朱朝艷 張延年 郭鵬飛 王學(xué)志

(遼寧工業(yè)大學(xué)土木建筑學(xué)院1) 錦州 121001) (沈陽(yáng)建筑大學(xué)土木工程學(xué)院2) 沈陽(yáng) 110168)

0 引 言

結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)需求解兩類變量即截面尺寸變量,與描述結(jié)構(gòu)幾何外形的形狀設(shè)計(jì)變量,不僅設(shè)計(jì)變量的數(shù)目增多,而且截面變量與形狀變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)而言具有不同的非線性性質(zhì),兩者的量綱、量級(jí)通常也不同,兩類變量的耦合可能導(dǎo)致收斂上的困難.對(duì)于離散變量結(jié)構(gòu)問(wèn)題,由于截面面積只能取離散值,因此問(wèn)題就成為一個(gè)非線性混合離散變量?jī)?yōu)化問(wèn)題,求解起來(lái)更為困難.傳統(tǒng)的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)一般采用分層優(yōu)化方法[1-3],雖然使用有效且易于操作,但由于分層優(yōu)化導(dǎo)致變量空間上的分割,可能帶來(lái)的后果是解空間可行域的縮小,這樣有可能丟失真正的最優(yōu)解.近年來(lái),將兩類變量綜合考慮的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)方法越來(lái)越引起人們的關(guān)注,并成為研究熱點(diǎn),但迄今為止,成果不多,離散變量問(wèn)題這方面的成果更少,在國(guó)內(nèi)對(duì)此有突出貢獻(xiàn)的是孫煥純和石連栓[4-5].本文用擬滿應(yīng)力遺傳算法來(lái)解決離散變量結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化問(wèn)題,取得了較為滿意的結(jié)果.

1 離散變量結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

離散變量結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的設(shè)計(jì)變量為桿件的截面積和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),目標(biāo)函數(shù)一般為結(jié)構(gòu)的總體重量,約束條件為應(yīng)力約束、節(jié)點(diǎn)的位移約束、穩(wěn)定約束和動(dòng)態(tài)約束等.

以桿系結(jié)構(gòu)受應(yīng)力和位移約束的形狀優(yōu)化問(wèn)題為例,數(shù)學(xué)模型可表達(dá)為

求A,X

2 擬滿應(yīng)力遺傳算法

標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中存在計(jì)算量大、收斂進(jìn)程慢以及容易陷入局部最優(yōu)解等問(wèn)題,而擬滿應(yīng)力方法迭代次數(shù)少,容易收斂,具有很強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力.本文將擬滿應(yīng)力算法與遺傳算法相結(jié)合,在遺傳算法中嵌入擬滿應(yīng)力算子,與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算子共同構(gòu)成一種混合遺傳算法——擬滿應(yīng)力遺傳算法.同時(shí)還采用最優(yōu)個(gè)體保留、最差個(gè)體替換和控制種群個(gè)體差異等改進(jìn)措施[6].這種混合遺傳算法結(jié)合了兩種算法的優(yōu)點(diǎn),它克服了擬滿應(yīng)力法解決問(wèn)題的局限性,又比標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法更加快速有效.

擬滿應(yīng)力遺傳算法的步驟如下.

1)進(jìn)化代數(shù)計(jì)數(shù)器初始化：k=0.

2)隨機(jī)產(chǎn)生初始種群P(k).

3)評(píng)價(jià)種群P(k)的適應(yīng)度.

4)選擇群體中2個(gè)個(gè)體以概率Pc進(jìn)行交叉操作：P′(k),←Crossover[P(k)].

5)對(duì)子代群體中每個(gè)個(gè)體以概率Pm進(jìn)行變異操作：P″(k),←Mutation[P′(k)].

6)對(duì)子代群體中每個(gè)個(gè)體以概率Ph進(jìn)行擬滿應(yīng)力操作：P?(k),←Full-stress[P″(k)].7)評(píng)價(jià)群體P?(k)的適應(yīng)度.

8)個(gè)體選擇、復(fù)制操作：P(k+1)←Rrproduction[P(k)∪P?(k)].

9)將該代中最優(yōu)個(gè)體與該代前最優(yōu)個(gè)體比較,并用比較后的最優(yōu)個(gè)體替換該代中最差個(gè)體,直接進(jìn)入下一代進(jìn)化.

10)進(jìn)化終止條件判斷：若不滿足進(jìn)化終止條件,則：k←k+1,轉(zhuǎn)到第3)步,繼續(xù)進(jìn)化過(guò)程;若滿足進(jìn)化終止條件,則輸出最優(yōu)個(gè)體.

3 基于擬滿應(yīng)力遺傳算法的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

3.1 兩類變量的耦合方法

將形狀變量和截面變量分開(kāi)考慮可降低求解的難度但并不能保證得到全局最優(yōu)解,只有將兩類變量綜合考慮才是解決問(wèn)題的有效辦法.但是將兩類變量統(tǒng)一考慮,可能由于兩者的量綱和優(yōu)化過(guò)程中量級(jí)的不同而導(dǎo)致算法收斂上的困難,甚至發(fā)散.為了解決兩類變量間的耦合問(wèn)題,本文采用的方法是將形狀變量和截面變量編碼表示在同一個(gè)染色體中,這樣兩類變量在遺傳算法中被統(tǒng)一表示成位串形式.由于遺傳算法的操作對(duì)象是變量編碼后的位串,并且對(duì)問(wèn)題的要求僅僅是能求出非負(fù)的適應(yīng)度值,遺傳算法就可以以適應(yīng)度值為依據(jù)指導(dǎo)搜索,從而找到全局最優(yōu)解.

3.2 兩類變量統(tǒng)一表示的編碼和解碼方法

用一定長(zhǎng)度的二進(jìn)制染色體代表一個(gè)設(shè)計(jì)變量,多個(gè)染色體首尾連接構(gòu)成設(shè)計(jì)變量空間.這種編碼方法,容易處理設(shè)計(jì)變量為離散/連續(xù)混合的結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化問(wèn)題.

設(shè)形狀變量個(gè)數(shù)為n1,每個(gè)變量的二進(jìn)制子串長(zhǎng)度為m1,截面變量個(gè)數(shù)為n2,每個(gè)變量的二進(jìn)制子串長(zhǎng)度為m2,則形狀變量位串總長(zhǎng)度為n1?m1,截面變量位串總長(zhǎng)度為n2?m2,再將表示形狀變量的n1個(gè)m1位的子串和表示截面變量的n2個(gè)m2位的子串首尾相連,即形成一個(gè)染色體,它可以表示一個(gè)個(gè)體.編碼方法如圖1所示,圖中“＊”為通配符,代表1或0.

解碼時(shí),將表示一個(gè)個(gè)體的二進(jìn)制染色體串按照形狀變量和截面變量的位串總長(zhǎng)度分成兩個(gè)部分,然后再將表示形狀變量的位串分成n1段,每一段表示n1個(gè)形狀變量中的一個(gè)變量;將表示截面變量的位串分成n2段,每一段表示n2個(gè)截面變量中的一個(gè)變量.然后根據(jù)二進(jìn)制位串與十進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得出十進(jìn)制數(shù),并對(duì)應(yīng)地映射到變量的離散值或連續(xù)值.

圖1 編碼方法示意圖

3.3 優(yōu)化策略

本文主要解決離散變量的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題,因此比較適合用二進(jìn)制編碼表示.但形狀變量可以是連續(xù)變量,也可以是離散變量.當(dāng)形狀變量是離散變量時(shí),優(yōu)化問(wèn)題依然為離散變量問(wèn)題,而當(dāng)形狀變量是連續(xù)變量時(shí),則優(yōu)化問(wèn)題為混合離散變量問(wèn)題.此時(shí)二進(jìn)制編碼的長(zhǎng)度直接影響連續(xù)變量的求解精度,若想提高解的精度必須采用較長(zhǎng)的編碼,這必然會(huì)影響求解的效率.若將形狀變量用實(shí)數(shù)碼表示,而截面變量用二進(jìn)制碼表示,則在解碼和交叉、變異等操作上處理起來(lái)又過(guò)于繁瑣,基于此,本文對(duì)兩類變量仍采用二進(jìn)制編碼.為了解決搜索效率問(wèn)題,對(duì)形狀變量采用二級(jí)編碼方法對(duì)應(yīng)二級(jí)搜索,首先采用一個(gè)較短的編碼在整個(gè)搜索空間進(jìn)行粗粒度搜索,由于遺傳算法有很好的全局搜索性,可以很快搜索到最優(yōu)點(diǎn)附近,然后再在最優(yōu)點(diǎn)的附近區(qū)間重新編碼,繼續(xù)進(jìn)行細(xì)致搜索.采用這種二級(jí)處理方法,由于在整個(gè)搜索過(guò)程中形狀變量的子串都不長(zhǎng),可以顯著地減小搜索空間,因而可以在很大程度上加快搜索進(jìn)程.

4 優(yōu)化算例

例1 37桿桁架簡(jiǎn)支橋

該例題選自文獻(xiàn)[7].桁架簡(jiǎn)支橋結(jié)構(gòu)受均布載荷作用.初始設(shè)計(jì)見(jiàn)圖2,截面積均為8 cm2.假設(shè)結(jié)構(gòu)下弦節(jié)點(diǎn)固定不動(dòng),節(jié)點(diǎn)載荷P=10 kN.上弦節(jié)點(diǎn)可沿垂直方向移動(dòng).節(jié)點(diǎn)10的垂直位移受到約束,要求小于l cm(跨度的1/1 000).結(jié)構(gòu)對(duì)稱性保持不變,最小截面積為0.5 cm2.材料彈性模量E=210 GPa,密度ρ=7 800 kg/m3,全部桿件的許用應(yīng)力均為240 MPa.

圖2 桁架橋結(jié)構(gòu)

原題為連續(xù)變量?jī)?yōu)化問(wèn)題,要求最小截面積為0.5 cm2,本文從標(biāo)準(zhǔn)型鋼表中選取29個(gè)數(shù)值,各桿截面積離散集為S={0.503,0.636, 0.785,0.950,1.131,1.327,1.539,1.767,2.011, 2.270,2.545,2.835,3.142,3.464,3.801,4.155, 4.524,4.909,5.309,5.726,6.158,6.605,7.069, 7.548,8.042,8.553,9.079,9.621,10.18}cm2.

考慮結(jié)構(gòu)對(duì)稱性要求,將截面設(shè)計(jì)變量分成19組,將坐標(biāo)設(shè)計(jì)變量分成5組,分組情況表1所列.標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法、擬滿應(yīng)力遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表2所列,約束條件均滿足要求.

表1 桁架橋變量連接情況

表2 桁架橋優(yōu)化結(jié)果 m

從表2可以看出,本文采用的方法與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法相比,重量下降了4.15%;和文獻(xiàn)[7]優(yōu)化后的結(jié)果相比,重量減輕了4.47%.再與文獻(xiàn)[7]的初始設(shè)計(jì)比較,文獻(xiàn)[7]的初始設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)重量為256.73,即25 159.54 N,擬滿應(yīng)力遺傳算法形狀優(yōu)化后重量為475.01 N,重量較文獻(xiàn)[7]的初始設(shè)計(jì)降低了81.12%,可見(jiàn)用本文采用的基于擬滿應(yīng)力遺傳算法的將兩類變量綜合考慮的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)的效果是十分明顯的.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將擬滿應(yīng)力遺傳算法應(yīng)用于離散變量結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化問(wèn)題.將形狀設(shè)計(jì)變量和截面設(shè)計(jì)變量綜合考慮,同時(shí)采用二級(jí)搜索策略減少整個(gè)搜索過(guò)程中形狀變量的搜索空間,進(jìn)而加快搜索進(jìn)程.通過(guò)算例表明,本文的優(yōu)化策略和優(yōu)化算法是可行和有效的.

[1]隋允康,由 衷.具有兩類變量的空間桁架分層優(yōu)化方法[J].計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其應(yīng)用,1990,7(4)：82-92.

[2]Salajegheh E,Vanderplaats G N.Optimum design of trusses with sizing and shape variables[J].Struct. Opt.,1993(6)：79-85.

[3]隋允康,高 峰,龍連春.基于層次分解方法的桁架結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2006,23(l)：46-51.

[4]石連拴,孫煥純,柴 山.兩類變量綜合處理的結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),1999,16(4)：416-420.

[5]石連拴,孫煥純.離散變量結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)的綜合算法[J].力學(xué)學(xué)報(bào),1999,31(6)：731-737.

[6]朱朝艷,劉 斌,郭鵬飛.離散變量桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的混合遺傳算法[J].機(jī)械強(qiáng)度,2004,26(6)：656-661.

[7]王 棟,張衛(wèi)紅,姜節(jié)勝.桁架結(jié)構(gòu)形狀與尺寸組合優(yōu)化[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào),2002,19(3)：72-76.