李 卉 鐘 成 李德仁 邵振鋒

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)空間科學(xué)技術(shù)研究中心1) 武漢 430074)

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)教育部長江三峽庫區(qū)地質(zhì)災(zāi)害研究中心2) 武漢 430074)

(武漢大學(xué)測繪遙感信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室3) 武漢 430079)

關(guān)于各個坐標(biāo)系之間的變換方法,前人提出了解析變換法、數(shù)值變換法和數(shù)值解析變換法等方法[1].解析法需要確切的知道兩投影間坐標(biāo)變換的解析計(jì)算公式,以及橢球參數(shù),空間參考系的參數(shù);數(shù)值法的參數(shù)解算依賴于公共點(diǎn)的選擇和分布,缺乏廣泛的適應(yīng)性;數(shù)值解析法兼具二者的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn).傳統(tǒng)的大地網(wǎng)三角測量或者地方坐標(biāo)的測量都帶有各種信號和噪音,不可能存在一個普遍適用的最優(yōu)變換模型[2].因此需建立一套坐標(biāo)變換模型的質(zhì)量評價(jià)指標(biāo),從而選擇滿足具體應(yīng)用的最優(yōu)模型.以往坐標(biāo)變換僅考慮精度這一項(xiàng)指標(biāo),近來國外學(xué)者的研究主要以幾何變形為主要評價(jià)指標(biāo),未顧及模型的抗差性[3-5].本文認(rèn)為優(yōu)良的變換應(yīng)具備良好的精度、可靠性、可逆性、惟一性、擴(kuò)展性和效率,文中重點(diǎn)就投影變換的可靠性進(jìn)行研究,驗(yàn)證其必要性、有效性和可行性.

1 可靠性評價(jià)體系與指標(biāo)

誤差反映在改正數(shù)的程度以及不可發(fā)現(xiàn)的模型誤差對平差結(jié)果的影響是平差模型內(nèi)外可靠性的問題[6-7].對于依賴于公共點(diǎn)的轉(zhuǎn)換模型,需要研究其內(nèi)外可靠性,分析其抵抗粗差的能力.可靠性指標(biāo)包括平差模型的幾何條件,內(nèi)外可靠性,粗差的可區(qū)分性放大倍數(shù).

1.1 幾何條件

設(shè)有線性化的高斯-馬爾柯夫模型

式中：l為觀測值向量;V為改正數(shù)向量;A為線性化的系數(shù)矩陣;Δ?x為未知數(shù)相對于近似值的改正數(shù).其法方程為

其觀測值改正數(shù)的最小二乘解為

該式描述了改正數(shù)與平差中輸入量之間的關(guān)系,改正數(shù)取決于幾何條件矩陣(QvvP).(QvvP)的跡等于平差模型的多余觀測數(shù)r.稱(QvvP)的第i個對角元素為第i個觀測值的多余觀測分量

1.2 內(nèi)外可靠性

平差模型的內(nèi)可靠性表示反映在殘差中,在一定顯著性水平α0和檢驗(yàn)功效β0下能被發(fā)現(xiàn)的粗差下界值▽0li.在單個一維備選假設(shè)下

式中：δ0為由于粗差而導(dǎo)致的非中心化參數(shù);下界值▽0li為該點(diǎn)發(fā)現(xiàn)粗差的能力.

平差模型的外可靠性表示不可發(fā)現(xiàn)的粗差對平差結(jié)果(包括全部未知參數(shù)Δ?x及其他)的影響.對于單個粗差,若觀測值不相關(guān),則得到第i個觀測值不可發(fā)現(xiàn)的粗差對平差未知數(shù)的影響向量長度

1.3 可區(qū)分性放大倍數(shù)

粗差的可區(qū)分性,即粗差的定位能力,是評估平差系統(tǒng)抗差能力的重要指標(biāo).定義標(biāo)準(zhǔn)化殘差的相關(guān)性

在給定顯著性水平α0,檢驗(yàn)功效β′0和區(qū)分可能性(1-γ′0)下,得粗差可區(qū)分性放大倍數(shù)

2 實(shí)驗(yàn)與討論

實(shí)驗(yàn)在我國境內(nèi)北緯32～36°,東經(jīng)108～114°地區(qū)進(jìn)行,對應(yīng)1∶100萬比例尺,公共點(diǎn)304個.實(shí)驗(yàn)中公共點(diǎn)分布有兩種：(1)選定初始子集,在該集上逐個增加,此為非均勻的連續(xù)平差; (2)由均勻分布的n個公共點(diǎn)開始解算,逐個增加解算點(diǎn)數(shù),同時(shí)要求保持均勻分布,此時(shí)要重新在公共點(diǎn)集選取子集,此方法不同于在初始子集上的逐個增加,避免了對其的過度依賴,稱為均勻連續(xù)平差解算.

2.1 多余觀測分量實(shí)驗(yàn)

因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中不能求法方程系數(shù)陣的逆矩陣,所以采用Forstner在模擬觀測值上逐一引入粗差▽li的方法,由平差后的殘差▽vi,近似求多余觀測分量ri.

圖1、圖2和圖3列出了不同變換模型在不同解算點(diǎn)分布的多余觀測分量分布(x方向).

圖1 解算點(diǎn)均勻分布時(shí)平面相似變換模型平差多余觀測分布

圖2 解算點(diǎn)均勻分布時(shí)二元二次多項(xiàng)式平差多余觀測分布

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：(1)當(dāng)引入粗差足夠大,可以忽略其他誤差的影響,則由式(9)求得的多余觀測分量可視為真值,實(shí)驗(yàn)證明其和等于平差模型的多余觀測數(shù);(2)實(shí)驗(yàn)對600個均勻分布的公共點(diǎn)求多余觀測分量,耗時(shí)5.203 0 s,鑒于幾何條件矩陣(QvvPll)的難以求解,以模擬粗差求多余觀測分量不失為效率較高的近似方法;(3)二元二次多項(xiàng)式平差模型應(yīng)有12個待解參數(shù),實(shí)驗(yàn)推出其必要觀測數(shù)為10,經(jīng)平差解出參數(shù)a00和b00在10-7數(shù)量級,且系數(shù)為1,故此待定參數(shù)沒有必要性,證明由式(9)可以確定必要參數(shù)個數(shù);(4)平面相似平差模型必要觀測數(shù)少,在同樣解算點(diǎn)條件下,其平均多余觀測分量較大,且多余觀測分量分布較二元二次多項(xiàng)式均勻,有較好的幾何條件; (5)解算點(diǎn)均勻分布時(shí),隨著解算點(diǎn)數(shù)的增加,每個觀測點(diǎn)的多余觀測分量皆得到改善,而非均勻增加解算點(diǎn),無法增大初始子集的多余觀測分量,其可靠性不能得到改善,若含有粗差,不易發(fā)現(xiàn),對平差模型的影響是巨大的,故解算點(diǎn)均勻分布的幾何條件好于非均勻分布.

圖3 解算點(diǎn)非均勻分布時(shí)二元二次多項(xiàng)式平差多余觀測分布

2.2 內(nèi)外可靠性實(shí)驗(yàn)

求得各觀測點(diǎn)的多余觀測分量后,可根據(jù)式(5)和式(6)解求各觀測點(diǎn)的內(nèi)外可靠性,圖4為10個解算點(diǎn)時(shí),不同平差模型和公共點(diǎn)分布下各點(diǎn)殘差、內(nèi)外可靠性分布,其數(shù)值皆為相對于標(biāo)準(zhǔn)差的比率.實(shí)驗(yàn)取顯著性水平,檢驗(yàn)功效β=80%,則

圖4 10個解算點(diǎn)可靠性分布

經(jīng)統(tǒng)計(jì)：解算點(diǎn)均勻分布時(shí),平面相似變換模型內(nèi)可靠性期望4.963 8,標(biāo)準(zhǔn)差0.324 8外可靠性期望2.715 5,標(biāo)準(zhǔn)差0.580 6;解算點(diǎn)均勻分布時(shí),二元二次多項(xiàng)式內(nèi)可靠性期望6.326 6,標(biāo)準(zhǔn)差1.774 2,外可靠性期望 4.606 4,標(biāo)準(zhǔn)差2.256 4;非均勻分布時(shí),二元二次多項(xiàng)式內(nèi)可靠性期望6.589 2,標(biāo)準(zhǔn)差2.381 5,外可靠性期望4.865 9,標(biāo)準(zhǔn)差2.941 6.

2.3 可區(qū)分性放大倍數(shù)實(shí)驗(yàn)

求得各觀測點(diǎn)的多余觀測分量后,據(jù)式(7)和式(8)解求各觀測點(diǎn)間的可區(qū)分性放大倍數(shù).由于難以求解,和計(jì)算的復(fù)雜性,一般在用Baarda數(shù)據(jù)探測法取得可疑點(diǎn)后,方計(jì)算可疑點(diǎn)間的可區(qū)分性放大倍數(shù),確定粗差能否被定位.計(jì)算得到10個解算點(diǎn)均勻分布時(shí),平面相似變換模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差的相關(guān)系數(shù)矩陣如下.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：(1)10個均勻分布解算點(diǎn)時(shí),平面相似變換模型的觀測點(diǎn)間的最大相關(guān)系數(shù)在0.4～0.5間,當(dāng)取顯著性水平α0=0.1%,檢驗(yàn)功效區(qū)分可能性時(shí),查表可得k小于1.015,即2點(diǎn)間可區(qū)分粗差小于可發(fā)現(xiàn)粗差的1.015倍;(2)對均勻分布的二元二次多項(xiàng)式,其最大相關(guān)系數(shù)接近0.8,k約為1.063;(3)對基于子集的二元二次多項(xiàng)式,其最大相關(guān)系數(shù)接近0.97,k約為2.191;(4)隨著解算點(diǎn)數(shù)增加,均勻分布各點(diǎn)間的標(biāo)準(zhǔn)化殘差相關(guān)系數(shù)將逐漸減小,則模型粗差區(qū)分性變好.

由以上分析,可得：(1)根據(jù)可區(qū)分性放大倍數(shù)計(jì)算結(jié)果,本文實(shí)驗(yàn)可直接采用Baarda數(shù)據(jù)探測法發(fā)現(xiàn)且定位粗差;(2)均勻分布的公共點(diǎn)獨(dú)立性好,可稱為不相關(guān)觀測,且解算點(diǎn)越多,各點(diǎn)的相關(guān)性越小;(3)平面相似變換及二元二次多項(xiàng)式變換皆有良好的粗差可發(fā)現(xiàn)性和可定位性,平面相似變換又稱Robust坐標(biāo)變換.

3 結(jié) 論

1)本文提出的投影變換各項(xiàng)可靠性指標(biāo)是可行的、有效的,是實(shí)際工作中尋找最優(yōu)變換模型和幾何條件的有力工具之一.

2)坐標(biāo)變換地區(qū)公共點(diǎn)的選擇與分布,數(shù)據(jù)的相關(guān)性等幾何條件,與變換模型的性質(zhì)對投影變換的可靠性有顯著的影響.

3)投影變換,應(yīng)結(jié)合本地區(qū)的條件,選擇均勻分布,獨(dú)立的公共點(diǎn),和各項(xiàng)指標(biāo)優(yōu)良的變換模型,則可得到較好的投影變換質(zhì)量.

4)就本地區(qū)的實(shí)驗(yàn)成果,平面相似變換具有優(yōu)異的可靠性,在無粗差或剔除粗差的情況下,又有良好的精度,可以作為嚴(yán)密坐標(biāo)變換模型的替代,二元二次多項(xiàng)式其可靠性劣于平面相似變換,理想狀態(tài)的解算精度亦較低,二元三次多項(xiàng)式的各項(xiàng)指標(biāo)更差,可見不是次數(shù)越高,待解參數(shù)越多,就能獲得越好的投影變換質(zhì)量,反而增加解算時(shí)間和難度.

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