余瑞艷

（長江大學一年級教學工作部，湖北 荊州434020）

1 引 言

綜合評價是一個典型的多目標決策問題，在用灰色關聯(lián)進行分析的過程中，灰色關聯(lián)度的計算實際上是將各項指標等權(quán)劃分，這樣會因為沒有考慮到各指標重要性差異和允許指標屬性之間可以相互線性補償，且被補償?shù)闹挡皇苋魏蜗拗贫鴮е麓嬖谛畔⒘魇?、誤差大等缺陷，而采用主觀賦權(quán)法又無法消除各因素權(quán)重的主觀性［1］．引入信息熵的概念，通過其反映評價指標信息的效用值來映射權(quán)重，這可以避免權(quán)重計算的主觀性，使評價結(jié)果更客觀、符合實際，為學生綜合評價提供一種新方法［2］．因此，算法采用基于灰色關聯(lián)度的灰色綜合評價決策模型，運用熵來確定指標權(quán)重．于是利用基于熵原理的灰色關聯(lián)分析方法，確定了在學業(yè)測評模式和綜合測評模式下各班的優(yōu)劣情況．很多文獻已經(jīng)討論了如何進行合理的席位分配［2－5］，但還沒有相關文獻如何進行獎學金分配才是最合理的，于是基于以上思想，本文提出了一類基于不同決策者偏好系數(shù)β∈［0，1］的評價函數(shù)f，確定了基于綜合測評模式的獎學金分配原則是較合理的，并在文章的最后對以上模型提出了改進方法，使得問題的分析更有合理、有效．

2 算法原理

灰色關聯(lián)分析把各項指標等權(quán)劃分，無法給出各評價指標的重要性差異，而按照信息論觀點，各個指標在指標體系中的作用，與指標的變異度有關，指標的變異度越大，它所攜帶和傳遞的決策信息越多，對方案的比較作用也越大．信息量的大小可用熵值來測度，熵值的減少意味著信息量的增加．熵值法根據(jù)各指標的信息載量的大小來確定指標權(quán)重．熵值法的最大優(yōu)點是其計算得到的權(quán)重完全是依據(jù)屬性矩陣所帶的信息，沒有任何主觀判斷，能夠得出較為客觀的綜合評價結(jié)果［1，6］．

2．1 指標規(guī)范化處理

設原始指標屬性矩陣D＝（Zij）m×n，則對效益型指標規(guī)范化處理，有：

對成本型指標規(guī)范化處理，有：

2．2 各指標灰色關聯(lián)系數(shù)的計算

式中Δmin＝min min｛｜x0（j）－xi（j）｜｝，Δmax＝ max max｛｜x0（j）－xi（j）｜｝分別為比較序列絕對

ijij差中的最小值和最大值，Δi0（j）＝｜x0（j）－xi（j）｜為比較序列的絕對差，ρ為分辨系數(shù)，取值范圍為ρ∈（0，1），通常取ρ＝0．5．

2．3 熵值法計算權(quán)重的步驟

（1）設原始指標屬性矩陣D＝（Zij）m×n，其中Zij為第方案在第指標下的指標屬性值，則第i個方案對第j個指標屬性的貢獻度Pij為：

其中取k＝1／（ln m），k＞0，Ej∈ ［0，1］，且設Pij＝0時，Pijln Pij＝0．

（3）定義第j個指標下各方案貢獻度的差異系數(shù)，其計算公式為：gj＝1－Ej，（j＝1，2，…，n），則當gj越大時，指標越重要．

（4）將其指標權(quán)重歸一化就得到各評價指標的權(quán)重，其計算公式［8］為：

（2）對于此貢獻度所包含的信息內(nèi)容，可以用熵Ej來表示，所有方案對第j個指標的貢獻總量，計算公式為：

2．4 計算綜合評價值

3 算例分析

3．1 班級排序

影響班級優(yōu)劣情況很多，結(jié)合每個班級的事情情況，針對以學業(yè)表現(xiàn)為基礎的測評，取主要的評價指標有7個：優(yōu)秀率、良好率、中等率、及格率、不及格率、人均補考或重修率；而針對綜合測評，取除人均補考或重修率之外的其它6個指標．具體數(shù)據(jù)見表1

表1 各班學業(yè)表現(xiàn)和綜合測評情況

根據(jù)實際情況，取指標優(yōu)秀率、良好率、中等率為效益型指標，而及格率、不及格率、人均補考或重修率為成本型指標，根據(jù)灰色關聯(lián)系數(shù)的計算步驟對表1中數(shù)據(jù)進行規(guī)范化處理后得到在學業(yè)表現(xiàn)測評和綜合測評下的灰色關聯(lián)系數(shù)矩陣分別為：

由表中數(shù)據(jù)，根據(jù)熵值法計算權(quán)重的步驟得到各指標的權(quán)重為：

w1j＝ ｛0．0000，0．2407，0．1633，0．2411，0．1291，0．2257｝

w2j＝ ｛0．0000，0．2363，0．2701，0．3101，0．1836｝

用計算綜合評價值的公式計算得到各方案的綜合評價值為：

D1i＝ ｛0．2233，0．9733，0．4097，0．7260，0．5088，0．3636｝

D2i＝ ｛0．3411，0．9212，0．2787，0．8920，0．7212，0．3810｝

根據(jù)計算得到的綜合評價值，得到在學業(yè)表現(xiàn)和綜合測評下各班的優(yōu)劣順序如表2所示：

表2 不同測評模式下各班的優(yōu)劣排序情況

3．2 獎學金分配

在上一算例的分析中，借用基于熵原理的灰色關聯(lián)分析方法確定了各班在不同測評模式下的優(yōu)劣情況，但沒有相關文獻比較過這兩測評模式之間的優(yōu)劣程度．該問題提出了一在兩種不同測評模式下的獎學金分配原則，即每班按照5%的比例確定人選，最后取的總?cè)藬?shù)不足或超過規(guī)定人數(shù)時，采取把相關人員不同測評模式下的成績作比較．迄今還未有相關文獻對采用哪種分配方式更合理作出科學有效的解釋，基于此，筆者提出了一類基于不同決策者偏好系數(shù)β∈［0，1］的評價函數(shù)f．

表3 基于相同分配原則的各班獎學金分配情況

在不同測評模式下筆者已求出了各班與最優(yōu)理想班級的灰色關聯(lián)系數(shù)，如果關聯(lián)系數(shù)越大則表示該班離最優(yōu)班的距離越小，基于該思想，認為在名額的分配過程中，如果最終總的加權(quán)灰色關系數(shù)越大則表示該中分配方案越合理、有效［7－9］．

其中ξi表示第i班的關聯(lián)系數(shù)，Ni表示第i班獲得獎學金的人數(shù)，則函數(shù)f1（N）越大越能體現(xiàn)公平性，體現(xiàn)在獎學金的分配方面就是：如果第i班的灰色關聯(lián)系數(shù)越大，則該班所得的獎學金也就越多．但同時也要兼顧那些灰色關聯(lián)系數(shù)較小的班級，于是為了體現(xiàn)公平性，筆者又引入了另外的一個函數(shù)f2（N）．

（8）式中，認為在決策偏好系數(shù)β∈［0，1］不變的情況下，f（N）越大則認為該種分配策略越好．

圖1 評價函數(shù)f（N）在不同決策偏好系數(shù)β下的變化情況曲線圖

根據(jù)從圖1中反映的計算結(jié)果，可以得到如下關系：

其中，fx（N）表示學業(yè)測評模式下的評價函數(shù)f（N），fz（N）表示綜合測評模式下的評價函數(shù)f（N）．于是，在決策者偏好系數(shù)β∈［0．16，1］時，采取綜合測評模式下的分配獎學金方式更加公平、有效；而決策者偏好系數(shù)β∈［0，0．16）時，則應采取學業(yè)測評模式下的獎學金分配原則．

當然，基于不同決策者偏好系數(shù)β∈［0，1］下的評價函數(shù)f（N）帶有一定的主觀性，對應于不同的決策偏好程度．但從圖1中可知，在多數(shù)情況下綜合測評模式是優(yōu)于學業(yè)測評模式的，這與實際生活是相一致的，多數(shù)學校也正是采取該模式下的獎學金分配制度，在一定程度上也證明了該評價方法的合理性．

4 問題分析的改進

在該模型的建立過程中，并未考慮各獲獎學生之間的成績比較情況，按正常情況來說：如果每個班獲獎同學之間的成績差距較小，則反映出該分配方案是最有效和最公平的．這里并沒有考慮這方面的影響因素，于是利用偏差平方和來反映獲獎學生之間的差別情況，假設Re sultij表示第i班第j個獲獎學生的測評成績，則總得偏差平方和為

其中ni表示第i班獲獎學生總數(shù)，E（Re sultij，表示第i班獲獎學生測評成績的期望．于是在評價函數(shù)f（N）中可以引入偏差平方和?S，并通過一些有效的方法來確定f1（N）、f2（N）與?S三者之間的權(quán)重大小，以此作為新的評價函數(shù)＾f（N），提高模型的應用范圍和精度．

［1］ 彭志奇，戴彬．基于熵權(quán)的灰色關聯(lián)分析方法在供應商選擇中的應用研究 ［J］．商業(yè)研究，2008，526：49－50

［2］ 高尚．席位分配的最大熵法 ［J］．數(shù)學的實踐與認識，1996，26（02）：73－75

［3］ 林健良．席位公平分配的最小極差法的改進 ［J］．華南理工大學學報：自然科學版，2002，30（03）：21－23

［4］ 萬中，羅漢．席位分配問題的數(shù)學模型 ［J］．湖南大學學報：自然科學版，2001，28（06）：5－9

［5］ 賀明峰，陳俐羽，于柄林．席位分配問題的一種新算法 ［J］．數(shù)學的實踐與認識，2007，37（04）：83－87

［6］ 湯麗華，趙吳靜．基于熵的水質(zhì)綜合評價的相似插值模型 ［J］．中國管理科學，2006，14（10）：91－94

［7］ 駱文輝，楊建軍．基于灰熵方法的綜合評估 ［J］．指揮控制與仿真，2008，30（02）：74－77

［8］ 鄧聚龍．灰色系統(tǒng)基本方法 ［M］．武漢：華中理工大學出版社，1987：40－78

［9］ 曾繁偉．煤炭企業(yè)管理水平的灰色關聯(lián)度綜合評價法 ［J］．河北煤炭，2000，（02）：55－56