張平豪，吳新躍，李琦

（海軍工程大學(xué)機(jī)械工程系，湖北武漢 430033）

0 引言

橡膠－金屬環(huán)由2只鋼制輪轂組成，它們之間采用經(jīng)硫化的高強(qiáng)度橡膠塊粘結(jié)。粘結(jié)界面由于是2種不同力學(xué)性能材料的結(jié)合，因此構(gòu)件在承載時(shí)界面容易產(chǎn)生應(yīng)力集中，故而大多數(shù)破壞都發(fā)生在界面，對界面應(yīng)力分布以及斷裂參數(shù)的模擬對于橡膠－金屬環(huán)疲勞壽命的預(yù)測具有重要意義。

橡膠斷裂是由材料內(nèi)部或表面事先已經(jīng)存在或引入的微小缺陷引發(fā)的，在載荷作用下裂紋最初擴(kuò)展很慢，直到其中的1個或多個達(dá)到足夠大的尺寸成為可見裂紋，繼而使總的斷裂發(fā)生。因此，橡膠的裂紋擴(kuò)展特性是決定它的強(qiáng)度的主要因素，橡膠的疲勞壽命主要是指裂紋擴(kuò)展壽命。Rivlin和Thomas［1］指出疲勞裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能關(guān)系是材料屬性，與載荷方式、試件形狀無關(guān)，故而研究結(jié)果具有普遍意義。

1 求解方法理論

用斷裂力學(xué)法預(yù)測疲勞裂紋擴(kuò)展壽命一般需要2個關(guān)系式，一是裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能之間的關(guān)系，二是撕裂能與裂紋尺寸之間的關(guān)系。

橡膠的裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能之間的關(guān)系［2］為:

式中:dc/dn為疲勞裂紋擴(kuò)展速率，即每一應(yīng)力應(yīng)變循環(huán)裂紋增長的長度;A，B，β，T0，Ta，TC為由試驗(yàn)測得的材料常數(shù)，取決于橡膠種類、試驗(yàn)條件等因素;rz為臭氧引發(fā)的裂紋擴(kuò)展率。由式（1）可見，當(dāng)撕裂能小于疲勞破壞的“門檻值”T0時(shí)，裂紋增長速率與撕裂能無關(guān)，擴(kuò)展只與臭氧侵蝕有關(guān)，疲勞裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能函數(shù)關(guān)系（見式（1）中第1式）;當(dāng)剛剛超過“門檻值”T0時(shí)，機(jī)械疲勞裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能之間滿足線性關(guān)系（見式（1）中第2式）;當(dāng)撕裂能處于工程疲勞壽命區(qū)域時(shí)，疲勞裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能之間存在冪函數(shù)關(guān)系（見式（1）中第3式）;當(dāng)撕裂能大于TC時(shí)意味著裂紋擴(kuò)展速率無窮大，材料將迅速破壞（見式（1）中第3式）。

撕裂能與裂紋尺寸之間的關(guān)系為:

式中:U為橡膠彈性應(yīng)變能;A為裂紋斷裂表面的面積。將式（2）得到的撕裂能與裂紋尺寸之間的關(guān)系代入裂紋擴(kuò)展速率與撕裂能的關(guān)系式（1）中，在初始缺陷尺寸c0和最終破壞尺寸cf之間求積分，即可預(yù)測彈性體在工程疲勞壽命區(qū)域的疲勞壽命。

對于簡單的試件，如簡單拉伸試件，純剪試件，褲型試件和角型試件，文獻(xiàn)中已有撕裂能與裂紋尺寸的關(guān)系式，對于較復(fù)雜的幾何形狀的結(jié)構(gòu)只有通過有限元方法得到撕裂能與裂紋尺寸的關(guān)系式。本文通過非線性有限元分析軟件Abaqus，對橡膠－金屬環(huán)界面出現(xiàn)裂紋時(shí)的撕裂能與裂紋尺寸的關(guān)系進(jìn)行了研究，對橡膠－金屬環(huán)疲勞壽命的預(yù)測起到重要作用。

2 橡膠－金屬環(huán)斷裂問題的非線性有限元

截止到目前，對于橡膠鋼界面裂紋的研究多為平面結(jié)合的情況［3－4］，對曲面粘結(jié)界面裂紋的分析較少且主要考慮在軸向載荷下的變形以及可能出現(xiàn)的裂紋［5］，而通常認(rèn)為橡膠在徑向的壓縮和拉伸，提供較大的剛度，部件更加穩(wěn)定，裂紋產(chǎn)生的研究較少。本文研究的橡膠－金屬環(huán)的工作環(huán)境主要是傳遞扭矩、補(bǔ)償對中，對徑向載荷導(dǎo)致裂紋產(chǎn)生的影響是研究的重點(diǎn)。由于內(nèi)鋼制輪轂與橡膠硫化的界面比外鋼制輪轂的界面更易產(chǎn)生應(yīng)力集中，故而本文討論的對象為橡膠－金屬環(huán)內(nèi)徑界面處的裂紋。

2.1 有限元模型

橡膠－金屬環(huán)的結(jié)構(gòu)和軸向載荷使得軸對稱單元可以應(yīng)用到仿真中，為了不影響徑向載荷的施加及后結(jié)果的處理，結(jié)構(gòu)1/2網(wǎng)格的選取沿徑向載荷施加的坐標(biāo)軸方向?qū)ΨQ，如圖1（b）為x軸?？紤]材料幾何大變形給界面裂紋帶來的影響，選擇相對簡單的且能表示大變形能力的Mooney-Rivlin本構(gòu)模型來模擬橡膠材料，通過硬度實(shí)驗(yàn)確定所用橡膠邵氏硬度HA為66°，擬合出材料常數(shù)C10為0.6182，C01為0.1546。鋼制輪轂的彈性模量為2.1×1011N/m2，泊松比0.3。在橡膠和金屬界面采用Tie綁定約束模擬界面的硫化粘合，裂紋的設(shè)置通過取消裂紋處界面上的約束耦合點(diǎn)進(jìn)行，取消1個耦合點(diǎn)即模擬1個網(wǎng)格尺寸長度的裂紋。取消耦合約束的同時(shí)，在相應(yīng)單元間設(shè)置接觸約束，在此認(rèn)為是理想接觸，摩擦系數(shù)設(shè)為0。通過在ABAQUS中分析橡膠－金屬環(huán)的徑向剛度［6］，并與試驗(yàn)結(jié)果對比，分析得出單元尺寸為4 mm時(shí)已經(jīng)足夠精確，但為了分析裂紋擴(kuò)展的各種尺寸變化情況，這里采用2 mm單元尺寸來分析。根據(jù)橡膠－金屬環(huán)軸向許用位移±2 mm，徑向許用位移（動態(tài)）1.5 mm，分別在軸向施加2 mm位移，徑向施加1.5 mm位移。

圖1 橡膠－金屬環(huán)與有限元模型Fig．1Rubber-steel ring and FE model

2.2 界面應(yīng)力分布

2.2.1 無裂紋時(shí)界面應(yīng)力分布

無裂紋時(shí)的界面應(yīng)力分析，可以對最可能產(chǎn)生裂紋的位置進(jìn)行初步預(yù)測。

橡膠－金屬環(huán)承受徑向1.5 mm位移載荷時(shí)，拉壓端均可能產(chǎn)生裂紋，同時(shí)從最大拉應(yīng)力處到最大壓應(yīng)力處的沿圓周界面上也可能產(chǎn)生裂紋。下面分別討論以上3種情況的應(yīng)力及應(yīng)變能密度分布。

1）橡膠被拉伸端

圖2為橡膠－金屬環(huán)受1.5 mm徑向位移時(shí)的受拉端無裂紋界面處正應(yīng)力分布，圖3為界面上剪應(yīng)力分布，圖4為界面上應(yīng)變能密度分布。

2）橡膠受擠壓端

圖5為橡膠－金屬環(huán)受1.5 mm徑向位移時(shí)的受壓端無裂紋界面處正應(yīng)力的分布，圖6為界面上剪應(yīng)力的分布，圖7為界面上應(yīng)變能密度的分布。

3）沿圓周方向

圖8 界面正應(yīng)力分布Fig.8Interfacial normal stresses

建立有限元模型時(shí)，為了不影響徑向載荷的施加及后結(jié)果的處理，采用結(jié)構(gòu)的沿徑向載荷施加的坐標(biāo)軸（圖1（b）x軸）方向?qū)ΨQ1/2的網(wǎng)格。分析沿圓周方向上的應(yīng)力及應(yīng)變能密度時(shí)，也只取模型對稱的一半。圖8和圖9分別為從最大拉應(yīng)力處到最大壓應(yīng)力處的沿圓周界面上的應(yīng)力分布和應(yīng)變能密度分布。

圖9 界面上應(yīng)變能密度分布Fig．9Distribution of strain energy density

由圖2和圖5可知，中間的界面上應(yīng)力接近于恒定值2.5 MPa，在橡膠－金屬環(huán)界面軸向的2個端點(diǎn)處因?yàn)檫吘壭?yīng)和應(yīng)力集中使得的應(yīng)力值達(dá)到最大為3.25 MPa。圖3和圖6給出的界面上剪應(yīng)力變化曲線表明，軸向的2個端點(diǎn)處的剪應(yīng)力最大達(dá)1.2 MPa，向中間遞減到中心位置剪應(yīng)力為0，正負(fù)號表明2個端點(diǎn)的剪應(yīng)力方向相反。圖4和圖7所反映的最大拉應(yīng)變處和最大應(yīng)變處的應(yīng)變能密度值在對應(yīng)節(jié)點(diǎn)上是相等的，且最大值出現(xiàn)在應(yīng)力值最大的節(jié)點(diǎn)上。圖8顯示出應(yīng)力值由大到小的變化過程，是橡膠－金屬環(huán)上由拉應(yīng)力轉(zhuǎn)變?yōu)閴簯?yīng)力的過程。不難看出，沿圓周應(yīng)力值最大的位置處于拉壓應(yīng)變最大處，也就是圖2和圖5中應(yīng)力值最大的節(jié)點(diǎn)為整個橡膠－金屬環(huán)應(yīng)力值最大位置。圖9顯示出應(yīng)變能密度最大的地方也就在應(yīng)力值最大的地方，即應(yīng)力集中的位置應(yīng)變能密度最大，最可能產(chǎn)生裂紋。

由上述分析可知，橡膠－金屬環(huán)在承受1.5 mm位移的徑向載荷時(shí)，沿載荷施加方向的2個應(yīng)變極限位置的軸向2個端點(diǎn)位置處出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，這4個位置的應(yīng)變能密度最大，最易產(chǎn)生裂紋。

2.2.2 含裂紋時(shí)界面應(yīng)力分布

由上節(jié)無裂紋界面應(yīng)力分布情況看出橡膠－金屬環(huán)在承受徑向載荷時(shí)，最大拉壓應(yīng)變處均有產(chǎn)生裂紋的可能。本節(jié)通過不同部位出現(xiàn)裂紋時(shí)的應(yīng)力、應(yīng)變能密度分布的變化情況對照無裂紋的應(yīng)力、應(yīng)變能密度分布進(jìn)一步確定裂紋最可能產(chǎn)生的部位。

1）橡膠被拉伸端

圖10為橡膠－金屬環(huán)受1.5 mm徑向位移時(shí)的受拉端界面處頂端沿軸向10 mm裂紋時(shí)正應(yīng)力的分布，圖11為界面上剪應(yīng)力的分布，圖12為界面上應(yīng)變能密度的分布。

圖12 界面上應(yīng)變能密度分布Fig．12Distribution of strain energy density

圖10表明由于沿軸向裂紋的存在，橡膠－金屬環(huán)被拉伸端界面處的正應(yīng)力分布發(fā)生了顯著的變化，主要表現(xiàn)在10 mm裂紋面上的正應(yīng)力基本上接近于0，除了軸向最外端和裂紋尖端處。軸向最外端的正應(yīng)力值達(dá)到反向最大值，是因?yàn)楫?dāng)裂紋處的橡膠由于拉力脫離金屬表面時(shí)受到附近橡膠的擠壓，使得局部的正應(yīng)力轉(zhuǎn)化為壓力，裂紋處橡膠的約束減少向界面外端擠壓，造成了軸向最外端正應(yīng)力值達(dá)到反向最大值。而裂紋尖端處存在應(yīng)力集中，使得該處的正應(yīng)力出現(xiàn)急劇變化。裂紋為擴(kuò)展到的界面上的正應(yīng)力分布與圖2相應(yīng)點(diǎn)相似，同樣在最外端存在應(yīng)力集中現(xiàn)象。從圖11所示的裂紋界面剪應(yīng)力分布情況可以看出，裂紋面上的剪應(yīng)力為0，沒有裂紋的界面上剪應(yīng)力分布情況與不含裂紋的界面上的剪應(yīng)力分布情況相似。圖12所示的裂紋面最外端應(yīng)變能密度比無裂紋時(shí)增大了0.1 mJ/mm3，是由于局部應(yīng)力集中導(dǎo)致;其后裂紋面的應(yīng)變能密度降低了0.02 mJ/mm3，表明裂紋的產(chǎn)生釋放了部分應(yīng)變能，裂紋尖端處的應(yīng)變能密度與無裂紋面的應(yīng)變能密度值不存在明顯跳動，裂紋尖端的撕裂能將非常之低。

通過以上分析，并結(jié)合圖12（a）應(yīng)變能密度沿圓周方向比軸向存在更明顯的變化，特別是軸向裂紋尖端處的應(yīng)變能密度尚且不如裂紋最外端沿圓周方向撕裂處的應(yīng)變能密度值高，可以斷定裂紋的圓周方向擴(kuò)展較之軸向擴(kuò)展更具有可能性。

圖13即為裂紋出現(xiàn)在最大拉伸界面頂端沿圓周方向擴(kuò)展的正應(yīng)力的分布，這里討論的裂紋尺寸仍以10 mm為例，圖14為界面上應(yīng)變能密度的分布。

相對于圖8無裂紋時(shí)的界面正應(yīng)力分布，圖13表現(xiàn)出急劇的應(yīng)力變化，裂紋面正應(yīng)力出現(xiàn)1個小的峰值，是由于局部橡膠間的擠壓造成。相對于圖10裂紋出現(xiàn)在軸向位置，圓周方向裂紋尖端的應(yīng)力集中現(xiàn)象更明顯，而圖14裂紋面應(yīng)變能密度的急劇變化，特別是裂紋尖端應(yīng)變能密度值仍很大。對比圖12再一次表明在橡膠－金屬環(huán)被拉伸端的圓周方向的裂紋較之軸向裂紋更容易發(fā)生擴(kuò)展，并導(dǎo)致橡膠－金屬環(huán)的局部斷裂、失效。

2）橡膠受擠壓端

橡膠－金屬環(huán)被擠壓端的分析同受拉伸端一樣，沿軸向擴(kuò)展時(shí)只是裂紋面上正應(yīng)力值相對較低，應(yīng)力集中現(xiàn)象不明顯，裂紋尖端處的應(yīng)變能密度與無裂紋面的應(yīng)變能密度值不存在明顯跳動，裂紋尖端出現(xiàn)擴(kuò)展的可能性較低。沿圓周方向擴(kuò)展時(shí)，裂紋處劇烈的應(yīng)力集中使得此處應(yīng)變能密度急劇增大，橡膠－金屬環(huán)受壓端在出現(xiàn)裂紋時(shí)，應(yīng)變能密度反而增大，這與裂紋的產(chǎn)生消耗撕裂能釋放應(yīng)變能致使局部應(yīng)變能密度應(yīng)該降低是相違背的。故而裂紋也不可能從此處引發(fā)。

3 撕裂能的計(jì)算

由上節(jié)界面上應(yīng)力、應(yīng)變能密度計(jì)算結(jié)果，根據(jù)橡膠的撕裂能計(jì)算公式得到橡膠－金屬環(huán)受拉伸端的撕裂能隨裂紋尺寸變化的規(guī)律曲線如圖24所示。上半段為裂紋沿圓周方向擴(kuò)展時(shí)的撕裂能變化，下半段為裂紋沿軸向擴(kuò)展時(shí)的撕裂能變化。從圖中可以看出裂紋沿軸向擴(kuò)展時(shí)撕裂能逐漸降低，這種情況表明除非沿軸向預(yù)先存在缺陷，否則裂紋是不會擴(kuò)展的。況且當(dāng)裂紋擴(kuò)展到8 mm時(shí)達(dá)到負(fù)值，故而裂紋在橡膠－金屬環(huán)受拉伸端的擴(kuò)展不可能沿軸向進(jìn)行。下半段裂紋沿圓周方向擴(kuò)展時(shí)的撕裂能首先迅速上升，裂紋擴(kuò)展很快。當(dāng)裂紋繼續(xù)擴(kuò)展，逐漸離開徑向最大位移點(diǎn)時(shí)，界面處的正應(yīng)力及剪應(yīng)力逐漸下降，應(yīng)力集中的影響也迅速降低，撕裂能變化變緩進(jìn)而趨向1個常值0.13 mJ/mm2。

橡膠－金屬環(huán)被擠壓端假設(shè)裂紋長2 mm時(shí)，沿軸向及沿圓周方向擴(kuò)展時(shí)的撕裂能為－0.06814 mJ/mm2，除非被擠壓端預(yù)先存在缺陷，否則裂紋是不會擴(kuò)展的，故而裂紋在橡膠－金屬環(huán)被擠壓端不可能擴(kuò)展。

圖15 界面上撕裂能隨裂紋尺寸的變化Fig．15Relationship between tearing energy and crack length

4 結(jié)語

本文對橡膠－金屬環(huán)在徑向位移載荷作用下的界面裂紋進(jìn)行模擬，得到撕裂能與裂紋尺寸的關(guān)系。用非線性有限元法分析了橡膠－金屬環(huán)在徑向位移載荷作用下的界面裂紋，分別研究了裂紋從被擠壓端沿軸向、圓周方向和被拉伸端沿軸向、圓周方向界面處擴(kuò)展的情況，對于這4種情況撕裂能隨裂紋尺寸的變化是不同的。被擠壓端無論是沿軸向還是沿圓周方向擴(kuò)展，應(yīng)變能密度函數(shù)都是逐漸增加，撕裂能為負(fù)值，故而在被擠壓端不可能出現(xiàn)裂紋擴(kuò)展。在被拉伸端，沿軸向擴(kuò)展存在一定可能性，通過撕裂能與裂紋尺寸關(guān)系的分析，裂紋擴(kuò)展最可能還是沿著圓周方向。裂紋擴(kuò)展是從應(yīng)力集中處引發(fā)，在引發(fā)裂紋初始，非線性分析表明裂紋的撕裂能是先增加后逐漸趨向一個常值。

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SHI Yi-ping，ZHOUYu-rong．ABAQUSfiniteelement analysis example［M］．Beijing:Machinery Industry Press，2006．