從樣本量方面出發(fā)的定義

Mayhew(2004)則從樣本量和顯著性方面說明自由度，他認(rèn)為在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中自由度有時(shí)直接等于樣本容量，有時(shí)卻要根據(jù)樣本容量來計(jì)算；對(duì)不同的顯著性檢驗(yàn)，自由度的計(jì)算是不一樣的，正確地計(jì)算自由度是進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的基礎(chǔ)。Everett(2002)解釋說，當(dāng)樣本被用來估計(jì)總體參數(shù)或計(jì)算統(tǒng)計(jì)量時(shí)，實(shí)質(zhì)上自由度是指樣本中獨(dú)立信息的數(shù)量。例如，給出一個(gè)2×2列聯(lián)表的行和與列和，這時(shí)四個(gè)頻數(shù)只有一個(gè)是可以自由變化的，所以該列聯(lián)表只有一個(gè)自由度。Glenn和Littler(1984)給出了更好的定義，因?yàn)樗麄兺瑫r(shí)考慮到了獨(dú)立性和樣本大小。他們定義：在統(tǒng)計(jì)量中，自由度就是所提供的數(shù)據(jù)中獨(dú)立的信息的數(shù)量，自由度等于總樣本容量減去相關(guān)總體參數(shù)或約束的個(gè)數(shù)。例如，獨(dú)立地從總體中抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本，這些樣本的自由度為n；如果樣本均值x已知，樣本的自由度就為n-1了，因?yàn)橐粋€(gè)觀察值可以由其他的觀察值來確定。如果總體均值μ已知，這時(shí)樣本的自由度仍是n,因?yàn)橐粋€(gè)xi無法由其他觀察值確定。自由度是一個(gè)很重要的概念，它確定了樣本的有效容量。

（3）關(guān)于自由度的一般定義

Joseph(2008)認(rèn)為：自由度是在不違背約束條件前提下可以隨意變化信息的數(shù)量。

（4）關(guān)于自由度取值的不同觀點(diǎn)

Kotz和Johnson(1982)認(rèn)為，自由度一般是正整數(shù)，但有時(shí)它會(huì)被近似為一個(gè)小數(shù)，還有一個(gè)偏卡方分布的自由度為零。但是，Spiegel和Stephens(1999)將統(tǒng)計(jì)量的自由度V定義為樣本中獨(dú)立觀察值的個(gè)數(shù)N減去要用樣本來估計(jì)的總體參數(shù)的個(gè)數(shù)K，V=N-K，要求V一定是正整數(shù)，不能取非正整數(shù)。

（5）關(guān)于自由度計(jì)算方法

張宏廣和郝慧瑋(2006)總結(jié)了自由度計(jì)算的四個(gè)方法：①利用自由度的定義求自由度的個(gè)數(shù)；②自由度的個(gè)數(shù)等于樣本容量減去限制因子的個(gè)數(shù)；③看總體參數(shù)估計(jì)量中運(yùn)用了幾個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量，其自由度就等于樣本容量減去幾；④自由度等于統(tǒng)計(jì)量二次型的秩。

上述從不同角度對(duì)自由度的概念與定義進(jìn)行了闡述，我們認(rèn)為，在推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)中，自由度是建立在統(tǒng)計(jì)量之上的概念，它是統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)特征。至此，我們可以給出推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)中自由度的科學(xué)定義：自由度是指在一組樣本數(shù)據(jù)中，能夠自由取值且不違反給定約束條件的樣本數(shù)值的個(gè)數(shù)。這樣，我們就較科學(xué)地將實(shí)際樣本容量和自由度區(qū)別開來。下面將進(jìn)一步舉例說明自由度在不同方面的應(yīng)用。

2 自由度的應(yīng)用

(1)幾何中的自由度

我們從熟悉的幾何知識(shí)入手，可以對(duì)自由度的概念有一個(gè)直覺上的認(rèn)識(shí)。平面上的點(diǎn)(x,y)，其中x和y的取值是可以隨意變化的，要在平面坐標(biāo)上找到一個(gè)點(diǎn)，我們需要知道兩個(gè)信息：橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的值。所以平面上的點(diǎn)的自由度為2。曲線y=3x+1上的點(diǎn)(x,y),此時(shí)x和y的取值是不能同時(shí)隨意變化的，只要給定了其中一個(gè)值，另一個(gè)值也就確定下來。也就是說，要確定曲線y=3x+1上的一個(gè)點(diǎn)，我們只要知道一個(gè)信息就已足夠：x的值或y的值。于是曲線y=3x+1上的點(diǎn)的自由度為1。類似地，平面x+2y+3z=9上點(diǎn)的自由度為2。

(2)樣本方差的自由度

許多教科書在列出樣本方差的計(jì)算公式時(shí)都沒有說明分子n-1(n為樣本容量)就是自由度，也很少解釋清楚為什么是除以n-1而不是n。

假設(shè)一個(gè)容量為10的樣本，如果沒有其他關(guān)于該樣本的信息或約束的話，任意從總體中抽取的10個(gè)觀察值都可以形成這樣的樣本。也就是說，這10個(gè)觀察值可以任意地被從總體中抽取的其他觀察值所取代。當(dāng)我們想要計(jì)算樣本方差時(shí)，必須先算出樣本均值，設(shè)=35。此時(shí)，這10個(gè)觀察值就不能任意地被總體中抽取的其他觀察值所取代了。因?yàn)閚=350，10個(gè)觀察值的總和必須等于350。這樣一來，樣本中只有9個(gè)觀察值可以隨意改變，因?yàn)槿绻我?個(gè)觀察值確定了，第10個(gè)觀察值也被這9個(gè)值確定了。因此在計(jì)算樣本方差時(shí)自由度等于9。有效樣本容量被減少為n-1，在此基礎(chǔ)上，我們可以很好地理解為什么作為均方差的樣本方差計(jì)算時(shí)，要用自由度來平均而非用n平均。這也說明了如果從樣本數(shù)據(jù)中估計(jì)了一個(gè)總體參數(shù)，自由度就會(huì)減少一個(gè)。

因?yàn)闃颖痉讲畹淖杂啥葹閚-1,所以在比較兩個(gè)獨(dú)立總體的均值大小的t檢驗(yàn)中，合并方差的自由度等于n1+n2-2= (n1-1)+(n2-1)；在比較兩個(gè)獨(dú)立總體的方差大小的F檢驗(yàn)中，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的自由度為(n1-1，n2-1)，其中n1，n2分別為兩個(gè)樣本的容量。

(3)方差分析和回歸中的自由度

因?yàn)闅埐钇椒胶蚐SE等于K個(gè)處理的組內(nèi)離差平方和，所以殘差的均方差有(n1-1)+(n2-1)+…+（nk-1）=n-k個(gè)自由度，這里運(yùn)用了自由度的可加性。值得注意的是，總自由度n-1=(k-1)+(n-k),它被分解成組間均方差的自由度與殘差均方差的自由度的和。

類似地，自由度也出現(xiàn)在多元回歸分析的相關(guān)內(nèi)容中。假設(shè)k為解釋變量(包括常數(shù)項(xiàng))的個(gè)數(shù)，調(diào)整R2=1-(SSE/nk)/(SST/n-1),SSE和SST分別用各自的有效樣就可以確定整張表的信息內(nèi)容。也就是說列聯(lián)表有(r-1)(c-1)=(2-1)(3-1)=2個(gè)自由度?？梢韵胂?，一張r行c列的列聯(lián)表，在各行和與列和給定的情況下，我們只要填上任意(r-1)行(c-1)列的頻數(shù)，表中其他的頻數(shù)也會(huì)隨之確定下來，樣本容量來平均。

(4)獨(dú)立性檢驗(yàn)中的自由度

在獨(dú)立性的卡方檢驗(yàn)中，列聯(lián)表是必不可少的。我們運(yùn)用列聯(lián)表來說明其中自由度的思想。見表1，一張2×3的列聯(lián)表，它的行和與列和已經(jīng)給定了。如果不能給出更多的頻數(shù)，這張表是有空缺的。如果填入一個(gè)頻數(shù)，如(n2,m2)=45,另一個(gè)頻數(shù)(n1,m2)就可以被確定(n1,m2)=45。倘若再給出一個(gè)頻數(shù)，那么整個(gè)列聯(lián)表就填列完整了。如令(n1,m1)=15，則(n2,m1)= 5，(n2,m3)=20，(n1,m3)=20。對(duì)于2行3列的列聯(lián)表，只要給出2個(gè)獨(dú)立的必要的信息，我們就可以確定整張表的信息內(nèi)容。也就是說列聯(lián)表有(r-1)(c-1)=(2-1)(3-1)=2個(gè)自由度?？梢韵胂?，一張r行c列的列聯(lián)表，在各行和與列和給定的情況下，我們只要填上任意(r-1)行(c-1)列的頻數(shù)，表中其他的頻數(shù)也會(huì)隨之確定下來，所以列聯(lián)表有(r-1)(c-1)個(gè)自由度。

表1：

(5)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中的自由度

最后，我們來考慮一個(gè)卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。假設(shè)從一個(gè)服從二項(xiàng)分布B(n,p)的總體中抽取50個(gè)獨(dú)立個(gè)體作為樣本，已知n=6,p=0.7,于是總體均值μ=np=4.2。因?yàn)閚=6,所以樣本數(shù)據(jù)可以分為7類，xi=0,1,2,3,4,5,6。每一類子樣本的頻數(shù)代表著卡方檢驗(yàn)中的一個(gè)信息。但是，因?yàn)檫@7個(gè)頻數(shù)的總和必須等于50，所以其中只有6個(gè)頻數(shù)可以自由變化，而第7個(gè)頻數(shù)取決與其他6個(gè)頻數(shù)的值。因此，卡方統(tǒng)計(jì)量的自由度為k-1=7-1=6。

現(xiàn)在假設(shè)事件成功概率p是未知的，總體均值μ也就不知道了。這種情況下我們就需要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)μ，總體參數(shù)的估計(jì)會(huì)損耗一個(gè)自由度。假設(shè)樣本的均值計(jì)算得x=4.4。于是這7類的頻數(shù)不僅其總和要等于50即f1+f2+…+ f7=50，而且還要使得0f1+1f2+2f3+…+6f7=4.4*50=220。7個(gè)頻數(shù)必須滿足這兩個(gè)等式，因此自由度就減少為7-2=5。這個(gè)例子有助于我們理解一個(gè)原則：每從樣本中估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)，自由度就會(huì)減少一個(gè)。

3 結(jié)論

本文給出了自由度的科學(xué)定義：自由度是指在一組樣本數(shù)據(jù)中，能夠自由取值且不違反給定約束條件的樣本數(shù)值的個(gè)數(shù)。同時(shí)指出自由度就是有效樣本容量，強(qiáng)調(diào)實(shí)際樣本容量與有效樣本容量的區(qū)別。最后列舉出自由度在不同方面的應(yīng)用。本文在認(rèn)識(shí)自由度方面，希望對(duì)讀者有所裨益。

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