王雪枝

（中北大學理學院，山西 太原030051）

1 引 言

帶有p－Laplace算子微分方程邊值問題，在非牛頓力學，天體物理及p－Laplacian的徑向對稱解等實際問題和理論研究中都有廣泛的應用［1］．本文主要研究以下邊值問題

本文假設以下條件是成立的：

（H2）f∈C（［0，1］×［0，＋∞）×（－∞，0］，［0，＋∞））

（H3）q（t）是 （0，1）上的非負連續(xù)函數(shù)，在 （0，1）的任意子區(qū)間q（t）不恒等于，且

2 定義與定理

令X＝C1［0，1］是一個Banach空間 ，C＊［0，1］＝ ｛u∈X，u（t）≥0，u′（t）≤0，u′（t）是不增函數(shù)，對t∈ ［0，1］｝

為了證明主要定理，給出以下在Banach空間上錐的一些定義．

定義2．1［2］令E是R上的Banach空間，非空凸閉集P?E被稱為錐，只要滿足 （a）如果y∈P并且λ≥0則λy∈P；（b）如果y∈P并且－y∈P，則y＝0．

定義2．2［2］映射α是P 上非負連續(xù)凹函數(shù)α只要：P→ ［0，＋∞）連續(xù)且α（tx＋（1－t）y）≥tα（x）＋（1－t）α（y），對所有的x，y∈P以及0≤t≤1成立．

類似的說，β是P上的非負連續(xù)凸函數(shù)β只要：P→［0，＋∞）連續(xù)且β（tx＋（1－t）y）≤tβ（x）＋（1－t）β（y），對所有的x，y∈P以及0≤t≤1成立．

設γ和θ是錐上的非負連續(xù)凸泛函，α是錐P上的非負連續(xù)凹泛函，ψ是P錐上的非負連續(xù)泛函，a，b，c，d是正實數(shù)，定義以下凸集：

和一個閉集：

引理2．1［3］設P是Banach空間E中的一個錐．γ和θ是P上非負連續(xù)凸泛函，α是P上非負連續(xù)凹泛函，ψ是上非負連續(xù)泛函且滿足ψ（λu）≤λψ（u），其中0≤λ≤1，存在M，d＞0，使得α（u）≤ψ（u），‖u‖ ≤Mγ（u），對所有的為全連續(xù)，且有a，b，c＞0，a＜b，使得

（S1）｛ u ∈ P（γ，θ，α，b，c，d）α（u）＞b｝ ≠ ?，α（Tu）＞b且u ∈P（γ，θ，α，b，c，d）

（S2）α（Tu）＞b，對u∈P（γ，α，b，d）且θ（Tu）＞c

（S3）0?R（γ，ψ，a，d）且ψ（Tu）＜a，對u∈R（γ，ψ，a，d）且ψ（u）＝a則中至少存在三個不動點u1，u2與u3，且有γ（ui）≤d，i＝1，2，3，b＜α（u1）；a＜ψ（u2）且α（u2）＜b，ψ（u3）＜a．

通過引理2．2很容易看出u（t）是邊值問題的一個解當且僅當u（t）＝ （Tu）（t）

引理2．3 T∶P→P是全連續(xù)．

證明 證明過程類似于參考文獻 ［4］中第四章中全連續(xù)算子證明過程．

引理2．4［5］假設 （H1）成立．則對每一個x∈C＊［0，1］，τ∈ ［0，ε1］，

． 證明 根據(jù)引理2．2，有

．根據(jù)Φq的性質和以上兩個不等式，很容易得出結論．

定義函數(shù)

3 主要結果

定理3．1 假設 （H1）－（H2）成立，存在常數(shù)a∈（0，b），且如下假定成立：

則邊值問題至少有三個正解x1，x2，x3，滿足

［1］ Zhang ZY，Zhang YF，Zhang FQ．Multicity of positive solutions to multi－point boundary value problem with one－dimesional P－laplavian ［J］．Ann Diff Eqs，2010，26 （4）：484－493

［2］ 郭大均．非線性泛函分析 ［M］．濟南：山東科學技術出版社，2002：10－52

［3］ Wang YY，Ge WG．Existence of posicive solutions for Multi－point boundary value problems with a one dimensionl P－laplavian ［J］．Comp Math Appl 2007，54：793－807

［4］ 葛渭高．非線性常微分方程邊值問題 ［M］．北京：科學出版社，2007：12－66

［5］ Li HT，Liu YS．Triple solutions for multi－point boundary value problem with P－laplaceoperator ［J］．Elect J Diff Equat．2009，150：1－9