顧建偉

(南通大學(xué)現(xiàn)代教育技術(shù)中心，江蘇 南通 226000)

1.引言

圖像分割是指把圖像分成具有不同特性的區(qū)域并提出感興趣的目標(biāo)，它是圖像處理到圖像分析的關(guān)鍵步驟。近年來，模糊C均值(FCM)算法[1，2]作為一種無監(jiān)督聚類算法已成功應(yīng)用在醫(yī)療診斷、目標(biāo)識(shí)別和圖像分割等領(lǐng)域，其主要目的在于將向量空間的樣本點(diǎn)按照某種距離度量劃分成一定數(shù)量的子空間。

基于圖像片的圖像處理思想[3-4]是近年來剛剛興起的用于去除圖像噪聲的一種方法，其基本原理是將原先圖像處理中的點(diǎn)用局部圖像片來替代，增加了單個(gè)像素點(diǎn)的計(jì)算信息，在圖像去噪領(lǐng)域得到了很好的應(yīng)用。本文將這種以片代點(diǎn)的思想應(yīng)用于基于模糊聚類方法的圖像分割，通過實(shí)驗(yàn)證明本文的方法很好地克服了基于FCM圖像分割所存在的問題，同時(shí)該方法也為聚類分割提供了一種全新的思路。

2.模糊C均值聚類

2.1 傳統(tǒng)模糊C均值算法(FCM)

模糊聚類由Dunn[1]首先提出，并由Bezdek[2]推廣為一般的模糊C均值聚類算法。該算法通過最小化一個(gè)二次目標(biāo)函數(shù)，將數(shù)據(jù)集(圖像)劃分為若干類。

FCM算法中目標(biāo)函數(shù)定義如下：

其中，U={uik}∈Rn×c為隸屬度矩陣，V={v1，v2，…，vc}∈Rc×p為c個(gè)聚類中心的集合，m∈[1，∞]為加權(quán)指數(shù)，通過大量研究表明，m的最佳選擇范圍為[1.5，2.5]，通常取m=2較為理想。dik=||xk-vi||A表示第k個(gè)樣本到第i類中心vi的距離，||·||A表示A范數(shù)，一般定義為歐氏距離。

FCM的目標(biāo)函數(shù)可以通過迭代更新隸屬度矩陣U和聚類中心集合V達(dá)到最優(yōu)解：

不斷更新上述兩式直到聚類中心集合V的變化值小于設(shè)定值ε(ε>0)。

傳統(tǒng)的FCM算法在圖像處理過程中主要存在兩方面的缺陷：一是對(duì)于圖像噪聲的敏感，這主要是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的FCM算法僅僅考慮了圖像各個(gè)像素點(diǎn)灰度值之間的差別而沒有將圖像的其它信息考慮進(jìn)去，例如空間信息等；另一個(gè)就是隸屬度函數(shù)非單峰值的現(xiàn)象[4]。一般認(rèn)為，當(dāng)某一點(diǎn)屬于某一類時(shí)，該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)隸屬度的值應(yīng)該趨向于1，該點(diǎn)其它類對(duì)應(yīng)隸屬度的值趨向于0，這就是本文所說的單峰值，如圖1(a)所示。但是通過(2)式計(jì)算所得的FCM隸屬度uik并無法滿足單峰值特性。圖1(b)中，u1(x)，u2(x)，u3(x)是FCM的隸屬度分布情況，聚類中心為v1=1，v2=3，v3=8。u1(x)在5附近達(dá)到局部最大值，因此u1(x)并非單峰值。這種非單峰值的現(xiàn)象在一定程度會(huì)影響分類結(jié)果。圖1(c)為本文方法的隸屬度分布。

圖1 一維信號(hào)的隸屬度分布

2.2 FCM的改進(jìn)算法

為了克服FCM對(duì)于圖像噪聲的敏感性，自FCM被提出之后，人們對(duì)其抗噪性進(jìn)行了大量的研究。因此在傳統(tǒng)FCM算法中加入空間約束成為研究的熱點(diǎn)。

Ahmed等人[5]于2002年提出了BCFCM，將像素點(diǎn)的局部區(qū)域均值引入到傳統(tǒng)的FCM目標(biāo)函數(shù)中，以達(dá)到抗噪效果，其目標(biāo)函數(shù)如下：

其中xr表示以k點(diǎn)為中心的鄰域Nk中像素點(diǎn)的灰度值，nk為集合Nk的勢，即Nk中的像素個(gè)數(shù)。參數(shù)用來控制該局部項(xiàng)對(duì)于全局的影響。在此基礎(chǔ)上，Chen等人[6]提出了BCFCM的快速算法，F(xiàn)CM_S1和FCM_S2，通過提前計(jì)算出各個(gè)像素點(diǎn)的局部均值來提高算法速度。

隨后，Szilágyi等人[7]將BCFCM算法流程重組，提出了EnFCM。他們首先對(duì)圖像進(jìn)行均值濾波，如下：

其中，ζk表示各個(gè)像素點(diǎn)濾波后的灰度值。其目標(biāo)函數(shù)為：

式中，hl表示圖像中灰度級(jí)為l，l∈{1，2，…L}總像素點(diǎn)個(gè)數(shù)，L為圖像的灰度級(jí)個(gè)數(shù)，對(duì)于一般的灰度圖像而言，L=256。相應(yīng)的更新函數(shù)為：

無論是經(jīng)典的BCFCM還是改進(jìn)的MFGFCM都不可避免地需要通過一些控制參數(shù)來控制局部區(qū)域約束項(xiàng)，而這些參數(shù)的設(shè)定往往都要根據(jù)具體實(shí)驗(yàn)而定，無法提出一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)方法，在實(shí)現(xiàn)及使用過程中，參數(shù)的設(shè)定較為繁瑣。針對(duì)此問題，本文提出了一種全新的聚類方法。使用圖像片來代替單個(gè)像素點(diǎn)的計(jì)算，不僅拉大了像素點(diǎn)與聚類中心之間的距離，使得聚類精度更高，同時(shí)消除了目標(biāo)函數(shù)中的局部區(qū)域控制項(xiàng)，與傳統(tǒng)FCM相比，在參數(shù)設(shè)置方面僅僅增加了一個(gè)片窗口大小的設(shè)置，就能夠達(dá)到更好的抗噪性能。另一方面，本文還有效地消除了由于FCM所導(dǎo)致的隸屬度函數(shù)的非單峰值現(xiàn)象，與理想的隸屬度函數(shù)分布十分相近，以達(dá)到提高分割精度的目的。

3.基于圖像片的模糊C均值聚類的圖像分割方法

3.1 圖像片的思想

圖像片的思想來源于圖像去噪領(lǐng)域中的一種非局部平均的圖像去噪方法[3-4]，其基本思想是利用圖像的局部相似信息來代替單個(gè)像素點(diǎn)的相似信息。這里所謂的局部相似信息即圖像片。圖像片包含更多的圖像信息，能夠比單個(gè)像素點(diǎn)更好描述圖像的特征，因此基于圖像片的圖像去噪方法能夠更好地保持紋理等具有重復(fù)結(jié)構(gòu)的特征。本文正是在借鑒這種方法的基礎(chǔ)上，將圖像片的思想用于聚類分割算法中，以圖像片代替單個(gè)像素點(diǎn)，通過計(jì)算圖像片與聚類中心的相似性，增加像素點(diǎn)與聚類中心的距離，雖然在一定程度上拉大了像素點(diǎn)與其所對(duì)應(yīng)聚類中心的距離，但同時(shí)也大大增加了該點(diǎn)與其它聚類中心的距離，這樣從整體看來，該方法可以使分類更加精確。另一方面，以片代點(diǎn)的思想，可以很好地克服單個(gè)像素點(diǎn)灰度值對(duì)于分類的絕對(duì)影響，即克服噪聲的影響，從而達(dá)到抗噪目的。本文正是使用圖像片來代替單個(gè)像素點(diǎn)，通過計(jì)算圖像片與聚類中心之間的歐氏距離，來計(jì)算該片中心點(diǎn)的隸屬度，達(dá)到對(duì)該點(diǎn)進(jìn)行分類的目的。

3.2 本文算法

本文將圖像片代替像素點(diǎn)的思想用于聚類分割，提出了基于圖像片的模糊C均值聚類(IPFCM)方法。

令I(lǐng)：Ω→Rn為定義在連續(xù)域Ω?R2上的二維圖像，當(dāng)n=1時(shí)，表示灰度圖像；當(dāng)n=3時(shí)，表示彩色圖像。本文以灰度圖像為例進(jìn)行介紹。

即圖像中的每一個(gè)像素點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)q2維的向量。這對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為：

其中，U={uik}∈RN×c為隸屬度矩陣，V=(v1，v2，…，vc)為c個(gè)聚類中心的集合，N為圖像中總像素?cái)?shù)，m∈[1，∞]為加權(quán)指數(shù)，取值與FCM相同。=||||A表示第k個(gè)圖像片到第i類中心vi的距離，由于片PIk為一個(gè)向量，可以采用兩種方式來計(jì)算該距離，一是用向量均值，二是用向量總和，為了提高計(jì)算速度，本文采用向量均值來計(jì)算該距離：

通過式(16)可以看出，本文方法可以很好的控制隸屬度函數(shù)的單峰值性，如圖1(c)所示，從中發(fā)現(xiàn)本文的隸屬度函數(shù)分布與理想分布十分接近，這就很好的克服了FCM方法中非單峰值的特點(diǎn)，進(jìn)而保證了聚類的精確性。聚類中心集合V的更新如下：

3.3 算法流程

本文算法具體流程如下：

步驟一：初始化參數(shù)，設(shè)置m=2，ε=0.01，c初始化聚類中心集合V。一般而言，對(duì)于灰度圖像，在0到255的范圍內(nèi)隨機(jī)生成c個(gè)整數(shù)，作為V的初始值，并通過更新達(dá)到最佳聚類中心值；

步驟二：設(shè)置圖像片鄰域窗口半徑r，并根據(jù)公式(9)將圖像中每一個(gè)像素點(diǎn)擴(kuò)展為q2維的向量，其中q=2r+1；

步驟三：根據(jù)公式(16)更新隸屬度矩陣U；

步驟四：根據(jù)公式(17)更新聚類中心V；

步驟五：比較更新前后的聚類中心，如果||Vnew-Vold||＜ε，則停止迭代輸出結(jié)果圖像；否則回到步驟三繼續(xù)更新迭代。

4.實(shí)驗(yàn)結(jié)果

首先討論圖像片半徑的選取，再對(duì)人工合成灰度圖像不同方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行定量比較；最后對(duì)醫(yī)學(xué)圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

4.1 圖像片大小的選擇

與FCM相比，本文唯一的額外參數(shù)為圖像片半徑r的設(shè)置。r越大，聚類分割的抗噪性越強(qiáng)，但在增加算法時(shí)間復(fù)雜度的同時(shí)容易造成圖像邊緣點(diǎn)的誤分類；r越小，雖然提高了圖像的分割精度，減小了算法的時(shí)間復(fù)雜度，卻是以犧牲抗噪性為代價(jià)的。如圖2所示，第一行為噪聲較小的不同圖像片半徑的分割結(jié)果；第二行為噪聲較大的不同圖像片半徑的分割結(jié)果。圖2中，對(duì)于噪聲較小的圖像而言，r=1的圖像片克服圖像中噪聲影響的同時(shí)，很好的保持了圖像邊緣，在區(qū)域的交界處誤分類點(diǎn)數(shù)很少，隨著的增大，區(qū)域交界處愈加的不平滑，r=3時(shí)圖像區(qū)域交界處甚至出現(xiàn)了“過渡區(qū)域”。當(dāng)圖像噪聲較大時(shí)，r=1的圖像片的抗噪效果明顯不如r=3的圖像片，但是r=3時(shí)圖像區(qū)域交界處出現(xiàn)“過渡區(qū)域”，這將導(dǎo)致分割精度的大幅度降低。對(duì)于實(shí)際圖像而言，雖然噪聲是不可避免的，但其強(qiáng)度相對(duì)較低，同時(shí)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，圖像各個(gè)區(qū)域交界處較多，因此一般采用r=1的圖像片來進(jìn)行處理。

圖2 不同噪聲不同圖像片大小的分割結(jié)果

圖3顯示了本文方法不同圖像片大小的圖像分割結(jié)果。圖像來源于BrainWeb1，原圖為加噪9%的MR腦圖像。對(duì)比實(shí)驗(yàn)顯示出，隨著圖像片半徑的增大，分割結(jié)果變得更為平滑，灰質(zhì)與白質(zhì)的邊緣部分細(xì)節(jié)丟失更為嚴(yán)重。

圖3 不同圖像片對(duì)加噪9%圖像的分割結(jié)果

本文對(duì)MR圖像的分割精度進(jìn)行了定量分析。目前，已有很多種圖像分割精度的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，本文采用較常用的兩種方法：JS(Jaccard similarity)方法[8]和DC(Dice coefficient)方法[8]，其度量公式依次為：

(18)、(19)式中，S1，S2表示需要比較的兩幅分割結(jié)果，這里使用分類分割后的結(jié)果與BrainWeb中的人工分割結(jié)果進(jìn)行比較。|·|表示相應(yīng)區(qū)域中的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)。這里采用公式(18)對(duì)圖3的分割結(jié)果進(jìn)行精度計(jì)算，如表1所示。通過表1的定量分析證明了上述現(xiàn)象。盡管很好的克服了噪聲的影響，但是圖像分割精度過差，r越大分割精度也就越低，無法滿足實(shí)際需要。當(dāng)r=0時(shí)，此時(shí)的IPFCM方法退化為FCM方法，分割圖像的細(xì)節(jié)能夠得到較好的保持，但對(duì)于噪聲的敏感性是無法避免的，這也是FCM本身無法克服的缺陷。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，r=1的圖像片處理結(jié)果無論在分割精度、細(xì)節(jié)保持還是克服噪聲方面，都具有很好的效果。

表1 不同圖像片對(duì)加噪9%圖像的分割結(jié)果精度計(jì)算(JS)

實(shí)驗(yàn)過程中，基本參數(shù)設(shè)定為：m=2，ε=0.01，所有聚類方法均使用半徑r=1的窗口，人工合成圖像中c=3，醫(yī)學(xué)圖像中c=4，聚類中心則根據(jù)c的大小隨機(jī)生成相應(yīng)的聚類中心集。

4.2 合成圖像

圖4為各個(gè)聚類方法的分割結(jié)果比較。該圖像來自IBSR，選用256*256大小的帶噪圖像對(duì)FCM、BCFCM、En-FCM、FGFCM、MFGFCM、IPFCM這六種方法進(jìn)行方法比較。其中，只有FCM與IPFCM不需要額外的參數(shù)設(shè)定，BCFCM、EnFCM、FGFCM、MFGFCM均需要一個(gè)或幾個(gè)控制參數(shù)，這些參數(shù)的設(shè)定并非本文重點(diǎn)，這里不一一列舉。圖4中，F(xiàn)CM方法對(duì)于噪聲的敏感顯而易見，BCFCM不僅無法達(dá)到滿意的抗噪結(jié)果，其效率也十分低下，運(yùn)行開銷較大；EnFCM與FGFCM方法雖然比較地好提高了運(yùn)行速度，但是分割結(jié)果還是可以看到該方法無法消除的部分噪聲；從結(jié)果來看，MFGFCM與IPFCM的抗噪性最好，細(xì)節(jié)上本文方法要優(yōu)于MFGFCM。

圖4 各種聚類分割方法比較

對(duì)于合成圖像的分割精度計(jì)算，采用如下公式：

計(jì)算結(jié)果如表2所示。通過表2的對(duì)比，在相同噪聲的情況下，IPFCM的分割精度最高。這些噪聲圖像都是在圖4 (a)的原圖基礎(chǔ)上增加不同的噪聲，其中，Gaussian1、Gaussian2、Gaussian3都是均值為0，方差依次為0.01、0.03、0.05的高斯白噪聲；Impluse為椒鹽噪聲；M ixed1、M ixed2分別為方差為0.04、0.08的混合噪聲。

表2 不同噪聲水平下各方法分割精度的定量分析

由于噪聲強(qiáng)度問題，以上分析只能體現(xiàn)出MFGFCM與IPFCM擁有較好的抗噪性，但兩者之間的比較不夠突出，圖5使用了另外一幅合成圖像，從中明顯可以看出IPFCM的抗噪性明顯優(yōu)于MFGFCM。

圖5 MFGFCM與IPFCM方法比較

4.3 MR腦圖像

本文對(duì)核磁共振(MR)圖像使用EnFCM、MFGFCM、IPFCM三種方法在不同噪聲水平下的分割結(jié)果進(jìn)行比較。由于本文是針對(duì)聚類方法提出的新思想，而不是針對(duì)腦圖像應(yīng)用，沒有加入MR腦圖像去偏移場的計(jì)算，因此本文選用T1模態(tài)1mm切片厚度無偏移場的不同噪聲水平下的腦圖片，圖6第一列的三幅圖像分別為加噪0%、3%、9%的第96針腦圖像，其分割結(jié)果如圖6第二至第四列圖像所示。

圖6 EnFCM、MFGFCM、IPFCM方法MR腦圖像分割結(jié)果

通過EnFCM、MFGFCM、IPFCM三種方法的比較，還是可以看出IPFCM在抗噪方面是最好的。

表3列出了圖6中各種方法分割后灰質(zhì)、白質(zhì)的分割精度。通過定量分析得出在克服噪聲影響的同時(shí)IPFCM在同類方法中的分割精度較高，且無需過多參數(shù)設(shè)定，具有較強(qiáng)的可靠性。

表3 EnFCM、MGFCM、IPFCM方法分割結(jié)果精度計(jì)算(JS、DC)

以上多組不同類型的實(shí)驗(yàn)，對(duì)IPFCM進(jìn)行了全面的分析，不僅表明了IPFCM的有效性和精確性，同時(shí)還對(duì)圖像片半徑的選擇進(jìn)行了討論。一般情況下，建議設(shè)置半徑為r=1。4.1中的實(shí)驗(yàn)表明圖像片窗口越大，IPFCM的抗噪性就越強(qiáng)，但是邊緣模糊現(xiàn)象就越明顯。4.2和4.3中的實(shí)驗(yàn)顯示，當(dāng)圖像片半徑為時(shí)，無論合成圖像還是MR腦圖像，IPFCM都可以得到較高的分割精度，因此圖像片半徑為具有很強(qiáng)的適用性。

5.結(jié)論

本文提出一種全新的基于圖像片進(jìn)行模糊C均值聚類的圖像分割理念與IPFCM方法，通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，IPFCM很好地克服了FCM分割方法對(duì)于噪聲的敏感以及隸屬度函數(shù)的非單峰值的缺陷，具有很好的抗噪性和較高的分割精度，圖像的隸屬度函數(shù)與理想隸屬度函數(shù)十分接近。與同類方法相比，IPFCM不需要過多的參數(shù)設(shè)定，具有很好的魯棒性和較強(qiáng)的可靠性。同時(shí)，本文將聚類中心的每一個(gè)成員擴(kuò)展為一個(gè)向量，并給出了向量聚類中心的更新公式，為日后將多種圖像特征加入FCM對(duì)圖像進(jìn)行分割提供了充分的理論基礎(chǔ)。需要指出的是，本文采用正方形圖像片，并未將圖像像素點(diǎn)的方向信息考慮進(jìn)去，使得圖像細(xì)節(jié)部分容易被起周邊像素影響而丟失信息。另一方面，當(dāng)使用半徑較大的圖像片時(shí)，將會(huì)不可避免的降低分割精度，可以對(duì)分割后的圖像進(jìn)行二次聚類以提高分割精度。如何在圖像片中加入方向信息，以及引入哪些圖像特征將是未來研究工作的重點(diǎn)。

[1]JC Dunn.A fuzzy relative of the ISODATA process and its use in detecting compactwell separated cluster[J].Journal of Cybemet，3：32～57，1974.

[2]JC Bezdek.Pattern recognition w ith fuzzy objective function algorithms[M].Norwell，MA，USA：Kluwer Academ ic Publishers，1981.

[3]A.Buades，B.Coll，and J.-M.Morel.A non-local algorithm for image denoising [J]，Proc.IEEE Conf.Computer Vision and Pattern Recognition，vol.2，pp.60-65，Jun.2005.

[4]F.Hoppner，F(xiàn).Klawonn.Improved fuzzy partitions for fuzzy regressionmodels[J]，Int.J.Approx.Reason.32(2)85–102，2003.

[5]MN Ahmed，SM Yamany，N Mohamed，AA Farag，Moriarty T.A modified fuzzy c-means algorithm for bias field estimation and segmentation ofMRIdata[J].IEEE TransMed Imag 21，193–199，2002.

[6]SChen，DQ Zhang.Robust image segmentation using FCM with spatial constraints based on new kernel-induced distancemeasure[J].IEEE Trans SystMan Cybern Part B 34，1907–1916，2004.

[7]L Szilágyi，Z Benyó，SM Szilágyi，HS Adam.MR brain image segmentation using an enhanced fuzzy c-means algorithm [J].Proc 25th Ann IntConf IEEEEMBS，2003：724–726.

[8]U Vovk，F(xiàn) Pernus，B Likar.A Review of Methods for Correction of Intensity Inhomogeneity in MRI[J].Medical Imaging，IEEE Transactions on Volume 26，Page(s)：405–421，March 2007.